車流作用下大跨度拱橋車橋耦合振動(dòng)分析

趙露薇，王青娥，王貴春

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

鋼管混凝土拱橋因其造價(jià)合理、外形美觀、施工方便和交叉性能強(qiáng)等獨(dú)特優(yōu)勢，近幾十年在我國得到了廣泛應(yīng)用[1?2]。移動(dòng)車輛在橋面上行駛時(shí)，橋梁的顯著動(dòng)力響應(yīng)和沖擊效應(yīng)是造成典型結(jié)構(gòu)損傷的主要因素之一[3]。近年來，隨著通行車輛行駛速度的不斷提高和車輛超載情況的逐漸增多，一些新型大跨度橋梁在設(shè)計(jì)、建設(shè)、維修、養(yǎng)護(hù)過程中不斷面臨新挑戰(zhàn)，因此有必要探究復(fù)雜工況下的車輛-橋梁耦合動(dòng)力響應(yīng)。學(xué)術(shù)界在該方面已取得一些成果[4]，車輛模型從最初的簡單移動(dòng)荷載[5]、移動(dòng)的質(zhì)量塊、賦予質(zhì)量的彈簧模型發(fā)展到具有多個(gè)自由度的質(zhì)量?彈簧?阻尼體系[6]。構(gòu)建橋梁模型時(shí)考慮的因素和參數(shù)也變得愈加復(fù)雜，包括伸縮縫構(gòu)造[7]、橋梁跨度[8]和索塔構(gòu)造[9]等。郝艷廣等[10]基于ABAQUS有限元軟件建立二自由度1/4車輛模型和簡支橋模型，求解車輛和橋梁時(shí)域響應(yīng)。BUCINSKAS等[11]將橋面和橋塔模擬為梁單元，采用單跨簡化橋梁結(jié)構(gòu)，基于結(jié)構(gòu)?土相互作用研究車?橋?土系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。LI等[12]對(duì)一座加固后的橋梁進(jìn)行模擬，得到車輛行駛時(shí)的車速、車道位置、車輛重量和路面狀況等對(duì)橋梁動(dòng)力性能的影響。以上研究得到不同方面的有價(jià)值結(jié)論，但是多集中于單一移動(dòng)車輛或單向車流在橋面上移動(dòng)的工況，或僅僅分析橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，極少涉及多個(gè)車輛雙向交通流工況及車輛動(dòng)力響應(yīng)。這樣不能模擬真實(shí)過橋車輛所引起在役拱橋的動(dòng)力響應(yīng)，而這卻是橋梁維修管理部門關(guān)注的重點(diǎn)。同時(shí)，對(duì)于拱橋的研究，大多采用小跨度的單跨上承式或下承式橋梁，鮮少以大跨度中承式鋼管混凝土系桿拱橋?yàn)檠芯繉?duì)象[13?14]，然而針對(duì)兩者的車橋耦合振動(dòng)分析結(jié)果不盡相同。因此本文建立車橋系統(tǒng)三維動(dòng)力分析模型，模擬雙向多車輛的交通流分布，計(jì)算不同橋面不平度下茅草街大橋的動(dòng)力響應(yīng)，分析運(yùn)行車輛在豎向、側(cè)傾和俯仰3個(gè)方向的動(dòng)力響應(yīng)。車輛過橋時(shí)，主跨跨中部位、主拱部位的振動(dòng)響應(yīng)最為明顯，也是研究橋梁安全性時(shí)的重點(diǎn)分析部位。因此，本文重點(diǎn)關(guān)注的結(jié)構(gòu)響應(yīng)包括橋梁跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)位移、加速度峰值，橋梁跨中縱梁截面振動(dòng)彎矩、正應(yīng)力、剪應(yīng)力幅值，主拱頂及主拱1/4處的軸力、正應(yīng)力、剪應(yīng)力幅值。為橋梁維修管理部門開展健康檢測及制定維修決策提供理論依據(jù)。

