邏輯類分法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

?西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 張 惠 馮長(zhǎng)煥

1 引言

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，題目類型多種多樣，涉及的知識(shí)點(diǎn)眾多，解題難度較大.在教與學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生常常被難題難住，有時(shí)甚至找不到解決問(wèn)題的突破口.從解題的角度來(lái)看，成功解決一道數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅需要扎實(shí)的學(xué)科知識(shí)，更重要的是要有靈活的方法策略.邏輯類分法是指將原問(wèn)題劃分為有限多個(gè)子問(wèn)題，然后逐一去解決每一個(gè)子問(wèn)題，最后把各個(gè)子問(wèn)題的結(jié)論歸納起來(lái)，從而得到整個(gè)問(wèn)題的結(jié)論[1].一般地，要進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題的邏輯性、探索性較強(qiáng)，運(yùn)用邏輯類分法解題，能讓問(wèn)題中不確定的因素轉(zhuǎn)化為子問(wèn)題中確定的因素，從而增加問(wèn)題的條件，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易于求解.

2 邏輯類分法的內(nèi)涵

2.1 邏輯類分法的目的與對(duì)象

在遇到復(fù)雜問(wèn)題難以解決的時(shí)候，可以嘗試將原來(lái)復(fù)雜的大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某些較容易的小問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn)、化大為小來(lái)幫助求解.在解題中，很多同學(xué)認(rèn)為分類討論的題目很難，從而產(chǎn)生畏懼心理.教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要指導(dǎo)學(xué)生明確分類討論的對(duì)象，分析問(wèn)題、明確題目所考查的知識(shí)點(diǎn)，然后運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解題.

2.2 邏輯類分法的分類標(biāo)準(zhǔn)

在確定分類討論的對(duì)象后，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，從而進(jìn)行正確合理的分類.引分類討論的原因有很多，于同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究對(duì)象有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：(1)數(shù)學(xué)中的概念、定理、定義或者函數(shù)的性質(zhì)引起的分類，例如含有絕對(duì)值問(wèn)題的求解、分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的探究等[2]；(2)數(shù)學(xué)中的公式、運(yùn)算法則、圖形的形狀或位置變化引起的分類，例如直線與直線、圓與圓的位置關(guān)系；(3)題目中含有參數(shù)以及問(wèn)題的實(shí)際情況，例如含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題以及排列、組合中的計(jì)數(shù)問(wèn)題.在解題時(shí)要根據(jù)題目具體要求、題目實(shí)際情況的不同而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行具體分析.

2.3 邏輯類分法的特征

運(yùn)用邏輯類分法解題時(shí)所要遵循的規(guī)則有：(1)整體簡(jiǎn)約性，分類的過(guò)程要完整而縝密，周詳而簡(jiǎn)約；(2)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一性，標(biāo)準(zhǔn)是確定的，每一次分類都要用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，不允許改變；(3)完備性，子問(wèn)題不重復(fù)不遺漏；(4)逐級(jí)遞次性，連續(xù)分類要嚴(yán)格按照層次逐級(jí)進(jìn)行，不可以越級(jí).在運(yùn)用邏輯類分法解題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握好各個(gè)原則，做到心中有數(shù).

3 邏輯類分法在高中數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)

邏輯類分法作為一種常用且普遍的解題方法貫穿于教材中每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)講解之中，人教版高中數(shù)學(xué)教材無(wú)論是必修還是選修內(nèi)容都對(duì)這一思想方法與解題策略的教學(xué)尤為重視.通過(guò)仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算、圖形位置關(guān)系的知識(shí)本身就是一種分類討論.例如對(duì)于集合之間的運(yùn)算，要涉及是否為空集的討論；指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算，對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算；平面向量的線性運(yùn)算；不等式的運(yùn)算；點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；直線與圓的位置關(guān)系.涉及概率、函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題時(shí)常常會(huì)采用分類討論進(jìn)行求解，例如拋硬幣、擲骰子；具有典型代表的分段函數(shù)、數(shù)列、解三角形、三角函數(shù)、排列組合、參數(shù)方程中都有涉及.

例1(人教版高中數(shù)學(xué)教材必修一)某市空調(diào)公交車的票價(jià)按照以下方案制定：(1)5 km以內(nèi)(含5 km)，票價(jià)2元；(2)5 km以上，每增加5 km，票價(jià)增加1元(不足5 km的按照5 km計(jì)算).已知相鄰的公交站距離約為1 km，如果沿途(包括起點(diǎn)站與終點(diǎn)站)有21個(gè)公交站，根據(jù)題目要求寫出票價(jià)與路程之間的函數(shù)關(guān)系式.

說(shuō)明：此題主要是分段函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，屬于典型的分類討論問(wèn)題，主要由公交車的分段票價(jià)引起分類討論.求解這類問(wèn)題時(shí)往往根據(jù)題目要求，分類討論，做到不重不漏.

