基于Homotopy-Tikhonov算法的接地網(wǎng)電阻抗成像方法

閆孝姮 林曉雪 呂秋皓 陳偉華

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院 葫蘆島 125000）

0 引言

接地網(wǎng)是變電站、發(fā)電廠的重要組成部分，接地網(wǎng)性能的好壞直接影響工作人員及電氣設(shè)備的安全[1-3]。由于接地網(wǎng)常年埋于地下，接地網(wǎng)導(dǎo)體常常因受土壤侵蝕而無法正常工作，目前已經(jīng)發(fā)生了多起因接地網(wǎng)造成事故的事例，因此需要對(duì)接地網(wǎng)進(jìn)行故障診斷，為電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行提供保障[4-5]。目前提出的很多方法難以得到準(zhǔn)確的結(jié)果，實(shí)際上憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行停電開挖判斷，具有盲目性并且無法直觀成像[6]。

電阻抗成像（Electrical Impedance Tomography, EIT）技術(shù)具有非入侵、無損傷、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于操作且成本低廉等優(yōu)點(diǎn)，有廣闊的應(yīng)用前景[7]。然而提高圖像質(zhì)量和分辨率是當(dāng)前電阻抗成像領(lǐng)域的一大挑戰(zhàn)[8]，特別是EIT技術(shù)應(yīng)用于接地網(wǎng)故障診斷領(lǐng)域，由于接地網(wǎng)的測(cè)量電壓數(shù)據(jù)有限，不足以反映重構(gòu)目標(biāo)的基本特征，且接地網(wǎng)中導(dǎo)體和土壤的電阻率數(shù)量級(jí)相差巨大使其系統(tǒng)矩陣病態(tài)性嚴(yán)重，因此EIT逆問題具有不適定性[9]。

為了克服EIT逆問題的不適定性，國內(nèi)外學(xué)者提出了具有各種技術(shù)的逆問題方法。其中，B. S. Kim[10]提出了自適應(yīng)閾值的網(wǎng)格細(xì)化方法，能在一定程度上提高圖像質(zhì)量。但對(duì)于接地網(wǎng)而言，網(wǎng)格剖分單元太多會(huì)加劇逆問題病態(tài)性且計(jì)算時(shí)間增加。2012年，劉杰等[11]設(shè)計(jì)了一套基于電阻抗成像的接地網(wǎng)故障診斷自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)，在接地網(wǎng)電壓循環(huán)測(cè)量原理的基礎(chǔ)上獲得更多的測(cè)量電壓數(shù)據(jù)，然而該系統(tǒng)逆問題成像具有病態(tài)性，只能判斷接地網(wǎng)腐蝕的區(qū)域，不能準(zhǔn)確定位。EIT不適定問題通常需要加入正則化求解，Tikhonov正則化是常用的方法之一[12-14]。因此為了改善逆問題病態(tài)性，2015年代鋒[15]將Tikhonov正則化方法應(yīng)用到接地網(wǎng)電阻抗成像中，使迭代求解過程的穩(wěn)定性得到很大提高，在一定程度上克服了逆問題的病態(tài)性，但Tikhonov正則化是局部收斂的，對(duì)于具有多種不同介質(zhì)的接地網(wǎng)模型，尤其在接地網(wǎng)導(dǎo)體和土壤數(shù)量級(jí)相差巨大的情況下，迭代過程很難收斂。此外，牛頓類算法對(duì)迭代初值要求比較苛刻[16]，對(duì)于圖樣已經(jīng)丟失的老舊變電站，場(chǎng)域剖分單元初值很難預(yù)先給定，因此需要一種能夠?qū)Τ踔狄髮捤傻娜质諗糠椒ā?003年，T. M. Wu[17]在傳統(tǒng)牛頓法中引入輔助同倫函數(shù)，避免因初值選取不當(dāng)而發(fā)散的問題。2008年，徐桂芝等[18]提出將同倫延拓法與牛頓類算法相結(jié)合，應(yīng)用于四介質(zhì)的三維電阻抗成像問題，證明了該算法具有大范圍收斂性。2017年，N. Mostashiri等[19]將同倫延拓法應(yīng)用在空間并聯(lián)機(jī)器人數(shù)值求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題中，指出該方法減輕了傳統(tǒng)數(shù)值方法的初始取值不當(dāng)及收斂困難等問題。2020年，Wang Mengran等[20]從數(shù)學(xué)角度證明了同倫延拓法在求解非線性方程組中的可行性。此外，在文獻(xiàn)[21-24]表明同倫延拓法不依賴于矩陣方程的初始值，計(jì)算使得誤差較大的初始值接近真實(shí)電阻率，克服迭代過程中的局部收斂性問題。

