基于R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)的四足機器人運動學(xué)分析及軌跡規(guī)劃

高海豹，李瑞琴，李澤輝，寧峰平

(中北大學(xué)機械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

由拖拉機等農(nóng)業(yè)機械產(chǎn)生的土壤壓實問題越來越明顯[1]，在一定程度上限制了農(nóng)作物根系的生長，對提高農(nóng)作物產(chǎn)量產(chǎn)生了不利影響[2-3]。從幾何角度考慮，輪式拖拉機與地面的接觸形式為圓柱(輪胎)與平面(地面)相切，與地面的接觸面積較小，加劇了對土壤的壓實。履帶式拖拉機與地面的接觸形式為平面(履帶)與平面(地面)接觸，接觸面積相對較大，緩解了對土壤的壓實，但履帶式拖拉機避障能力差，如不能跨越輸水管道等。為解決上述問題，本文基于R+(3-CPR)+U串并混聯(lián)機構(gòu)設(shè)計了一種四足移動機器人，機器人在移動過程中足端與地面保持平行，可減緩對土壤的壓實。串并混聯(lián)機構(gòu)兼具并聯(lián)機構(gòu)和串聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)勢，在足式移動機器人領(lǐng)域的應(yīng)用越來越多[4-5]。王曉磊等[6]設(shè)計了一種串并混聯(lián)四足移動機器人，采用 Lagrange 方程建立了機器人腿部的動力學(xué)模型，對該機器人進(jìn)行了動力學(xué)分析；高建設(shè)等[7-8]通過3-RRR機構(gòu)串聯(lián)轉(zhuǎn)動機構(gòu)作為機器人的腿部結(jié)構(gòu)，設(shè)計了一種四足移動機器人，采用D-H法求解了機器人腿部機構(gòu)的位置反解，并通過ADAMS軟件進(jìn)行了動力學(xué)仿真分析；田興華等[9]設(shè)計了3種三自由度串并混聯(lián)機構(gòu)，分別對3種構(gòu)型的工作空間、承載空間、各向同性度進(jìn)行了對比分析；馬廣英等[10]設(shè)計了一種兩轉(zhuǎn)兩移的混聯(lián)腿部機構(gòu)，對其進(jìn)行了運動學(xué)分析和步態(tài)規(guī)劃。本文運用螺旋理論對R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)的自由度進(jìn)行分析，通過連續(xù)的RPY坐標(biāo)變換求解該機構(gòu)的位置逆解，采用三維動態(tài)法對該機構(gòu)的工作空間進(jìn)行分析，并對所設(shè)計的四足機器人進(jìn)行穩(wěn)定性分析和軌跡規(guī)劃。

1 整體構(gòu)型設(shè)計

如圖1所示，四足機器人由機器人主體和4條腿構(gòu)成，每條腿的腿部結(jié)構(gòu)完全相同，均為R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)。大腿為3-CPR并聯(lián)機構(gòu)，通過3-CPR并聯(lián)機構(gòu)中的平臺1與機器人主體的轉(zhuǎn)動軸形成R副進(jìn)行連接，小腿為剛性結(jié)構(gòu)，大腿與小腿之間通過U副連接。

圖1 基于R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)四足機器人

2 R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)自由度分析

由于機器人4條腿的結(jié)構(gòu)完全相同，因此以其中的一條腿為研究對象，分析機器人腿部機構(gòu)的自由度?；赗+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)的四足機器人腿部機構(gòu)構(gòu)型如圖2所示。

圖2 R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型

為方便計算和對分析過程進(jìn)行描述，建立機構(gòu)坐標(biāo)系，如圖2所示。圖中虛線部分為機器人主體，其形狀為l×l×h的長方體，運動副位置用字母表示。以機器人主體上端面形心O1為原點，建立坐標(biāo)系O1-x1y1z1(標(biāo)記為{O1})，z1軸垂直于上端面，正方向豎直向上，y1軸水平，正方向向右，x1軸由右手螺旋定則確定；以機器人主體豎直棱線中點O2為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系O2-x2y2z2(標(biāo)記為{O2})，與平臺1固連，z2軸與對應(yīng)棱線重合，正方向豎直向上，y2軸水平，正方向向右，x2軸由右手螺旋定則確定；以平臺2連接U副的一邊的中點O3為原點，建立坐標(biāo)系O3-x3y3z3(標(biāo)記為{O3})，與平臺2固連，x3軸與該邊重合，其方向與x2軸相同，z3軸與平臺2平行，正方向豎直向上，y3軸由右手螺旋定則確定；以足端底面形心Ow為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系Ow-xwywzw(標(biāo)記為{Ow})，zw軸垂直于足端底面，正方向指向O3，OwO3為小腿的長度h1，yw軸與y3軸方向相同，xw軸由右手螺旋定則確定。Ai(i=1,2, 3)表示混聯(lián)機構(gòu)中C副的位置，Bi(i=1, 2, 3)表示混聯(lián)機構(gòu)中R副的位置。3-CPR并聯(lián)機構(gòu)中平臺1和平臺2的尺寸及運動副位置，如圖3所示，其中平臺2的形狀為正方形，所連接的運動副分別位于相應(yīng)邊的中點處。

