一類非線性系統(tǒng)的全局定性分析

呂海煒，蔣 鳳

(1.西華大學(xué) 理學(xué)院，四川 成都 610039；2.成都大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 成都 610106)

形如

(1)

的一類二階非線性系統(tǒng)[1]，一些文獻(xiàn)[2-3]只對(duì)其極限環(huán)的存在性進(jìn)行了證明，但未對(duì)極限環(huán)[4]的唯一性和位置進(jìn)行說(shuō)明，本文不僅對(duì)極限環(huán)的存在唯一性[5]和位置進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明，還討論了隨參數(shù)u變化，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)[6]和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)[7]的情況，最后用相圖[8]來(lái)描述不同情況下系統(tǒng)的軌線走向.

1 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)分析

定理1：當(dāng)u≤0時(shí)，(0，0)是系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)u>0時(shí)，(0，0)是系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，如圖1所示.

圖1 u>0時(shí)系統(tǒng)(1)的軌線圖

由平衡點(diǎn)的定義：

得(0，0)是非線性系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)，舍去方程(1)中非線性項(xiàng)，得到一個(gè)常系數(shù)線性方程：

(2)

其特征方程為

λ2-2uλ+u2+1=0.

解得其特征值為

λ1=u+i，

λ2=u-i.

1)當(dāng)u<0時(shí)，λ1，λ2為有負(fù)實(shí)部的虛數(shù)，所以平衡點(diǎn)(0，0)是系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的焦點(diǎn).

2)當(dāng)u>0時(shí)，λ1，λ2為有正實(shí)部的虛數(shù)，所以平衡點(diǎn)(0，0)是系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定的焦點(diǎn).

3)當(dāng)u=0時(shí)，λ1=i，λ2=-i為純虛數(shù)，系統(tǒng)(2)以(0,0)為中心,此時(shí)(1)就變成

(3)

用后繼函數(shù)法研究此非線性方程組在(0,0)的穩(wěn)定性：

在方程組(3)中，令x=rcosθ,y=rsinθ，有

得：

繼而得：

(4)

所以

r(θ,c)=c-θc3+r4(θ)c4+…,

r(2π,c)-r(0,c)=c-2πc3+r4(2π)c4+…-c-0·c3-r4(0)c4+…=

-2πc3+….

當(dāng)c充分小時(shí)，r(2π,c)-r(0,c)<0?r(2π,c)

顯然，當(dāng)參數(shù)u由負(fù)變到正時(shí)，λ沿實(shí)軸上方或下方穿過(guò)虛軸，平衡點(diǎn)由穩(wěn)定的焦點(diǎn)(u<0)變?yōu)椴环€(wěn)定的焦點(diǎn)(u>0)，這個(gè)系統(tǒng)在u=0處發(fā)生了Hopf分叉[9]，如圖3所示.

圖2 u≤0時(shí)系統(tǒng)(1)的軌線圖

圖3 Hopf分叉

事實(shí)上，該系統(tǒng)不只發(fā)生了奇點(diǎn)分叉，還發(fā)生了閉軌分叉.

上面的第二個(gè)方程表示軌線以角速度ω=1旋轉(zhuǎn)，而對(duì)第一個(gè)方程，有：

1)當(dāng)u≤0時(shí)，只有唯一奇點(diǎn)(0，0)，且是穩(wěn)定的焦點(diǎn).

該系統(tǒng)的超臨界分岔如圖4所示.

圖4 超臨界分岔

2 系統(tǒng)(1)存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)情況

定理2：當(dāng)u>0時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán).

下面先討論系統(tǒng)(1)在全平面上極限環(huán)的存在情況：

取H(x,y)=Exm+Fyn+Gxpyqelx+gy

HP=Euxm+1-Exmy-Exm+3-Exm+1y2+Fuxyn-Fyn+1-Fx3yn-Fxyn+2+

[Guxp+1yq-Gxpyq+1-Gxp+3yq-Gxp+1yq+2]elx+gy

HQ=Exm+1+Euxmy-Exm+2y-Exmy3+Fxyn+Fuyn+1-Fx2yn+1-Fyn+3+

[Gxp+1yq+Guxpyq+1-Gxp+2yq+1-Gxpyq+3]elx+gy

1)令E=G=0,F>0,則

Fu(n+2)yn-F(n+4)yn+2-F(n+4)x2yn+Fnxyn-1,

取n=-2,F=1,H(x,y)=y-2,

由Dulac判別法[10]可知，系統(tǒng)(1)在一、三象限不存在閉軌.

