一道聯(lián)合協(xié)作體高考模擬最值題的破解及拓展

?安徽省蒙城縣第二中學(xué) 丁云婷

1 引言

關(guān)于一些多參數(shù)(至少三個(gè)及以上)的代數(shù)式的最值問(wèn)題，往往涉及輪換式，參數(shù)眾多，抓住代數(shù)式的特征，從一個(gè)角度切入，從輪換式的特征進(jìn)行合理對(duì)稱處理，利用不等式特征，合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，有效破解最值問(wèn)題．

2 問(wèn)題呈現(xiàn)

3 問(wèn)題剖析

此題是一道關(guān)于多參數(shù)的不等式問(wèn)題，結(jié)合多參數(shù)的分式之和為定值給出對(duì)應(yīng)的條件，進(jìn)而確定多參數(shù)之積的最值問(wèn)題，主要考查學(xué)生推理論證能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，突出邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

其實(shí)，確定此類不等式的最值問(wèn)題的核心就是取“等號(hào)”的條件，解決小題(選擇題或填空題)時(shí)，一般可以借助“先猜后證”的思維方式來(lái)處理，根據(jù)對(duì)稱性和猜測(cè)確定取“等號(hào)”的條件為a1=a2=…=a2 020=4 038，進(jìn)而再進(jìn)行分析與處理．

取“等號(hào)”的條件確定多參數(shù)的最值問(wèn)題只是一種特殊的思想方法，要根據(jù)相應(yīng)參數(shù)之間的等價(jià)或輪換條件來(lái)合理取“等號(hào)”，對(duì)于不具有等價(jià)或輪換條件時(shí)，盲目取“等號(hào)”會(huì)直接導(dǎo)致錯(cuò)誤．取“等號(hào)”要謹(jǐn)慎合理，進(jìn)一步的驗(yàn)證與推理是保證正確性的唯一方式，也是進(jìn)一步提升準(zhǔn)確率的基本步驟．

4 問(wèn)題破解

方法1：均值不等式法.

解析：由題可得

同理可得

將以上2 020個(gè)不等式同向累乘，可得

解得a1a2…a2 020≥4 0382 020，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=a2 020=4 038時(shí)等號(hào)成立.

故填答案：4 0382 020．

點(diǎn)評(píng):結(jié)合多參數(shù)條件關(guān)系式對(duì)其中一個(gè)參數(shù)移項(xiàng)進(jìn)行變形處理，利用均值不等式進(jìn)行合理放縮，同理對(duì)其他參數(shù)進(jìn)行一樣的放縮處理，結(jié)合相應(yīng)不等式的同向累乘，進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得以確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值問(wèn)題．利用均值不等式法加以處理，直接有效，也是處理此類問(wèn)題最為常見(jiàn)的基本思維方法．

方法2：代數(shù)換元法.

根據(jù)均值不等式，可得

對(duì)以上2 020個(gè)不等式同向累乘，可得

故填答案：4 0382 020．

點(diǎn)評(píng):結(jié)合多參數(shù)條件關(guān)系式的恒等變形，通過(guò)代數(shù)換元處理，對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行熟知化轉(zhuǎn)化與處理，結(jié)合均值不等式進(jìn)行合理放縮，結(jié)合相應(yīng)不等式的同向累乘，利用所轉(zhuǎn)化的新問(wèn)題，得以確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值問(wèn)題．代數(shù)換元處理，將問(wèn)題熟知化處理，是處理一些創(chuàng)新、陌生問(wèn)題中比較常用的技巧方法．

方法3：三角換元法.

那么a1a2…a2 020

=22 020(tan2θ1·tan2θ2·…·tan2θ2 020)

=22 020·2 0192 020

=4 0382 020.

當(dāng)且僅當(dāng)cos2θ1=cos2θ2=…=cos2θ2020，即a1=a2=…=a2 020=4 038時(shí)等號(hào)成立.

故填答案：4 0382 020．

點(diǎn)評(píng):結(jié)合多參數(shù)條件關(guān)系式的恒等變形，通過(guò)三角換元處理，對(duì)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)分析與處理，結(jié)合均值不等式對(duì)三角關(guān)系式進(jìn)行合理放縮，進(jìn)而得以確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值問(wèn)題．三角換元處理，是破解最值問(wèn)題中的一種常見(jiàn)技巧，也為問(wèn)題的進(jìn)一步推廣與拓展具有一定的參考與應(yīng)用價(jià)值．

5 變式拓展

探究1：保留原來(lái)的問(wèn)題背景，結(jié)合破解問(wèn)題的三角換元法處理的應(yīng)用與歸納，將問(wèn)題進(jìn)行一般化升華與提升，變特定常數(shù)為更一般的常數(shù)，化特殊為一般，得到以下相應(yīng)的變式問(wèn)題．

具體破解過(guò)程可以參考以上問(wèn)題中的相關(guān)方法，得到對(duì)應(yīng)的答案：mn(n-1)n．具體的破解方法與過(guò)程直接參考以上問(wèn)題的破解過(guò)程即可．特別當(dāng)m=2，n=2 020時(shí)，就是原來(lái)的問(wèn)題，對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最小值就是mn(n-1)n=22 020×(2 020-1)2 020=4 0382 020．

特別地，在變式1的背景中，取常數(shù)m=1，是以上問(wèn)題的一個(gè)特例，可得到一個(gè)比較常見(jiàn)的最值問(wèn)題.

對(duì)應(yīng)答案為：(n-1)n．這就是一個(gè)比較常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往以n=3或是相近的數(shù)字形式出現(xiàn)，在一些競(jìng)賽題中有其影子．

6 教學(xué)啟示

此類涉及多參數(shù)代數(shù)式且與不等式有關(guān)的最值問(wèn)題，創(chuàng)新新穎，變化多端，難度適中，解法多樣，是高考或聯(lián)賽中比較常見(jiàn)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用不等式思想解決問(wèn)題的能力．

6.1 借助不等式思維切入

抓住多參數(shù)的輪換變化規(guī)律，結(jié)合已知條件中的多參數(shù)代數(shù)式的特征，通過(guò)代數(shù)式的恒等變換與巧妙運(yùn)算，結(jié)合不等式思維，特別是基本不等式、均值不等式以及一些不等式的基本性質(zhì)等加以合理應(yīng)用．

6.2 建立熟知數(shù)學(xué)模型

對(duì)于一些比較陌生或創(chuàng)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)常可以利用換元處理等思維方式，化陌生為熟知，借助已有熟知的數(shù)學(xué)模型加以分析或處理．這種轉(zhuǎn)換過(guò)程就是一個(gè)對(duì)問(wèn)題重新加工、理解與應(yīng)用的過(guò)程，也是已有數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用．從而更加有效地形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．Z