深度學(xué)習(xí)在解題教學(xué)中的應(yīng)用

?甘肅省隴西縣第二中學(xué) 張 博 張明遠(yuǎn)

1 引言

羅增儒教授認(rèn)為：“對(duì)典型例題進(jìn)行分析是提高解題能力的有效途徑.”羅增儒教授總結(jié)了解題信息論、解題推理論、解題化簡(jiǎn)論、解題化歸論、解題系統(tǒng)論、解題差異論和解題坐標(biāo)系等解題理論.學(xué)習(xí)和運(yùn)用這些理論指導(dǎo)解題實(shí)踐，可以使學(xué)生對(duì)相應(yīng)的例題、習(xí)題從不同角度分析和解答，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

成功解題的關(guān)鍵在于對(duì)題設(shè)進(jìn)行合適的表征.不同的表征方式會(huì)使學(xué)生聯(lián)想到不同的方法，從而引領(lǐng)不一樣的解法；通過(guò)對(duì)不同解法的比較，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的理解更加深入本質(zhì)，從而在這樣的解題活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教者以一道較為經(jīng)典的習(xí)題為例，以相關(guān)解題理論為指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生從例題呈現(xiàn)、題意分析、解法探究和解題反思四個(gè)方向?qū)υ擃}目進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，有效幫助學(xué)生拓寬解題思維、積累解題經(jīng)驗(yàn)、提升解題能力、發(fā)展了核心素養(yǎng).

2 例題呈現(xiàn)

3 題意分析

3.1 畫(huà)出圖形，引進(jìn)參數(shù)，整合信息

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想和方法，根據(jù)題目已有的信息，畫(huà)出滿足題目要求的圖形，可以很好地幫助學(xué)生分析題設(shè)和結(jié)論，找到解題思路，提出解題方法.引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，可以降低思考和分析的難度，簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，有利于解題過(guò)程中解題信息的整合.

如圖1，記BC=a，AC=b.

圖1

3.2 分析結(jié)論，聯(lián)系題設(shè)，提出思路

解題的過(guò)程就是尋求題設(shè)和結(jié)論之間聯(lián)系的過(guò)程，類(lèi)似于過(guò)河，河的一邊是條件，另一邊是結(jié)論，解題思路就是過(guò)河的方法.通過(guò)對(duì)結(jié)論的分析，聯(lián)系題設(shè)中的有關(guān)條件，就可以找到解決問(wèn)題的思路和方法.

4 解法探究

4.1 將求△ABC面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算ab的問(wèn)題

生1：根據(jù)需要計(jì)算的ab，聯(lián)系題設(shè)中已有的∠C=60°，聯(lián)想到余弦定理，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算a2+b2.解答如下.

在△ABC中，由∠ADC+∠BDC=π，可得cos∠ADC+cos∠BDC=0.

生2：根據(jù)需要計(jì)算的ab，聯(lián)系題設(shè)中已有的∠C=60°，聯(lián)想到平面向量的數(shù)量積，通過(guò)對(duì)向量式進(jìn)行平方運(yùn)算可以得到含a2,b2,ab的等式.解答如下.

a2+b2+ab=16.

由a2+b2+ab=16，b2+a2=12可得ab=4.

生3：根據(jù)需要計(jì)算的ab，聯(lián)系題設(shè)中已有的∠C=60°，聯(lián)想到余弦定理，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算a2+b2，再?gòu)腶2+b2聯(lián)想到三角形的中線長(zhǎng)公式——阿波羅尼斯定理，解答如下.

4.2 將求△ABC面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算△ABC中AB邊上高的問(wèn)題

生5：通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，可以將求△ABC中AB邊上高的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C縱坐標(biāo)的問(wèn)題，結(jié)合題設(shè)中的∠C=60°，聯(lián)想到向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)運(yùn)算，解答如下.

圖2

由CD=2，可得x2+y2=4.

生6：與生5的解法類(lèi)似，可以通過(guò)設(shè)角度，用三角函數(shù)來(lái)表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，解答如下.

設(shè)∠CDB=θ，由|CD|=2,得C(2cosθ,2sinθ).

生7：由題設(shè)中的∠C=60°這一特殊角，聯(lián)想到等邊三角形，以AB為邊構(gòu)造等邊三角形,可以發(fā)現(xiàn)∠AEB=∠ACB，從而聯(lián)想到同弧所對(duì)的圓周角相等這一結(jié)論，進(jìn)而借助等邊三角形的外接圓解決問(wèn)題.解答如下.

圖3

設(shè)∠CDB=θ，由CD=2得C(2cosθ,2sinθ).

生8：在生7解法的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)C的坐標(biāo)設(shè)為C(x0,y0)，解答如下.

5 解題反思

通過(guò)多名學(xué)生不同解法的交流，打通了向量法、坐標(biāo)法和余弦定理的聯(lián)系，解題的過(guò)程就是從已知到未知的過(guò)程，其方法是多樣的.不同的表征引發(fā)了不同的解法，不同的解法成就了經(jīng)典習(xí)題.分析經(jīng)典習(xí)題的解題過(guò)程，對(duì)比不同的解題思路和解題方法，讓提升推理、運(yùn)算素養(yǎng)水平落地生根并開(kāi)花結(jié)果.

利用多元表征原理，分析經(jīng)典習(xí)題的解題過(guò)程，研究解法，領(lǐng)悟奧妙，揭示本質(zhì)，能夠提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和抽象思維能力.

借助經(jīng)典習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更加深入本質(zhì)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)更加全面深刻，從而積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力，發(fā)散解題思維.Z