因此，為了改善接地網(wǎng)電阻抗成像逆問題的病態(tài)性，本文將傳統(tǒng)的同倫延拓法與Tikhonov正則化相結(jié)合，提出了具有全局收斂性的Homotopy-Tikhonov算法（HT-GN）。在最佳迭代初值和最佳正則化參數(shù)基礎(chǔ)上對(duì)比了該算法與Tikhonov算法的接地網(wǎng)重建圖像，然后分析了不同迭代初值、不同正則化參數(shù)對(duì)接地網(wǎng)成像的影響，最后進(jìn)行了接地網(wǎng)不同腐蝕程度的仿真成像，并針對(duì)輕腐蝕情況進(jìn)行了接地網(wǎng)實(shí)驗(yàn)成像，驗(yàn)證了該方法收斂性能最優(yōu)，腐蝕位置更清晰，可更好地改善接地網(wǎng)電阻抗成像的病態(tài)性問題。

1 接地網(wǎng)電阻抗成像原理

接地網(wǎng)電阻抗成像原理是通過在接地網(wǎng)的引下線注入電流，測(cè)量其他引下線之間的電壓來確定未知介質(zhì)電阻率分布的問題，其正、逆問題關(guān)系如圖1所示。

圖1 接地網(wǎng)正、逆問題關(guān)系圖 Fig.1 Diagram of forward and inverse problems of grounding grid

在接地網(wǎng)電阻抗建模中，需假設(shè)以下幾個(gè)條件：①施加直流電，忽略位移電流；②不考慮接地網(wǎng)引下線的面積；③成像場(chǎng)域是各向同性的；④電導(dǎo)率與電流密度無關(guān)。接地網(wǎng)電阻抗成像的數(shù)學(xué)問題是從狄利克雷-諾依曼圖中反演電阻率。根據(jù)Maxwell方程組，場(chǎng)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程，邊界滿足狄利克雷邊界條件和諾依曼邊界條件，接地網(wǎng)電阻抗成像的數(shù)學(xué)模型表示為[25]

式中，σ為場(chǎng)域內(nèi)的電導(dǎo)率分布；φ為場(chǎng)域內(nèi)的電位分布；Ω為待求解的場(chǎng)域，Ω?為場(chǎng)域Ω的邊界；f為已知邊界電位；j為流入場(chǎng)域Ω的電流密度；n為場(chǎng)域Ω的外法向單位向量。

EIT逆問題可以表示為如式（2）的非線性方程組。

式中，U(ρ)為注入直流電后，對(duì)應(yīng)電阻率分布ρ的計(jì)算電壓；V為測(cè)量電壓；ρ為采用有限元法得到的N個(gè)剖分單元的電阻率，ρ=[ρ1ρ2ρ3???ρN]T。

實(shí)際上，由于各種誤差存在，很難得到U(ρ)和V的等式關(guān)系，通常用最小二乘法構(gòu)造誤差函數(shù)，即求解滿足計(jì)算電壓和測(cè)量電壓的差值在一定范圍內(nèi)的電阻率分布，其EIT逆問題數(shù)學(xué)模型為

式（3）是一個(gè)典型的非線性方程組的優(yōu)化問題，為了使誤差最小，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，并且采用迭代法逼近真值。

2 Homotopy-Tikhonov算法（HT-GN）的求解

2.1 Tikhonov正則化原理

由于EIT逆問題具有不適定性，為了得到接地網(wǎng)的電阻率分布情況，通常加入經(jīng)典的Tikhonov正則化算法，該算法由Tikhonov在20世紀(jì)60年代初提出，工程上廣泛使用，其構(gòu)造的泛函為