1 車橋系統(tǒng)振動(dòng)分析模型

1.1 茅草街大橋有限元模型

茅草街大橋的主橋?yàn)殇摴芑炷料禇U拱橋(三跨中承式)。橋梁上部結(jié)構(gòu)包括橋面板結(jié)構(gòu)、2根主拱肋、橫撐、吊桿、立柱及若干連接件。橋面設(shè)計(jì)為雙向4個(gè)車道，行車道寬15 m。橋梁有限元模型見圖1。依據(jù)設(shè)計(jì)圖紙建立橋梁有限元模型時(shí)的邊界條件如下：橫梁與縱梁固結(jié)，用自由度耦合模擬橫梁和立柱的鉸支狀態(tài)；主墩樁基礎(chǔ)的模擬采用邊墩墩底及拱座均固結(jié)的形式。其中拱肋的模擬方法是將鋼與混凝土經(jīng)換算處理成同一種材料。換算公式如下：

式中：As,Ac為鋼管的截面面積、鋼管內(nèi)混凝土的截面面積；Is,Ic為鋼管截面慣性矩、鋼管內(nèi)混凝土慣性矩；Es,Ec為鋼材彈性模量、混凝土彈性模量。

1.2 車輛空間模型

9自由度三軸車輛模型見圖2，其中z1~z6分別為各車輪對(duì)應(yīng)豎向位移；Zv，φv和θv分別為車體豎向位移、側(cè)傾角位移和俯仰角位移；m1~m6分別為各車輪(包括車懸架)對(duì)應(yīng)質(zhì)量；mv為車體質(zhì)量；ku1~ku6和cu1~cu6為各車輪對(duì)應(yīng)車懸架剛度及阻尼；kd1~kd6和cd1~c d6為各車輪對(duì)應(yīng)輪胎剛度和阻尼。

圖2 車輛模型Fig.2 Vehicle model

1.3 橋面不平順模擬

路面不平順是引起車橋耦合振動(dòng)的重要原因[15-17]。本文采用諧波疊加法模擬橋面不平順，該方法的理論基礎(chǔ)較為嚴(yán)密，計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定可靠。依照《車輛振動(dòng)輸入—路面平度表示方法》(GB7031)的等級(jí)劃分，考慮到公路橋梁的實(shí)際路面情況，基于MATLAB模擬A，B，C和D 4個(gè)路面等級(jí)[18-20]，功率譜密度見式(2)。

模擬橋面不平順值的諧波疊加公式見式(3)：

nk=nl+(k-1/2)Δn,k=1,2,…,N，為 空 間頻率；Δn=(nh-nl)/N；nh和nl為空間頻率的上、下限；圓頻率ωk=2πnk；φk為相位角。

表1 參數(shù)的含義Table 1 Meaning of parameters

以B級(jí)橋面為例，分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，B級(jí)橋面情況下不平順樣本函數(shù)曲線及A，B，C和D 4個(gè)等級(jí)橋面的最大不平順值，見圖3。隨著不平順程度的提高，橋面不平順值逐漸增大。A，B，C和D 4個(gè)不平順等級(jí)對(duì)應(yīng)的峰值依次是18.56，35.4，71.8和148.52 mm。與A級(jí)不平順峰值相比，B，C和D 3個(gè)等級(jí)的不平順峰值分別增大0.9倍、2.86倍和7.0倍。

圖3 B級(jí)橋面不平順樣本函數(shù)及各級(jí)橋面不平順峰值曲線Fig.3 Grade B bridge deck irregularity sample function and the curve of maximum roughness values

1.4 車輛間距的模擬

區(qū)別于其他研究中單一移動(dòng)車輛或單向車流移動(dòng)的工況，本文模擬雙向不間斷車流，計(jì)算結(jié)果及結(jié)論更貼近實(shí)際。統(tǒng)計(jì)信息表明車輛間距具有隨機(jī)特性且服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，考慮到車輛間距和車隊(duì)數(shù)量，采用正態(tài)分布函數(shù)模擬隨機(jī)車流。設(shè)x為車輛間距，y=lnx，則有

式中：f(y)是概率密度函數(shù)；uy是均值；σy是標(biāo)準(zhǔn)差。

2 車橋耦合振動(dòng)微分方程及求解

2.1 方程的建立

在車橋耦合系統(tǒng)中，車輛和橋梁2個(gè)子系統(tǒng)通過位移協(xié)調(diào)條件和受力平衡條件形成一個(gè)整系統(tǒng)。位移協(xié)調(diào)條件指車輛在橋上行駛過程中，車輪始終與橋面保持緊貼，不發(fā)生脫離，即行駛中車輛的豎向位移受到橋梁豎向位移的限制與約束。同時(shí)，將橋面不平順值與橋梁位移疊加組合而成的等效不平順值作為激勵(lì)，輸入到車輛子系統(tǒng)中。受力平衡是指在車輛與橋面接觸點(diǎn)上，車橋之間形成一對(duì)大小相等方向相反的作用力與反作用力平衡力系。運(yùn)動(dòng)方程寫為式(5)和式(6)：

