擋墻后土體應力狀態(tài)與主動土壓力計算分析

王雨波，曹文貴

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

擋土墻土壓力問題一直都是土力學研究領域的一個重要內(nèi)容，在經(jīng)典理論中，朗肯理論(1857)由于假設條件過于理想而不能受到廣泛應用，而庫倫理論(1776)只能得到土壓力合力卻無法求得其分布，且?guī)靷惣僭O的土壓力沿墻高為線性分布也無法得到國內(nèi)外眾多試驗結(jié)果的支持[1-4]。土壓力的分布形式是一個關(guān)鍵性問題，對土壓力非線性分布的研究從土拱效應的發(fā)現(xiàn)和薄層微分方法的應用開始，取得了重大的進展。1943年，KARL[5]通過活動門實驗證明了土拱效應的存在，將土拱效應描述為土體中應力的偏轉(zhuǎn)和重分布，1985年，HANDY[6]將土拱定義為應力發(fā)生偏轉(zhuǎn)后最小主應力的軌跡線，并推導其形狀為懸鏈線，結(jié)合水平微分薄層受力平衡分析方法，求得了土壓力的分布，分布解顯示為非線性，良好地吻合了試驗結(jié)果。此后眾多的學者對該方法進行了改進，如PAIK等[7-8]分別將土拱形狀假定為圓弧、拋物線等形狀，根據(jù)水平薄層方法，得到了相應的土壓力分布解；楊貴等[9-10]以曲線滑裂面為研究出發(fā)點，分別研究了在旋輪線和對數(shù)螺旋線滑裂面下的土壓力分布；劉忠玉等[11]基于土拱效應，建立了考慮層間剪應力的土壓力計算方法；張慧姐等[12]采用沿主應力跡線分層的研究方法，避免了剪應力對薄層受力分析的影響。土拱方法的基本思路是假定滑動土體整體所有單元處于極限平衡狀態(tài)，即達到Mohr-Coulomb屈服條件，摩爾圓與抗剪強度線相切，據(jù)此先求出墻背上和滑裂面上主應力的偏轉(zhuǎn)角，進而得到墻背處土壓力強度與水平層平均豎向應力的比值系數(shù)(稱為側(cè)土壓力系數(shù))，最后對水平薄層進行受力分析求解。然而，滑動土體完全達到極限狀態(tài)的觀點在近年來開始受到質(zhì)疑。事實上，大部分情況下破壞單元僅出現(xiàn)在滑移面上，呈現(xiàn)整體滑動破壞的形式，而非整體式的“崩壞”，如文獻[13]中的數(shù)值結(jié)果所示。劉洋等[14]認為，主動土壓力狀態(tài)下，墻面土體達到極限狀態(tài)，而滑裂面上土體未達極限狀態(tài)，原因是試驗表明，在墻體背離土體運動過程中，墻土外摩擦角先于內(nèi)摩擦角充分發(fā)揮，但這種條件下，滑裂面尚未形成，主動土壓力還未達到穩(wěn)定[13-15]，因而文獻[14]的解答實際上可看作一種非極限狀態(tài)下的土壓力解。當滑裂面出現(xiàn)時，主動土壓力才達到穩(wěn)定，因此，此時視滑移面上土體處于極限狀態(tài)，而滑動土體內(nèi)部及墻背土體單元處于非極限狀態(tài)，會更加符合實際條件。另一方面，在運用土拱理論進行土壓力分布的理論研究時，幾乎都沒有深究滑動土楔所受反力的分布，也沒有考慮在相應土壓力解答下，土楔能否滿足整體的力矩平衡。茅以升[16]在1954年對庫倫理論能否滿足力矩平衡條件提出過質(zhì)疑，但是在后續(xù)的土壓力理論研究中，這個問題一直未能得到應有的重視?；谝陨涎芯砍霭l(fā)點，本文考慮滑裂面土體達到極限平衡狀態(tài)，而土楔內(nèi)部及墻面土體均未達到極限平衡狀態(tài)，參考文獻[14]中二維微分單元的研究方法和假設，得到主動土壓力分布和土反力分布解，并進一步考慮土楔整體的靜力平衡與力矩平衡條件，求解了滑裂面傾角及墻背土體非極限應力狀態(tài)參數(shù)，建立了較為合理的主動土壓力計算模型，并進行了驗證分析。