2)令F=G=0,E>0，則

取m=-2,E=1,H(x,y)=x-2,

同樣的由Dulac判別法可知，系統(tǒng)(1)在二、四象限不存在閉軌.又因?yàn)閤=0與y=0不是系統(tǒng)的軌線,則當(dāng)u>0時(shí)，系統(tǒng)(1)可能存在與x軸，y軸相交的軌線.

下面用環(huán)域定理[6]來(lái)證明當(dāng)u>0時(shí)，系統(tǒng)(1)極限環(huán)的存在性：

記V(x,y)=x2+y2，則在軌線上有

取內(nèi)外境界線分別為L(zhǎng)1和L2:

又有

故系統(tǒng)(1)的軌線當(dāng)t增加時(shí)均由內(nèi)境界線L1的內(nèi)部跑向外部，由外境界線L2的外部跑向內(nèi)部.

系統(tǒng)(1)的軌線均進(jìn)入由L1和L2所圍成的環(huán)域D中，在環(huán)域D中存在閉軌L，其相對(duì)位置是L1?L?L2.又因P(x,y),Q(x,y)都是解析函數(shù)，故閉軌L為穩(wěn)定的極限環(huán),如圖5所示.

圖5 極限環(huán)L

下面證明系統(tǒng)(1)存在唯一穩(wěn)定的極限環(huán)：

用文獻(xiàn)[4]中的定理6.1和定理6.8來(lái)分別證明系統(tǒng)(1)只存在一個(gè)極限環(huán).

由前面可知系統(tǒng)(1)的極坐標(biāo)形式為：

取

最后有

因?yàn)閡>0，故由文獻(xiàn)[4]中定理6.1可知系統(tǒng)(1)的極限環(huán)唯一.

對(duì)于系統(tǒng)(1)

有

P(x,y)Q(λx,λy)-P(λx,λy)Q(x,y)=[ux-y-x(x2+y2)][λx+λuy-λ3y(x2+y2)]-

對(duì)于任意的λ>1，恒有

P(x,y)Q(λx,λy)-P(λx,λy)Q(x,y)≥0，

并且只有取(0,0)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故由文獻(xiàn)[4]中定理6.8可知系統(tǒng)(1)的極限環(huán)唯一.

3 系統(tǒng)(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的軌線情況

下面考慮系統(tǒng)(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)的情況：

1)作Poincare′變換.

即

把系統(tǒng)(1)變成系統(tǒng)

(5)

(6)

2)求出系統(tǒng)(6)在p軸(z=0)上的平衡點(diǎn)，并判斷其穩(wěn)定性.

令z=0，則有

所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解，則赤道上無(wú)其他奇點(diǎn).

3)作Poincare′變換.

即

系統(tǒng)(1)化為

(7)

(8)

求出系統(tǒng)(8)在ν軸(z=0)上的平衡點(diǎn)，令z=0，有

則方程也無(wú)實(shí)數(shù)解.

綜上,系統(tǒng)(1)沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).

4 系統(tǒng)的全局相圖

由前文對(duì)系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)、極限環(huán)以及無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)部分的推征，可大致畫(huà)出系統(tǒng)的全局相圖，如圖6所示.可以清晰地看到系統(tǒng)存在一個(gè)平衡點(diǎn)(0，0)，以及一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán).

圖6 系統(tǒng)的全局相圖

5 Matlab作圖

利用Matlab 作圖驗(yàn)證理論部分的準(zhǔn)確性.圖7(a)～(c)分別表示u=-1，0，1時(shí)系統(tǒng)(1)的全局相圖.

圖7 系統(tǒng)(1)的全局相圖

6 結(jié)論

通過(guò)以上對(duì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)隨參數(shù)變化而發(fā)生變化和極限環(huán)的存在情況，以及系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的軌線情況，清晰了解參數(shù)取不同值時(shí)系統(tǒng)的軌線走向及趨勢(shì).