在式(5)和式(6)中，[M]為質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K]為剛度矩陣；{Z(t)}為位移列向量；{?(t)}為速度列向量；{?(t)}為加速度列向量；{P(t)}為子系統(tǒng)所受作用力列向量；下角標(biāo)v表示車輛子系統(tǒng)；下角標(biāo)b表示橋梁子系統(tǒng)。

2.2 求解及收斂控制

采用Newmark-β法分離迭代求解車輛與橋梁的振動(dòng)微分方程組，該算法具有較高的收斂性、效率及計(jì)算精度。利用ANSYS中的APDL語言，編寫命令流進(jìn)行迭代求解。位移收斂準(zhǔn)則如下：

Zi，Zi-1分別表示第i次，第i-1次迭代車輪與橋面接觸點(diǎn)處的豎向位移向量；ε為位移控制參數(shù)，取為0.01。

2.3 求解程序流程圖

當(dāng)車輛在橋面上行駛時(shí)，由于車輛所在位置一直在變化，橋面的不平順值、車輛與橋梁的振動(dòng)狀態(tài)也隨之變化，為時(shí)變隨機(jī)的復(fù)雜過程。應(yīng)用ANSYS模擬“車過橋”過程時(shí)，假定車輛和橋梁的初始位移、速度、加速度為0，橋面不平順與橋梁位移疊加后的不平順值為下一時(shí)間步的激勵(lì)，作用于車輛與橋梁子系統(tǒng)。利用宏命令按照功能分塊編制求解命令流，可極大降低修改工作量，縮短計(jì)算時(shí)間。APDL迭代求解命令流的流程見圖4。

3 橋梁動(dòng)力響應(yīng)

僅考慮車輛荷載作用，雙向不間斷車流在橋面4車道勻速行駛，車速20 m/s，車重(自重+載重)20 t，每列車隊(duì)的首個(gè)車輛同時(shí)上橋，橋面上車輛數(shù)目最多時(shí)為30輛，車輛質(zhì)心在同一直線上，位于車道橫向中部。

采用國家標(biāo)準(zhǔn)中A，B，C和D 4個(gè)不平順等級(jí)，計(jì)算分析一個(gè)行車周期(橋梁跨度/行車速度)內(nèi)橋梁的動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)果見圖5和圖6。

1)橋梁跨中節(jié)點(diǎn)位移變化分析。如圖5所示，橋梁跨中節(jié)點(diǎn)在不同路面等級(jí)下的豎向振動(dòng)位移時(shí)程曲線和豎向振動(dòng)加速度時(shí)程曲線，在“車過橋”過程中呈現(xiàn)出變化復(fù)雜的波動(dòng)狀態(tài)。中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)《鋼管混凝土拱橋設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定：對(duì)于拱橋結(jié)構(gòu)，在汽車荷載作用下，一個(gè)橋跨范圍內(nèi)的正負(fù)撓度的絕對(duì)值之和不大于L/800。茅草街大橋總跨度為528 m，L/800=528×1 000/800=660 mm。在A級(jí)路面不平順下，橋梁跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)位移的峰值是1.335 mm，B，C和D等級(jí)對(duì)應(yīng)峰值分別為2.871，8.129和10.874 mm。B，C和D 3個(gè)不平順等級(jí)對(duì)應(yīng)的峰值與A級(jí)對(duì)應(yīng)峰值比較，分別增大1.15倍、5.09倍和7.15倍。可知，橋梁跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)位移的峰值隨路面不平順程度的增加呈非線性增長，且都在容許變形范圍內(nèi)，橋梁處于安全狀態(tài)。

圖5 橋梁跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)位移、加速度時(shí)程曲線Fig.5 Time-history curves of vertical vibration displacement and acceleration

2)橋梁跨中節(jié)點(diǎn)加速度變化分析。路面等級(jí)為A時(shí)，橋梁跨中節(jié)點(diǎn)最大豎向振動(dòng)加速度為0.385 m/s2，B，C和D等級(jí)對(duì)應(yīng)峰值分別為0.657，0.928和1.596 m/s2。B，C和D 3個(gè)不平順等級(jí)對(duì)應(yīng)的峰值與A級(jí)對(duì)應(yīng)峰值比較，分別增大0.71倍、1.41倍和3.15倍。從圖6得出，橋梁跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)加速度峰值隨路面不平順程度的增加呈非線性增長，加速度的增長幅度遠(yuǎn)小于位移增長幅度。