1 微分方程的建立與求解

1.1 滑動土體微分方程

如圖1所示的土壓力計算模型，剛性擋土墻墻背豎直，墻后填筑無黏性土，填土面水平，土的重度為γ，內(nèi)摩擦角為φ，墻高H，墻土摩擦角為δ，擋墻在墻后土體的推動下背離土體平動位移，直至滑裂面形成，土壓力達到穩(wěn)定，視為主動極限平衡狀態(tài)。設該狀態(tài)下土中滑移面近似為一通過墻踵的平面BC，滑裂面傾角為β。在墻踵處建立如圖所示的平面直角坐標系，并取土楔中坐標為(x,z)的微元進行受力分析，根據(jù)彈性力學理論，可以得到微元體dxdz的平衡微分方程為

圖1 主動土壓力計算模型與微分單元Fig.1 Active earth pressure calculation model and differential element

1.2 邊界條件

在滑裂面BC上，土體達到極限狀態(tài)，其應力狀態(tài)可由圖2所示摩爾圓進行表示。其中，α是σ3與水平方向的夾角，σR是滑裂面上的法向應力。根據(jù)摩爾圓有如下關(guān)系

圖2 滑裂面上土體單元的應力狀態(tài)Fig.2 Stress state of soil element on sliding surface

在滑裂面上，定義剪應力與豎向應力的比值為B，則[14]

于是，滑裂面BC上的邊界條件為

在墻面AB上，由于土體沒有達到極限平衡狀態(tài)，所以摩爾圓并不與抗剪強度線相切，如圖3所示。本文用主應力比參數(shù)Km來對其狀態(tài)進行描述，定義土體中任意一點的主應力比Km為

圖3 墻背處土體單元的應力狀態(tài)Fig.3 Stress state of soil element at the back of wall

顯然，在極限狀態(tài)下，Km=Ka，非極限狀態(tài)下，Km>Ka。Ka為朗肯主動土壓力系數(shù)，代表極限狀態(tài)下最小與最大主應力之比，其值為

在圖3中，σw和τw分別表示在擋土墻墻面上的正應力和切應力，在三角形POR中，根據(jù)正弦定理，有

其中，ψ表示σ3與水平面夾角的2倍角，于是

根據(jù)圖3可進一步得到墻背處土體的σw和σz

定義墻面處土的側(cè)壓力系數(shù)Kw為墻面上的正應力和墻面處σz的比值，即

根據(jù)摩爾圓顯然應有Kw>Km>Ka。這里，先將Km和Kw當做未知的參數(shù)來進行對待。定義比值

那么，墻背AB上的邊界條件為

上邊界AC條件為

1.3 土體的應力解

由于墻體位移很小，水平層面上的上覆應力變化不大，因此可將σz視作僅為深度的函數(shù)σz(z)，結(jié)合邊界條件可對微分方程進行求解[14]，根據(jù)邊界條件(4)，(13)，(14)可求得微分方程組(1)的應力解，從而得到σz和σw解答為

其中，

這里，土壓力分布表達式(16)中含有未知的應力狀態(tài)參數(shù)Kw，所以還需要通過其他條件對其狀態(tài)進行確定。

2 非極限參數(shù)計算的力矩平衡方法

在圖1所示的計算模型中，通過對土楔列整體靜力平衡方程，可以得到主動土壓力合力E和土反力合力R的大小分別為

通過分布解式(16)積分求得的土壓力合力為

若將β大小當做已知，那么式(18)與式(20)應該相等，令式(18)等于式(20)，于是可解得

其中，

同樣，土反力的合力R也應當要滿足相等的條件。

根據(jù)圖2，在滑裂面上有

令

則

通過反力分布解(26)積分求出的反力的合力為

令式(19)與式(27)相等，解出Kw，可以驗證得到和式(21)相同的結(jié)果。實際上，由于式(1)滿足ABC中任一點的微觀平衡條件，所以如果令土壓力相等，那么土反力也必然是能夠互相吻合的。但是力矩平衡條件卻不一定能夠滿足，因為在這個問題中，邊界BC和反力都是不確定的，這也是土壓力問題不同于其他傳統(tǒng)力學問題，一直以來成為疑難問題的重要原因，因為反力條件和內(nèi)部應力條件都不是獨立的已知條件，且緊密聯(lián)系。這里，力矩平衡需要使滑移面BC滿足一定的傾角條件，土楔ABC的力矩平衡方程為