式中，α為Tikhonov正則化參數(shù)，通過L曲線法求得；L為正則化矩陣，這里取單位陣；ρ0為初始電阻率。

式（5）是在式（4）基礎(chǔ)上得到的忽略高階項(xiàng)的電阻率迭代式，是電阻抗成像中典型的基于Tikhonov正則化的高斯牛頓迭代法（Gauss-Newton）。

式中，k為迭代次數(shù)，k=1,2,3,…；J為雅克比矩陣，Δρ為電阻率變化量，ΔU(ρ)為對(duì)應(yīng)Δρ的電壓變化量，ΔU(ρ)=JΔρ。

2.2 Homotopy原理

基于Tikhonov正則化的高斯牛頓迭代法具有局部收斂性質(zhì)，Homotopy具有全局收斂性，文獻(xiàn)[26]指出常用的數(shù)學(xué)同倫方法有牛頓同倫、定點(diǎn)同倫、定尺度仿射同倫等，由定點(diǎn)同倫構(gòu)造的HT-GN算法方程表述為

式中，t為Homotopy參數(shù)，取值[0,1]；ρ0為已知量。對(duì)于接地網(wǎng)而言，令G(ρ)=ρ?ρ0，E(ρ)=F′(ρ)，t=k/K，其中k=1,2,3,…,K，K為電阻率初始值求取的迭代次數(shù)。

2.3 HT-GN算法

基于Tikhonov正則化的高斯牛頓算法具有自校正的性質(zhì)，只要給予恰當(dāng)?shù)某踔担軌蚴諗康阶罱K解，但是該方法對(duì)初值要求苛刻，接地網(wǎng)導(dǎo)體和土壤的電阻率數(shù)量級(jí)相差巨大，且當(dāng)接地網(wǎng)拓?fù)湮粗那闆r下，很難預(yù)先給定較好的初值，因此，本文引入對(duì)初值要求寬松的Homotopy法，得到基于Homotopy-Tikhonov算法（HT-GN）的接地網(wǎng)電阻抗成像故障診斷方法。

定義Eρ)是式（4）中F(ρ)的一階導(dǎo)數(shù)，即

將式（7）代入式（6）得到基于HT-GN算法的定點(diǎn)同倫表達(dá)式為

因此，式（9）為基于HT-GN算法的第一階段迭代表達(dá)式，目的是獲得新的貼近接地網(wǎng)真實(shí)電阻率的初值。

最終，得到基于HT-GN算法的第一階段為式（10），并將其得到的新的初值代入式（11），不斷迭代直至收斂，得到反映接地網(wǎng)腐蝕情況的電阻率分布。

當(dāng)k=1,2,3,…,K時(shí)

當(dāng)k＜K時(shí)

圖2 HT-GN算法流程 Fig.2 HT-GN algorithm flow chart

根據(jù)文獻(xiàn)[26]對(duì)Homotopy法進(jìn)行討論，K選取經(jīng)驗(yàn)值15。當(dāng)?shù)螖?shù)小于等于設(shè)定值K時(shí)，按照式（10）更新電阻率，當(dāng)?shù)螖?shù)大于K時(shí)，按照式（11）更新電阻率，這樣式（10）就為式（11）提供一個(gè)比較好的初始值，Homotopy-Tikhonov（HTGN）的部分算法流程如圖2所示。 HT-GN算法的接地網(wǎng)成像流程為：首先輸入接地網(wǎng)引下線的測(cè)量電壓、初始電阻率、雅克比矩陣，初始化電壓誤差、電壓誤差精度、Homotopy迭代次數(shù)；然后通過正問題有限元法計(jì)算引下線上的電壓，代入式（10）進(jìn)行Homotopy第一階段迭代運(yùn)算，滿足k=K時(shí)，獲得新的初始電阻率ρK；最后將ρK代入式（11），求解電阻率分布ρ，并將計(jì)算電壓和測(cè)量電壓相比較，滿足w＜e則停止迭代，輸出電阻率分布ρ，否則繼續(xù)通過有限元計(jì)算引下線電壓，更新電阻率，直至滿足迭代條件為止。