圖6 不同路面等級(jí)橋梁跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)位移、加速度峰值變化曲線Fig.6 Variation curves of vertical vibration displacement and acceleration peak value of mid-span joints of bridges with different pavement grades

3)橋梁跨中縱梁截面振動(dòng)響應(yīng)分析。各響應(yīng)峰值如表2所示，路面等級(jí)為A時(shí)，橋梁跨中縱梁截面最大豎向振動(dòng)彎矩為4.616 kN?m，B，C和D 3個(gè)不平順等級(jí)對(duì)應(yīng)的峰值分別是6.934，11.327和24.605 kN?m。B，C和D 3個(gè)不平順等級(jí)對(duì)應(yīng)的彎矩峰值與A級(jí)對(duì)應(yīng)峰值比較，分別增大0.50倍、1.45倍和4.33倍。同樣，B，C和D 3個(gè)不平順等級(jí)對(duì)應(yīng)正應(yīng)力的峰值分別比A級(jí)對(duì)應(yīng)正應(yīng)力峰值增大0.41倍、1.67倍和3.16倍。B，C和D 3個(gè)不平順等級(jí)對(duì)應(yīng)剪應(yīng)力的峰值分別比A級(jí)對(duì)應(yīng)剪應(yīng)力峰值增大1.32倍、4.30倍和6.95倍。因此，隨著路面不平順等級(jí)的增加，橋梁跨中縱梁截面的彎矩、正應(yīng)力、剪應(yīng)力均呈非線性增長，其中剪應(yīng)力增長幅度較大，而正應(yīng)力和彎矩的變化幅度較小，增長趨于平緩，且遠(yuǎn)小于鋼梁的容許正應(yīng)力200 MPa和容許剪應(yīng)力120 MPa[21]，橋梁跨中縱梁處于安全狀態(tài)，見圖7。

圖7 橋梁跨中縱梁截面振動(dòng)彎矩、正應(yīng)力、剪應(yīng)力幅值隨橋面等級(jí)變化曲線Fig.7 Variation curve of vibration bending moment，normal stress and shear stress amplitudeof longitudinal beam section of the bridge with the grade of the bridge deck

表2 不同橋面等級(jí)橋梁跨中、主拱動(dòng)力響應(yīng)峰值Table 2 Peak value of dynamic response of bridge mid-span and main arch under different bridge deck grades

以上分析說明路面等級(jí)越低，不平順狀況越惡化，車橋耦合振動(dòng)越劇烈，橋梁跨中節(jié)點(diǎn)及截面的動(dòng)力響應(yīng)越明顯。在橋梁日常維護(hù)中，應(yīng)及時(shí)修補(bǔ)橋面，防止因橋面惡化引起結(jié)構(gòu)較大的動(dòng)力效應(yīng)而導(dǎo)致橋梁發(fā)生損傷。

4)橋梁主拱拱肋頂部截面和主拱拱肋1/4處截面振動(dòng)響應(yīng)分析。隨著路面等級(jí)的變化，拱頂截面和拱肋1/4處的軸力、正應(yīng)力及剪應(yīng)力呈非線性增長，見表2?？傮w上，拱頂截面應(yīng)力響應(yīng)峰值對(duì)橋面不平順等級(jí)的敏感程度較拱肋1/4截面處的高。拱頂部截面和主拱拱肋1/4處截面的最大正應(yīng)力值是1.727 MPa，最大剪應(yīng)力值是0.193 MPa。而鋼的容許正應(yīng)力和容許剪應(yīng)力分別是200 MPa和120 MPa，屈服應(yīng)力是340 MPa。因此，該橋梁在正常使用階段的受力性能能夠滿足要求。由表2可知，橋面不平順對(duì)于主拱拱頂及主拱1/4處的正應(yīng)力和剪應(yīng)力影響均較小，主拱頂正應(yīng)力變化范圍是0.214～1.727 MPa，主拱頂剪應(yīng)力變化范圍是0.021 8～0.137 MPa。因此，可以得出橋面不平順對(duì)主拱的受力影響較小。