當(dāng)四足機器人以“3+1”步態(tài)行走時，3條支撐相的腿與機器人主體共同支撐擺動相的腿，因此在分析腿部運動時，可將機器人主體視為固定不動的“機架”，將坐標(biāo)系{O1}視為固定坐標(biāo)系。坐標(biāo)系{O1}下整個腿部機構(gòu)中能夠影響足端底面運動的運動螺旋如下。

圖3 平臺尺寸及運動副位置

平臺1與機器人主體之間形成的轉(zhuǎn)動副的運動螺旋為：

S/1=(0 0 1;ab0)

(1)

式中：a，b為運動螺旋的參數(shù)，與運動副的方向和位置有關(guān)。

為簡化分析過程，可將3-CPR并聯(lián)機構(gòu)視為一個特殊的運動副，這個特殊的運動副使平臺2相對平臺1在空間中做三維平移運動[11]，因此其運動螺旋為：

S/2=(0 0 0;1 0 0)

S/3=(0 0 0;0 1 0)

S/4=(0 0 0;0 0 1)

(2)

大腿與小腿之間的U副的運動螺旋為：

S/5=(1 0 0;0cd)

S/6=(0 1 0;e0f)

(3)

式中：c，d，e，f為運動螺旋的參數(shù)，與運動副的方向和位置有關(guān)。

式(1)、(2)、(3)共同構(gòu)成了四足機器人腿部機構(gòu)的運動螺旋系，求得該運動螺旋系的秩為6，因此該機構(gòu)共有三轉(zhuǎn)三移6個自由度，理論上足端底面可達(dá)到空間中的任一位置和位姿，與少自由度腿部機構(gòu)相比，具有更大的靈活性。

綜上，基于R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)的四足機器人腿部機構(gòu)的自由度，能夠使該四足機器人移動時足端底面與地面保持平行，滿足四足機器人移動時的動作要求。

3 R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)位置逆解

機構(gòu)的位置逆解為已知執(zhí)行端上確定一點的位置和位姿，求解機構(gòu)中各輸入?yún)?shù)的過程。R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)的輸入?yún)?shù)為θi(i=1,2,3)和lii(i=1,2,3)。其中，θ1為平臺1與機器人主體之間的角度，θ2為U副中與x3軸重合的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動角度，θ3為U副中與y3軸重合的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動角度；l11為A1B1的長度，l22為A2B2的長度，l33為A3B3的長度。R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)的執(zhí)行端即為足端，選取足端底面的形心Ow作為參考點，已知在固定坐標(biāo)系{O1}下該點的位置和位姿為(x,y,z;α,β,γ)，求解的輸入?yún)?shù)θi(i=1,2,3)和lii(i=1,2,3)即為位置逆解。

(4)

式中：c表示cos，s表示sin。

(5)

(6)

(7)

(8)

由式(5)～(8)可得：

(9)

將式(4)等于號右側(cè)矩陣與式(9)等于號右側(cè)矩陣對應(yīng)項相等，經(jīng)計算可得：

(10)

式(10)即為R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)的位置反解。

4 R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)工作空間分析

工作空間是指機構(gòu)中執(zhí)行端的工作范圍，是衡量機構(gòu)運動性能的重要指標(biāo)之一。采用三維動態(tài)法對該機構(gòu)的工作空間進(jìn)行求解。機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)定：l=600 mm，h=500 mm，l1=1 040 mm，l2=520 mm，l3=360 mm，l4=200 mm，h1=300 mm。驅(qū)動參數(shù)變化范圍設(shè)定：θ1為0～0.5π,θ2為-0.167π～ 0.167π，θ3為-0.167π～ 0.167π，l11為750～1 280 mm，l22為520～920 mm，l33為520～920 mm。將運動副約束關(guān)系和機器人的結(jié)構(gòu)尺寸導(dǎo)入MATLAB軟件中，通過給各驅(qū)動副添加相應(yīng)驅(qū)動參數(shù)，繪制坐標(biāo)系{O1}下以足端底面形心Ow為參考點的工作空間，如圖4所示。