3 仿真成像

為了驗(yàn)證HT-GN算法在改善接地網(wǎng)電阻抗成像病態(tài)性的效果，本文通過COMSOL仿真軟件建立接地網(wǎng)正、逆問題模型, 圖3a為2×2接地網(wǎng)正問題的二維模型，“田”字輪廓為接地導(dǎo)體部分，選擇截面積為40mm×4mm的鍍鋅扁鋼構(gòu)建邊長為40cm的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，電阻率為1.67×10?7Ω?m 。接地網(wǎng)導(dǎo)體中上部分小矩形是腐蝕部分，腐蝕電阻率為1×10?6Ω?m 。其余為土壤部分，電阻率為200Ω?m。注入1A的直流電，采用循環(huán)測(cè)量模式得到測(cè)量電壓數(shù)據(jù)。圖3b是接地網(wǎng)未知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的逆問題模型，該模型邊長為40cm，與接地扁鋼拓?fù)浯笮∫恢拢鶕?jù)有限元法對(duì)其進(jìn)行三角形剖分，其中網(wǎng)格剖分單元數(shù)為200個(gè)，網(wǎng)格剖分節(jié)點(diǎn)數(shù)為117個(gè)。

圖3 接地網(wǎng)正、逆問題模型 Fig.3 Model of forward and inverse problems of grounding grid

在Matlab仿真平臺(tái)下，首先計(jì)算最佳迭代初值，并且通過L曲線法求取最佳正則化參數(shù)，在二者基礎(chǔ)上進(jìn)行HT-GN算法和Tikhonov算法的接地網(wǎng)電阻抗成像，并引入電壓相對(duì)誤差進(jìn)行圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)；其次研究不同迭代初值和不同正則化參數(shù)對(duì)HT-GN算法的接地網(wǎng)電阻抗成像的影響，結(jié)合收斂精度和電壓相對(duì)誤差，定性和定量地分析HT-GN算法在改善接地網(wǎng)病態(tài)性問題上的效果；最后運(yùn)用HT-GN算法分別對(duì)輕腐蝕、重腐蝕和斷裂三種情況進(jìn)行接地網(wǎng)仿真成像，驗(yàn)證HT-GN算法在改善接地網(wǎng)電阻抗成像逆問題病態(tài)性上的優(yōu)越性。

3.1 HT-GN算法與Tikhonov算法的成像對(duì)比

首先根據(jù)文獻(xiàn)[27]的公式計(jì)算接地網(wǎng)電阻抗成像迭代初值ρ0，即

式中，m為循環(huán)注入電流次數(shù)；n為測(cè)量電壓數(shù)量。經(jīng)計(jì)算，本文接地網(wǎng)每個(gè)剖分單元最佳電阻率初值為6.51×10?7Ω?m。

由于電阻抗成像算法需要較優(yōu)正則化參數(shù)來克服逆問題的病態(tài)性，因此兩種迭代算法的正則化參數(shù)α均通過L曲線法求解。HT-GN算法的最佳正則化參數(shù)分兩部分，第一部分為0.482，第二部分為0.446，Tikhonov算法的最佳正則化參數(shù)取為0.482。二者的L曲線如圖4所示。

圖4 HT-GN算法和Tikhonov算法L曲線 Fig.4 L curves of HT-GN algorithm and Tikhonov algorithm

最后在最佳迭代初值和正則化參數(shù)基礎(chǔ)上，對(duì)兩種算法分別進(jìn)行接地網(wǎng)電阻抗成像，設(shè)置迭代精度為1×10?12，迭代上限為50次。圖5a、圖5b、圖 5c分別為無腐蝕情況下、有腐蝕情況下的HT-GN算法和Tikhonov算法的接地網(wǎng)剖分單元圖、色彩云圖及三維地形圖。

圖5 HT-GN算法和Tikhonov算法接地網(wǎng)重構(gòu)圖像對(duì)比圖 Fig.5 Comparison of reconstruction images of ground grid by HT-GN algorithm and Tikhonov algorithm