4 車輛動(dòng)力響應(yīng)

1)車輛位移變化分析。圖8～9分別是車輛豎向、側(cè)傾和俯仰3個(gè)方向?qū)?yīng)的位移和加速度峰值的變化曲線，各振動(dòng)響應(yīng)峰值列于表3?？梢缘玫?，B，C和D 3個(gè)等級(jí)下的車輛豎向位移分別是A級(jí)橋面不平順對(duì)應(yīng)位移的1.98倍、4.64倍和6.71倍；側(cè)傾位移分別是A級(jí)的2.09倍、4.08倍和8.18倍；俯仰位移分別是A級(jí)的2.29倍、4.35倍和9.24倍，總體上俯仰位移的變化幅度大于豎向和側(cè)傾2個(gè)方向的位移變化幅度。車輛各自由度對(duì)應(yīng)的位移隨橋面不平順情況的惡化而逐漸增大，車輛在D級(jí)橋面行駛時(shí)的振動(dòng)位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在A級(jí)橋面上的振動(dòng)位移。因此，橋面不平整度會(huì)加大車輛的振動(dòng)響應(yīng)，影響司乘人員的舒適感。

圖8 不同路面等級(jí)下車輛豎向、側(cè)傾、俯仰振動(dòng)位移時(shí)程曲線Fig.8 Time-history curves of vertical，roll and pitching vibration of vehicles under different road grades

圖9 車輛豎向、側(cè)傾、俯仰振動(dòng)加速度峰值變化曲線Fig.9 Peak acceleration curve of vehicle vertical，roll and pitch vibration

表3 不同橋面等級(jí)下車輛動(dòng)力響應(yīng)峰值Table 3 Peak dynamic response of vehicles under different bridge deck grades

2)車輛加速度變化分析。B，C和D 3個(gè)等級(jí)下的車輛豎向加速度分別是A級(jí)路面不平順對(duì)應(yīng)加速度的1.89倍、4.16倍和7.85倍；側(cè)傾加速度分別是A級(jí)的1.32倍、2.71倍和7.27倍；俯仰加速度分別是A級(jí)的1.6倍、3.4倍和7.27倍。豎向加速度的增長幅度最大，俯仰、側(cè)傾2個(gè)方向的加速度增長幅度稍小一些。隨著橋面不平順的惡化，車體各方向的振動(dòng)加速度峰值均呈現(xiàn)非線性增長，將會(huì)極大影響車輛安全性。

5 結(jié)論

1)在“車過橋”過程中，橋梁跨中節(jié)點(diǎn)的豎向振動(dòng)位移和豎向振動(dòng)加速度時(shí)程曲線呈現(xiàn)出變化復(fù)雜的波動(dòng)狀態(tài)。隨著路面的惡化，橋梁跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)位移峰值、加速度峰值呈非線性增長，D級(jí)較A級(jí)的位移峰值增大7.15倍。但都在容許變形范圍內(nèi)，橋梁處于安全狀態(tài)。

2)隨著路面不平順程度的增大，橋梁跨中截面振動(dòng)彎矩、正應(yīng)力和剪應(yīng)力幅值在逐漸增加，呈非線性增長。這說明橋面不平順度的增大會(huì)加劇車橋耦合振動(dòng)，從而加大跨中截面、主拱的動(dòng)力響應(yīng)。D級(jí)與A級(jí)相比，跨中截面彎矩峰值增大4.33倍，正應(yīng)力峰值增大3.16倍，剪應(yīng)力峰值增大6.95倍；主拱正應(yīng)力峰值增大7.07倍，剪應(yīng)力峰值增大5.28倍，在正常使用階段的受力性能能夠滿足要求。但在開展大跨度拱橋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，仍需將不平順影響考慮在內(nèi)。

3)車輛的豎向、側(cè)傾、俯仰3個(gè)自由度對(duì)應(yīng)的位移、加速度均逐漸增大，且增大趨勢愈加明顯，因此要注意橋面平整度的維護(hù)。

4)本研究集中于路面不平度變化時(shí)鋼管混凝土拱橋與行駛車輛的車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)，今后可采用試驗(yàn)和數(shù)值模擬方法探討車速變化時(shí)鋼管混凝土拱橋在移動(dòng)車輛荷載作用下的動(dòng)力性能，還可考慮分析車輛安全性及司乘人員的乘坐舒適性。