由圖4可知，該機構(gòu)工作空間保持連續(xù)，無空洞，將R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)作為足式機器人腿部，能夠使機器人足端在空間中連續(xù)運動，有利于對足式機器人進(jìn)行足端軌跡規(guī)劃和移動路徑規(guī)劃，提高足式機器人在農(nóng)田等復(fù)雜環(huán)境下的通過性。

圖4 R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)工作空間

5 穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定裕度是指機器人質(zhì)心在支撐區(qū)域的投影到支撐區(qū)域邊界的最短距離di，是判別機器人穩(wěn)定性的重要指標(biāo)之一。當(dāng)四足機器人以“3+1”步態(tài)行走時，4條腿中3條腿作為支撐相形成支撐區(qū)域，另一條腿作為擺動相，腿部抬起，足端脫離地面進(jìn)行運動。為方便分析，對機器人的相關(guān)參數(shù)作如下設(shè)定：機器人一條腿的質(zhì)量為m，且分布在平臺1形心處的質(zhì)量為0.5m，足端形心處的質(zhì)量為0.5m；機器人主體的質(zhì)量為2m，質(zhì)心與形心重合；足端形狀為Lmm×Lmm的正方形，機器人初始狀態(tài)下四足呈L1mm×L2mm的矩形分布，如圖5所示。

圖5 穩(wěn)定裕度分布

由于四足機器人的結(jié)構(gòu)具有對稱性，因此機器人的整體質(zhì)心在地面上的投影M位于支撐區(qū)域的形心上，即在4個足形成的L1mm×L2mm的矩形對角線交點上。以對角線交點作為原點建立地面坐標(biāo)系O0-x0y0。當(dāng)機器人以足1作為擺動相時，足2、足3、足4則會形成支撐區(qū)域，如圖5中虛線區(qū)域所示，此時機器人的穩(wěn)定裕度SM為：

SM=min(d1,d2,d3)

(11)

由圖5中的幾何關(guān)系可計算出d1,d2,d3的值為：

(12)

式(11)、(12)可用于分析機器人足端尺寸與穩(wěn)定性的關(guān)系，當(dāng)SM趨于0時，機器人質(zhì)心處于支撐區(qū)域邊緣，機器人處于將要傾倒的臨界狀態(tài)，穩(wěn)定性較差。

由圖5可知，機器人在y0軸正方向上的穩(wěn)定裕度SM=d4，假設(shè)足端工作空間足夠大，機器人采用“3+1”步態(tài)，在y0軸正方向上的最大步距為lymax，與穩(wěn)定裕度SM有如下關(guān)系：

(13)

由圖5中的幾何關(guān)系可求得d4的值為：

(14)

根據(jù)式(13)、(14)，可得y0軸正方向上最大步距l(xiāng)ymax與足端尺寸L的關(guān)系為：

(15)

同理可得，x0軸正方向上最大步距l(xiāng)xmax與足端尺寸L的關(guān)系為：

(16)

由以上分析得到的足端尺寸L與穩(wěn)定裕度SM、最大步距l(xiāng)ymax和lxmax之間的關(guān)系，對機器人足端軌跡規(guī)劃和路徑規(guī)劃具有重要的參考價值。

6 足端軌跡規(guī)劃

6.1 足端軌跡設(shè)計

基于R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)四足機器人，以農(nóng)田作為主要應(yīng)用場景，根據(jù)機器人在田間移動時足端的動作特征，對機器人足端軌跡進(jìn)行規(guī)劃。

將機器人足端軌跡分為3段，構(gòu)造出一種直線與半周期上凸正弦曲線相結(jié)合的復(fù)合足端軌跡，如圖6所示。A點為機器人足端抬起之前的支撐點，D點為目標(biāo)落腳點。抬腳階段，足端由A點沿直線運動至B點，線段AB垂直于A點處的地面；伸出階段，足端由B點運動至C點，并將足端底面調(diào)整至與目標(biāo)落腳點D處的地面平行，BC之間為半周期上凸正弦曲線；落腳階段，足端由C點沿直線運動至D點，線段CD垂直于D點處的地面。