從圖5可以看出，針對(duì)剖分單元圖和色彩云圖，四塊類似方形部分代表土壤，“田”字輪廓代表接地網(wǎng)導(dǎo)體，在有腐蝕的位置兩個(gè)方形土壤相連。針對(duì)三維地形圖，凸起的四部分代表土壤，其余凹陷部分代表接地網(wǎng)導(dǎo)體，在腐蝕位置兩塊土壤相連，有較小的凸起。對(duì)比無腐蝕情況的接地網(wǎng)圖像，可以明顯看出兩種重建算法均能反映2×2接地網(wǎng)中的扁鋼、腐蝕區(qū)域及土壤分布，但兩種算法的圖像也不盡相同。本文提出的HT-GN算法在剖分單元成像、色彩云圖成像及三維地形圖成像下能更清晰完整地呈現(xiàn)腐蝕區(qū)域。因此，在最佳迭代初值和正則化參數(shù)前提下，HT-GN算法重建的接地網(wǎng)腐蝕圖像清晰度優(yōu)于Tikhonov算法。

為了進(jìn)一步定量分析基于HT-GN算法的接地網(wǎng)圖像質(zhì)量情況，本文引入電壓相對(duì)誤差評(píng)價(jià)重構(gòu)圖像，其定義為

根據(jù)最佳迭代初值和正則化參數(shù)，兩種算法的電壓相對(duì)誤差對(duì)比情況如圖6所示，同時(shí)為了直觀地展現(xiàn)兩種算法的電壓相對(duì)誤差數(shù)值，表1為選取了部分迭代次數(shù)下的電壓相對(duì)誤差結(jié)果。由表1可見，基于Tikhonov算法的接地網(wǎng)電阻抗成像在迭代4次開始EV數(shù)值逐漸趨于穩(wěn)定，而HT-GN算法在迭代了19次才開始變得平緩，但是在二者EV均穩(wěn)定后，HT-GN算法的電壓相對(duì)誤差要更小。顯然HTGN算法在最佳迭代初值和最佳正則化參數(shù)前提下，無論是直觀還是定量對(duì)比，在圖像精度上均優(yōu)于Tikhonov算法。

圖6 電壓相對(duì)誤差對(duì)比圖 Fig.6 Voltage relative error comparison diagram

表1 HT-GN算法和Tikhonov算法的電壓相對(duì)誤差 Tab.1 Voltage relative error of HT-GN algorithm and Tikhonov algorithm

3.2 迭代初值的影響

對(duì)于多介質(zhì)且介質(zhì)之間電導(dǎo)率數(shù)量級(jí)差別大的模型，例如本文的接地網(wǎng)模型，HT-GN算法是適用的，它提高了圖像的精度，且對(duì)初值的要求比較寬松。文獻(xiàn)[26]提到Homotopy基本上對(duì)任意初始值均具有全局收斂性，但是針對(duì)接地網(wǎng)模型，HT-GN算法能否完全消除對(duì)初值的依懶性，需要進(jìn)行大量的探究。3.1節(jié)已經(jīng)求出較好的電阻率迭代初值，因此本文為了探究HT-GN算法的接地網(wǎng)電阻抗成像對(duì)初值的依賴性，分別取最佳迭代初值的0.2倍、0.5倍、1倍、1.2倍和1.5倍，圖7為不同初值下HTGN算法的接地網(wǎng)重建圖像。

圖7 不同迭代初值的接地網(wǎng)重建圖像 Fig.7 Reconstruction images of ground grid with different initial iteration values

由圖7所示，在已有的圖像基礎(chǔ)上，由式（12）求得的最佳迭代初值反映接地網(wǎng)腐蝕情況最好，病態(tài)性問題較輕。為了直觀驗(yàn)證結(jié)論，引入計(jì)算電壓和測(cè)量電壓的2范數(shù)作為收斂精度進(jìn)行定量分析。圖8為五種初值下HT-GN算法的接地網(wǎng)圖像收斂曲線。

圖8 不同迭代初值的HT-GN算法收斂曲線 Fig.8 Convergence curves of HT-GN algorithm with different initial iteration values

從圖8的結(jié)果可以看出，收斂精度在迭代初期變化大，隨著迭代次數(shù)不斷增加，收斂精度變化幅度越來越小，在迭代15~20次之間趨于平穩(wěn)，穩(wěn)定之后的收斂精度見表2。從表中可以看出，按照文獻(xiàn)[27]取的初值，其收斂精度一直是最佳的。就目前取的初值，HT-GN算法的接地網(wǎng)圖像均能收斂，進(jìn)一步證實(shí)其對(duì)初值的要求比較寬松。

