2021年新高考Ⅰ卷第21題的探究

?江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 徐春華

1 試題呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

2 試題背景及分析

2.1 試題背景

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》第38頁(yè)例4及其變式探究：如圖1所示，AB,CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P.兩弦AB,CD與橢圓長(zhǎng)軸的交角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2.求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

圖1

教材中例4的類比探究題：把橢圓改為雙曲線呢？拋物線呢？

2.2 試題分析

2021年新高考卷第21題是一道圓錐曲線大題，第(1)問(wèn)比較簡(jiǎn)單，考查利用雙曲線定義求方程，注意軌跡只是雙曲線的右支.第(2)問(wèn)在線段等積式條件下，求兩直線的斜率之和，所求隱含斜率和為定值.第(2)問(wèn)的幾何背景是圓錐曲線上的四點(diǎn)共圓，結(jié)論是所成四邊形的對(duì)邊(不平行時(shí))或兩對(duì)角線所在直線的傾斜角互補(bǔ)，當(dāng)斜率均存在時(shí)，所在直線的斜率互為相反數(shù).

2.3 證明四個(gè)點(diǎn)共圓和推導(dǎo)四點(diǎn)共圓的充要條件[1]

幾何法：四邊形對(duì)角互補(bǔ)法，外角等于內(nèi)對(duì)角，公共邊法(同底同側(cè)頂角相等的兩三角形)，圓冪定理法[2](相交弦定理、切割線定理和割線定理的統(tǒng)一形式).

代數(shù)法：向量法，托勒密定理的逆定理，圓的定義法，特殊圖形法(證明四點(diǎn)組成為矩形、等腰梯形等必有外接圓的圖形).

2.4 解題思維導(dǎo)圖

對(duì)于解析幾何綜合問(wèn)題，求解步驟繁雜，計(jì)算過(guò)程偏多，借助思維導(dǎo)圖可以大大提高教學(xué)效率，加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，本題分別從兩小問(wèn)出發(fā)，通過(guò)對(duì)條件的不同轉(zhuǎn)化給出思維導(dǎo)圖如圖2所示.

圖2

3 試題解析

解題準(zhǔn)備：|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|?kAB+kPQ=0?θAB+θPQ=π實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

解法1：直接設(shè)直線法.

圖3

如圖3.由題意可知，直線AB與PQ的斜率一定存在分別設(shè)為k1,k2.

|TA|·|TB|

因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

解法2：設(shè)點(diǎn)法——向量運(yùn)算.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4).

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得

再結(jié)合解法1的方程，殊途同歸！

解法3：用直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義求解.

直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，該方程有兩個(gè)根，分別設(shè)為t1,t2.則

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，得

則cos2α=cos2β.又α≠β?cosα=-cosβ?tanα=-tanβ?kAB+kPQ=0.

點(diǎn)評(píng):用交點(diǎn)T建立兩條直線的參數(shù)方程.這樣|TA|·|TB| 和|TP|·|TQ|的值可以用韋達(dá)定理得出，并且避免討論直線斜率不存在的情況.

解法4：二次曲線系法.

|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|?割線定理A,B,P,Q四點(diǎn)共圓.

則A,B,P,Q四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下表示直線AB,PQ的方程：

因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|?割線定理A,B,P,Q四點(diǎn)共圓，所以上面這個(gè)方程表示過(guò)A,B,P,Q四點(diǎn)的圓，于是左邊展開(kāi)后x2,y2項(xiàng)的系數(shù)相等，且xy項(xiàng)的系數(shù)為零，得k1+k2=0.

點(diǎn)評(píng):四點(diǎn)共圓的充要條件可快速判斷圓錐曲線上四點(diǎn)共圓，但無(wú)法求出圓方程.而用曲線系即可判斷四點(diǎn)是否共圓，還可求出圓方程.此題，兩法聯(lián)手珠聯(lián)璧合，相得益彰！

拓展圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一般性結(jié)論與統(tǒng)一證明.

下面我們用曲線系方程給出圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)充要條件的統(tǒng)一證明.

定理若兩條直線y=kix+bi(i=1,2)與圓錐曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)共圓的充要條件是k1+k2=0.