圖6 足端軌跡

設(shè)A點的位姿為(xA,yA,zA;αA,βA,γA)，D點的位姿為(xD,yD,zD;αD,βD,γD)，AB的長度與CD的長度相等為H1，BC正弦曲線最高點距離地面的高度為H2。由幾何關(guān)系可得線段AB、正弦曲線BC、線段CD的解析式。

線段AB的解析式為：

(17)

線段CD的解析式為：

(18)

正弦曲線BC的解析式為：

(19)

式(19)中涉及的B點和C點坐標(biāo)，可由式(17)和式(18)解出。當(dāng)x=xA+H1cosαA時，可由式(17)解出B點坐標(biāo)，當(dāng)x=xA+H1cosαD時，可由式(18)解出C點坐標(biāo)。

直線與正弦曲線結(jié)合的復(fù)合足端軌跡，對突起地形具有良好的通過性，有利于機器人在農(nóng)田等復(fù)雜環(huán)境下移動。

6.2 足端軌跡仿真

運用SolidWorks軟件對足端軌跡進(jìn)行運動學(xué)仿真，具體過程如圖7所示。圖7(a)所示為機器人的初始狀態(tài)，圖7(b)所示為機器人完成抬腳動作時的狀態(tài)，圖7(c)所示為機器人完成伸腳動作時的狀態(tài)，圖7(d)所示為機器人完成落腳動作時的狀態(tài)。機器人采用“3+1”步態(tài)時，依次控制每個足重復(fù)圖7所示的過程，從而使機器人整體向前移動。

圖7 足端運動過程

機器人的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)與第4章的設(shè)定相同，足端尺寸為180 mm×180 mm。軌跡參數(shù)設(shè)定：H1=150 mm，H2=320 mm，足端抬起前支撐點A的位姿為(0,0,0;0.1π,0.1π,0)，目標(biāo)落腳點D的位姿為(50,300,50;0.12π,0.08π,0)，即步距為308.2 mm，足端運動的最大高度為320 mm，y方向上的最大位移為300 mm。通過式(17)～(19)可解出機器人運動過程中的足端軌跡曲線，如圖8(a)所示。將機器人足端運動過程中的驅(qū)動參數(shù)θi(i=1,2,3)，lii(i=1,2,3)導(dǎo)出，如圖9所示。

圖8 足端位移軌跡和各方向位移分量

仿真得到足端軌跡如圖8(a)所示，各方向位移如圖8(b)所示。足端在0—1 s由A點沿直線運動至B點，足端進(jìn)行平移運動，由圖9可知，在該過程中驅(qū)動參數(shù)l11,l22,l33發(fā)生變化，θ1,θ2,θ3不變，說明在0—1 s只有l(wèi)11,l22,l33對足端進(jìn)行了驅(qū)動；1 s—3 s足端由B點沿半周期上凸正弦曲線運動至C點，在該過程中θ2,θ3也參與驅(qū)動，對足端位姿進(jìn)行調(diào)整，使C點位姿與D點位姿相同；3 s—4 s足端由C點沿直線運動至D點，由圖9可知，該過程是在l11,l22,l33驅(qū)動下進(jìn)行的。綜上，足端空間中的平移運動在l11,l22,l33的驅(qū)動下進(jìn)行，位姿調(diào)整在θ1,θ2,θ3的驅(qū)動下進(jìn)行，平移運動和位姿調(diào)整可同時進(jìn)行。

圖9 驅(qū)動副參數(shù)θ1,θ2,θ3,l11,l22,l33隨時間變化圖

由圖9還可以看出，驅(qū)動參數(shù)的變化曲線連續(xù)、無斷點，證明該機器人能夠以6.1節(jié)設(shè)計的復(fù)合足端軌跡進(jìn)行移動。另外驅(qū)動參數(shù)曲線無明顯突變，說明驅(qū)動副的線速度、角速度無劇烈變化，不會對機器人本身產(chǎn)生強烈沖擊，進(jìn)一步證明了復(fù)合足端軌跡作為機器人足端運動軌跡的可行性。

7 結(jié)束語

本文R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)具有三轉(zhuǎn)三移6個自由度，且工作空間連續(xù)，無空洞，有利于機器人足端在空間中進(jìn)行連續(xù)運動；機器人能夠以直線與正弦曲線相結(jié)合的復(fù)合足端軌跡進(jìn)行運動，且穩(wěn)定性良好；以R+(3-CPR)+U混聯(lián)機構(gòu)為腿部的四足機器人，在運動過程中能夠使足端底面與地面平行接觸，減緩對地面的壓實。