從式(28)中求解Kw，得到

令Kw1=Kw2，即可解出在定義范圍內(nèi)滑移面的傾角值β，由于難以解出顯性表達式，可利用Mat‐lab進行數(shù)值求解該隱式方程。圖4顯示了在δ=φ/3時，不同理論方法所計算的滑移面傾角隨內(nèi)摩擦角φ變化的圖像，從圖中可以看出，不同方法所計算出的滑移面傾角都隨內(nèi)摩擦角φ的增大而增大，但在δ和φ相同的情況下，各方法所計算的β值中，庫倫解最小，章瑞文等[17]的解較為接近且大于庫倫解，而本文解最大，因此采用庫倫滑裂面傾角可能會使土壓力計算結(jié)果偏于保守。

圖4 滑移面傾角計算值比較Fig.4 Comparison of calculated values of slip surface inclination angle

將從Kw1=Kw2所解得的傾角值用β0表示，再返回代入式(21)即可得到

由式(30)求解出側(cè)土壓力系數(shù)Kw之后，返回代入到式(8)和式(11)中，可以解得墻背處土體的偏轉(zhuǎn)角ψ和主應力比Km。首先將式(11)進行如下變形

根據(jù)式(8)有

將式(32)代入式(31)，得

將式(33)進行三角變換并移項，解出

于是，墻面水平向主動土壓力的分布解由式(16)給出，反力分布由式(26)給出，主動土壓力合力為

其中，KA為本文理論下的主動土壓力系數(shù)。主動土壓力合力作用點高度為

3 實例驗證與參數(shù)分析

3.1 實例驗證

為了驗證本文理論的可靠性，采用文獻[15]中編號342的平移模型試驗(本文編號試驗1)和文獻[1]中砂性土模型試驗(本文編號試驗2)的實測數(shù)據(jù)，利用理論公式進行計算和對比分析。試驗參數(shù)分別如下。試驗1：φ=34°，δ=17°，H=1 m，γ=15.4 kN/m3；試驗2：δ=21°，φ=34°，H=1.5 m，γ=12.56 kN/m3。試驗結(jié)果和計算結(jié)果如圖5所示。

從圖5中可以看出，本文理論計算出的土壓力分布與試驗結(jié)果吻合良好，實測值點一直在本文理論曲線兩側(cè)波動，在土壓力曲線峰值以上，相比于其他理論，本文理論解與實測值更為接近，各理論解答與實測值相差都不大，但在峰值以下，本文解則比實測值略偏小，而其余理論值均要明顯大于實測值，其中paik解峰值強度與實測值偏差最大。本文理論解與試驗結(jié)果隨深度變化遵循著較為一致的變化規(guī)律。

圖5 主動土壓力分布曲線對比Fig.5 Comparison of active earth pressure distribution curves

3.2 參數(shù)分析

根據(jù)本文理論公式，分別討論內(nèi)摩擦角φ和墻土外摩擦角δ對于土壓力分布，合力作用點高度及應力參數(shù)的影響。

3.2.1 φ的影響

圖6給出了γ=20 kN/m3，H=1 m，δ=φ/2條件下，主動土壓力分布隨φ的變化規(guī)律，從圖中可以看出，當內(nèi)摩擦角增大時，同一深度處的土壓力值均變小，土壓力合力明顯減小，在土壓力曲線的峰值點處減小值最大，峰值兩側(cè)減小值逐漸變小。從分布形狀上看，土壓力峰值出現(xiàn)的深度幾乎不隨內(nèi)摩擦角的變化而變化，當內(nèi)摩擦角增大時，土壓力分布形狀由尖銳而變得圓滑，非線性也越來越明顯。

圖6 內(nèi)摩擦角對于土壓力分布的影響Fig.6 Effect ofφon earth pressure distribution

圖7顯示當δ一定時，φ的變化對于相對合力作用點高度h/H的影響。當φ取0時相對合力作用點位置均位于墻腳以上(1/3)點，隨著內(nèi)摩擦角的增大，合力作用點位置也逐漸增高，且δ越大，增高得越快。曲線的斜率隨著φ的增大而逐漸減小，表明增長速率越來越慢，當φ=40°時，作用點高度不再隨內(nèi)摩擦角的增大而增加。無黏性土的內(nèi)摩擦角一般不會超過40°，所以對于大于40°之后的情況不再進行討論。

圖7 內(nèi)摩擦角對合力作用點位置的影響Fig.7 Effect ofφon position of resultant force action point

