一道全國(guó)高中聯(lián)賽向量題的探究及拓展

?貴州省湄潭縣湄江高級(jí)中學(xué) 楊 滔

1 引言

平面向量的最值問題一直是高考中非常常見的題型之一，可以涉及平面向量的模、夾角、數(shù)量積、參數(shù)值等多個(gè)要素，也是各類模擬卷、自主招生、競(jìng)賽中比較常見的題型．平面向量的最值問題往往切入點(diǎn)多，方法多樣，而且難度一般都不低，是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)融合，創(chuàng)新意識(shí)應(yīng)用，數(shù)學(xué)能力提升以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)等的重要場(chǎng)所．

2賽題呈現(xiàn)

此題以三角形為載體，結(jié)合三角形的邊長(zhǎng)與兩向量的數(shù)量積來確定已知的三角形，利用動(dòng)點(diǎn)P的“動(dòng)”態(tài)，結(jié)合數(shù)量積的“數(shù)”式，利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算來合理轉(zhuǎn)化，進(jìn)而形成“形”式，確定“靜”態(tài)情況下相應(yīng)的最值問題，創(chuàng)新性強(qiáng)，讓人眼前一亮．

3 問題破解

方法1：基本不等式法.

解析：取BC的中點(diǎn)D，連接AD.

方法2：參數(shù)法.

解析：取BC的中點(diǎn)D，連接AD.

方法3：坐標(biāo)法.

圖1

解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示.不失一般性，假定點(diǎn)C位于第一象限.

點(diǎn)評(píng):以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)巧妙構(gòu)造直角坐標(biāo)系，結(jié)合題目條件確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積公式得到涉及參數(shù)x，y的二次關(guān)系式，通過合理配方，結(jié)合函數(shù)思維來確定最值即可．坐標(biāo)法可以借助平面直角坐標(biāo)系的建立，以及坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算來合理轉(zhuǎn)化，化“形”為“數(shù)”，利用代數(shù)運(yùn)算來達(dá)到目的．

方法4：極化恒等式法.

解析：取BC的中點(diǎn)D，連接AD.

那么結(jié)合極化恒等式，可得

4 問題背景

以上賽題改編于2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第12題，是在原來特殊三角形——等邊三角形的基礎(chǔ)上，加以一般化處理．

由于涉及特殊三角形——等邊三角形，此高考真題破解起來更為簡(jiǎn)單快捷，可以參考以上賽題的破解方法加以分析與處理．(此題答案：B)

5 教學(xué)反思

5.1 方法歸納

在解決平面向量的數(shù)量積問題中，可以利用基底向量，借助平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合基本不等式、極化恒等式等加以處理；也可以利用平面直角坐標(biāo)系，借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合函數(shù)等加以處理；有時(shí)還可以直接利用圖形特殊，結(jié)合平面向量的“形”的特征加以處理;等等.這些都是競(jìng)賽、高考中解決此類問題比較常見的一些技巧方法．

5.2 核心引領(lǐng)

在破解平面向量的最值問題時(shí)，問題切入的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件，從平面向量的相關(guān)概念、相關(guān)運(yùn)算、相關(guān)圖形的本質(zhì)出發(fā)，選取代數(shù)與幾何、數(shù)與形等方式，以概念法、函數(shù)法、三角函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法以及不等式法等行之有效的基本方法來參與，借助平面向量的相關(guān)運(yùn)算等來解決，進(jìn)而有效達(dá)到解決相關(guān)最值問題的目的，融合數(shù)學(xué)知識(shí)，提升解題能力，拓展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)核心素養(yǎng)．Z