證明：兩條直線組成的曲線方程為(k1x-y+b1)·(k2x-y+b2)=0,則過(guò)四個(gè)交點(diǎn)的曲線方程可設(shè)為:(k1x-y+b1)(k2x-y+b2)+λ(ax2+by2+cx+dy+e)=0

①

必要性：若四點(diǎn)共圓，則方程①表示圓，那么①式左邊展開(kāi)式中xy項(xiàng)系數(shù)為0，即有k1+k2=0.

充分性：當(dāng)k1+k2=0時(shí)，令①式左邊展開(kāi)式中x2,y2項(xiàng)的系數(shù)相等得：k1k2+λa=1+λb，聯(lián)立解得

②

方程②的幾何意義是如下三種情形之一：表示一個(gè)圓，或表示一個(gè)點(diǎn)，或無(wú)軌跡.由題設(shè)知四個(gè)交點(diǎn)在方程②所表示的曲線上，故方程②表示圓.

4 變式拓展

數(shù)學(xué)問(wèn)題改編主要包含改變條件和改變結(jié)論兩種基本方式，這兩種方式是基于問(wèn)題本身內(nèi)容和結(jié)構(gòu)而言，我們稱為結(jié)構(gòu)性改編．而筆者主要從試題難點(diǎn)和涉及技巧對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變化研究．

變式1：若把條件點(diǎn)T所在直線，改為T為不在雙曲線上的任意一點(diǎn)，斜率之和是否為定值？

解：設(shè)T(a,b),直線TA，TP的傾斜角分別為α,β.

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得

16cos2α-sin2α=16cos2β-sin2β，

所以,cosα+cosβ=0.

則有,k1+k2=0.

上面就證明了T點(diǎn)在雙曲線外的任意位置，結(jié)論仍然成立.再繼續(xù)思考，巧了，這與平面幾何中圓的切割線定理類似(如圖4、圖5).

圖4

圖5

上面的定理利用相似三角形的相似比容易得到證明.那么問(wèn)題就來(lái)了，圓也有類似的結(jié)論，那么對(duì)于橢圓，有類似的結(jié)論嗎？

變式2：若把此題背景換為橢圓.

變式3：初中學(xué)習(xí)過(guò)圓的相交弦定理，圓內(nèi)的兩條弦AB和PQ相交于點(diǎn)T，則TA·TB=TP·TQ.是否可以類比到橢圓中呢？

5 推廣探究

結(jié)論1.若兩條直線與二次曲線Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是這兩條直線的斜率均不存在或這兩條直線的斜率均存在且互為相反數(shù).

結(jié)論2.若兩條直線與二次曲線Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是這兩條直線的傾斜角互補(bǔ).

結(jié)論3.設(shè)二次曲線Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)上的四個(gè)點(diǎn)連成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，則該四邊形只能是以下三種情形之一：

(1)兩組對(duì)邊分別與坐標(biāo)軸平行的矩形；

(2)底邊與坐標(biāo)軸平行的等腰梯形；

(3)兩組對(duì)邊均不平行的四邊形，但在其兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中，每對(duì)直線的斜率均存在且均不為0，且均互為相反數(shù)[3].

6 教學(xué)反思

對(duì)于圓錐曲線的綜合問(wèn)題，很多學(xué)生“有思路不敢算”“敢算又算不對(duì)”，所以正確率才一直不高，其實(shí)最主要的原因是“算理”不明，導(dǎo)致“算法”不靈！而很多教師講解的時(shí)候，又恰恰喜歡只講思路，不講“算理”，讓學(xué)生自己“狠”算.實(shí)際上，圓錐曲線的綜合問(wèn)題一般都有多種解法，算理也各不相同，只要明晰“算理”，優(yōu)化“算法”，就能把握運(yùn)算的方向和目標(biāo)，既快又準(zhǔn)地算出結(jié)果.在日常的教學(xué)中要幫助學(xué)生分析“算法”，解剖“算理”，并注重鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力[4].本文中通過(guò)對(duì)2021年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題的賞析，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，形成學(xué)生數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)，通過(guò)加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的培養(yǎng)，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.通過(guò)對(duì)四點(diǎn)共圓問(wèn)題“一題多解”的研究，從多角度、多途徑、多方式看待和解決問(wèn)題，能提高和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).