例2(人教版高中數(shù)學(xué)教材必修二)已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0的方程，判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系；如果相交，則求出兩者交點(diǎn)的坐標(biāo).

說(shuō)明：此題是判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系，通過(guò)圖形的形狀或位置關(guān)系引起的分類，這類問(wèn)題必定會(huì)涉及到分類討論.

例3(人教版高中數(shù)學(xué)教材必修五)在△ABC中，已知a=20 cm,b=28 cm,A=40°，解這個(gè)三角形(角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1 cm).

說(shuō)明：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解三角形，主要考查學(xué)生對(duì)于正弦定理相關(guān)知識(shí)的掌握和應(yīng)用.在解答這類問(wèn)題時(shí)往往要對(duì)三角形的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論.

高中數(shù)學(xué)教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料，教師不能只限于對(duì)數(shù)學(xué)教材的講解，要結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)要求，創(chuàng)新教學(xué)方式，傳授學(xué)生知識(shí)并教會(huì)學(xué)生解題.邏輯類分法是一種重要的解題策略，教會(huì)學(xué)生靈活運(yùn)用這一策略，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，幫助學(xué)生更加輕松地解題.研究發(fā)現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中涉及分類討論的知識(shí)繁多，運(yùn)用邏輯類分法解題的例題和習(xí)題也各種各樣，以上例題只是簡(jiǎn)單列舉.

4 邏輯類分法在高考題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)高考試題注重突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，聚焦核心素養(yǎng)，重視數(shù)學(xué)思維，倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用，重視讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索過(guò)程，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求[3].

例4(2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

試題特點(diǎn)：此題主要考查函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)法是求解函數(shù)單調(diào)性的常用方法，其首先對(duì)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b進(jìn)行求導(dǎo)得到f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a).由導(dǎo)函數(shù)f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a)=0解出x時(shí)引起分類討論.

解題思路：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,那么f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a).

①當(dāng)a≤0時(shí)，令f′(x)>0，所以x<0時(shí)，f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.

試題特點(diǎn)：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)以及難點(diǎn)，等差數(shù)列與等比數(shù)列是其重點(diǎn)學(xué)習(xí)以及考查內(nèi)容之一，此題主要考查等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式的基本應(yīng)用[4]，要求學(xué)生靈活運(yùn)用其定義以及通項(xiàng)公式的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.需要注意的是在求出當(dāng)n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式后，不要忘記檢驗(yàn)n=1是否滿足.

例6(2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科第23題)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥6的解集；

(2)若f(x)>-a，求a的取值范圍.

試題特點(diǎn)：對(duì)于當(dāng)a=1時(shí)，絕對(duì)值不等式|x-1|+|x+3|≥6的解法的一般思路是先去掉絕對(duì)值：分x≥1，x≤-3,-3

解題思路：(1)a=1時(shí)，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x+3|≥6的解集.當(dāng)x≥1時(shí)，2x+2≥6，得x≥2；當(dāng)-3

(2)由題意可得f(x)min>-a.

由絕對(duì)值的幾何意義可知，f(x)min即為數(shù)軸上x到a和-3的距離之和的最小值.當(dāng)x在a與-3之間時(shí)，距離之和最小，此時(shí)f(x)min=|a+3|.

所以,|a+3|>-a.

當(dāng)a<-3時(shí)，-a-3>-a，無(wú)解.

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài)活動(dòng)，在高考題中涉及分類討論的題目往往較難，在日常教學(xué)中教師要結(jié)合教材內(nèi)容注重培養(yǎng)學(xué)生分類解決問(wèn)題的意識(shí)，掌握這一解題方法，做到靈活應(yīng)用，正確合理判斷其分類標(biāo)準(zhǔn)以及分類，將問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

5 結(jié)論

數(shù)學(xué)不僅是中學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考必考科目之一，在學(xué)習(xí)與考試中都占有極其重要的地位.在素質(zhì)教育發(fā)展的背景下，教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握解題方法，樹立正確的學(xué)習(xí)理念，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，全面提升自身綜合能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，做到輕松應(yīng)對(duì)高考，實(shí)現(xiàn)自己的目標(biāo)[5].無(wú)論是教材中的數(shù)學(xué)題，還是高考題，用什么方法去解題往往是學(xué)生解題的難點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn).在解題教學(xué)中教師要教會(huì)學(xué)生“怎樣想”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，讓學(xué)生自己去探究與領(lǐng)悟，親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程.

學(xué)會(huì)解題需要長(zhǎng)期的模仿與練習(xí)，解決一道數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅需要具備扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，還需要掌握靈活的解題策略.邏輯類分法在數(shù)學(xué)解題中有著舉足輕重的作用和地位，教師在教學(xué)中要有意識(shí)地滲透這種解題策略，幫助學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用.