圖8表明了內(nèi)摩擦角φ對于側(cè)土壓力系數(shù)Kw的影響，Kw隨φ的增大而逐漸減小，當φ一定時，δ越大，對應的側(cè)土壓力系數(shù)越大，但δ的取值對于Kw值卻沒有明顯的影響，曲線之間彼此非常接近。圖9表明了不同理論下的主動土壓力系數(shù)Ka隨內(nèi)摩擦角φ的變化規(guī)律[7,11,18]。從圖9可以看出，各理論均表明，Ka應隨著φ的增大而減小。相比于其他理論，本文的主動土壓力系數(shù)與庫倫理論的主動土壓力系數(shù)是最為接近的，這是因為本文方法考慮了滑楔體整體的靜力平衡和力矩平衡條件，而其余理論是完全根據(jù)土拱效應和完全極限狀態(tài)求得的結(jié)果。

圖8 內(nèi)摩擦角對K w的影響Fig.8 Effect ofφon K w

圖9 內(nèi)摩擦角對土壓力系數(shù)的影響Fig.9 Effect ofφon earth pressure coefficient

圖10進一步展現(xiàn)了主動狀態(tài)下的墻背側(cè)土壓力系數(shù)Kw，墻背土體的主應力比Km，以及朗肯主動土壓力系數(shù)Ka三者間的大小關(guān)系。從圖10可以看出，極限狀態(tài)下的最小與最大主應力之比Ka最小，Kw最大，而Km位于二者之間，表明實際上墻背處土體由于沒有達到極限狀態(tài)，摩爾圓不與摩爾庫倫抗剪強度線相切，因而Km>Ka，而在同一狀態(tài)下，由于墻背處土體主應力發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，所以有Km

圖10 墻背土體的應力狀態(tài)參數(shù)比較Fig.10 Comparison of stress state parameters of soil behind wall

3.2.2 δ的影響

圖11描述了土壓力γ=20 kN/m3，H=1 m，φ=30°條件下，δ對于主動土壓力分布的影響。從圖中可以看出，隨著內(nèi)摩擦角的增大，土壓力分布曲線首先由三角形(δ=0)變?yōu)槔嫘?，而后整體形狀逐漸向墻背收縮，非線性也越來越明顯。在距離墻頂較淺深度范圍內(nèi)，外摩擦角變化對于土壓力的大小影響很小，只有當深度接近于土壓力峰值深度時，土壓力大小才會對δ的變化變得十分敏感。總體上來講，隨著δ的增大，土壓力合力明顯減小，且峰值土壓力深度逐漸增高。

圖11 外摩擦角對土壓力分布的影響Fig.11 Effect ofδon earth pressure distribution

圖12展現(xiàn)了φ=30°條件下，合力相對作用點高度h/H隨δ的變化規(guī)律，在不同文獻的方法中，h/H均隨著δ的增大而增大，增大的速率不同，paik理論中，h/H隨著φ的增加而增大得很慢，而本文中，h/H隨著φ的增加而增大得較快，作用點位置表現(xiàn)出對于外摩擦角變化較高的敏感性。

圖12 外摩擦角對合力作用點位置的影響Fig.12 Effect ofδon position of resultant force acting point

圖13顯示了墻背土體的側(cè)土壓力系數(shù)Kw，主應力比Km，朗肯主動土壓力系數(shù)Ka隨δ的變化。在δ變化過程中，三者依然滿足著Ka

圖13 外摩擦角對應力狀態(tài)參數(shù)的影響Fig.13 Effect ofδon stress state parameters

4 結(jié)論

1)當擋墻背離土體移動，使得作用于墻背上的土壓力減小并達到穩(wěn)定時，作用于墻背上的土壓力為主動土壓力，此時土中有滑移面產(chǎn)生，滑移面上土體達到極限狀態(tài)，而土楔內(nèi)部土體及墻背處土體沒有完全達到極限狀態(tài)。

2)在不同內(nèi)外摩擦角條件下，主動狀態(tài)時墻背處土體的實際主應力比值Km與極限狀態(tài)下主應力比值Ka非常接近，因此將其近似視作極限狀態(tài)，采用土拱理論對土壓力進行計算分析，不會對土壓力計算結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。

3)計算平面滑移面傾角β大于庫倫解和朗肯解。與土壓力實測值相比，本文理論值在峰值點以上深度與實測值基本吻合，但在峰值點以下深度要略小于實測值。

4)隨著φ的增大，土壓力合力減小，作用點位置升高，主動土壓力系數(shù)減小，墻背處土體的主應力比Km和側(cè)土壓力系數(shù)Kw也隨之減小。隨著δ的增大，土壓力合力減小，作用點位置升高。δ不會對朗肯主動土壓力系數(shù)Ka產(chǎn)生影響，但是會影響到墻背處土體的應力狀態(tài)和主應力偏轉(zhuǎn)角度。