表2 不同迭代初值的收斂精度 Tab.2 The convergence precision of different initial values of iterations

3.3 正則化參數(shù)的影響

對(duì)于HT-GN算法，正則化參數(shù)包含兩部分：第一部分正則化參數(shù)的目的是計(jì)算出更貼近真實(shí)電阻率的迭代初值；第二部分正則化參數(shù)的目的是在該迭代初值基礎(chǔ)上更加精確地迭代到真值。因此為了進(jìn)一步探索正則化參數(shù)對(duì)基于HT-GN算法的接地網(wǎng)電阻抗成像的影響，本文提出HT-GN算法的第一部分正則化參數(shù)仍然根據(jù)3.1節(jié)L曲線法求解，而第二部分參數(shù)設(shè)置為以下五種數(shù)值，分別為0.04、0.08、0.4、0.8、2。圖9為不同正則化參數(shù)下HT-GN算法和Tikhonov算法的接地網(wǎng)重建圖像。

圖9 不同正則化參數(shù)的接地網(wǎng)腐蝕成像圖 Fig.9 Corrosion images of grounding grid with different regularization parameters

從圖9可以看出，當(dāng)正則化參數(shù)α=0.04時(shí)，Tikhonov算法的接地網(wǎng)圖像不收斂，無法反映腐蝕情況，而HT-GN算法能夠顯示出腐蝕位置；隨著α的增加，兩種算法的接地網(wǎng)腐蝕情況反映逐漸明顯，但是當(dāng)正則化參數(shù)太大，如α=2，與HTGN算法相比，Tikhonov算法的接地網(wǎng)腐蝕成像不明顯。因此，HT-GN算法的接地網(wǎng)腐蝕位置成像受正則化參數(shù)影響較小，同時(shí)在正則化參數(shù)相同情況下該算法重建圖像清晰度、完整性均優(yōu)于Tikhonov算法。

3.4 腐蝕程度的影響

上文接地網(wǎng)腐蝕位置的電阻率設(shè)為1×10?6Ω?m ，鍍鋅扁鋼電阻率為1.67×10?7Ω?m ，土壤電阻率為200Ω?m，其結(jié)果表明HT-GN算法更好地改善了接地網(wǎng)電阻抗成像逆問題的病態(tài)性，為了進(jìn)一步研究不同腐蝕程度下，HT-GN算法的接地網(wǎng)成像逆問題改善情況，本文設(shè)置了輕腐蝕、重腐蝕和斷裂三種情況，接地扁鋼長度為0.4m，腐蝕長度為0.07m，具體參數(shù)見表3。當(dāng)腐蝕位置的電阻率大小是1×10?6Ω?m 時(shí)，經(jīng)計(jì)算，有、無腐蝕的電阻之比為1.873:1，定義為輕腐蝕；同理，當(dāng)腐蝕位置電阻率大小是2×10?3Ω?m 時(shí)，有、無腐蝕之比為2 095:1，定義為重腐蝕；當(dāng)腐蝕的電阻大小是200Ω?m，與土壤電阻率一致時(shí)，定義為斷裂情況，具體成像結(jié)果如圖10所示。

圖10 不同腐蝕程度的接地網(wǎng)腐蝕成像圖 Fig.10 Corrosion imaging of grounding grid with different corrosion degrees

表3 三種腐蝕程度的電阻值 Tab.3 Resistance values for three corrosion degrees

由圖10可見，在相同腐蝕程度下，與Tikhonov算法相比， HT-GN算法的接地網(wǎng)圖像腐蝕位置更清晰，且腐蝕程度越大，這種情況越明顯。為了定量分析此結(jié)論，借助電壓相對(duì)誤差進(jìn)行圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)，圖11為兩種算法在不同腐蝕程度下的電壓相對(duì) 誤差情況。

圖11 不同腐蝕程度的電壓相對(duì)誤差對(duì)比 Fig.11 Comparison of voltage relative errors with different corrosion degrees

表4數(shù)據(jù)取自圖11中電壓相對(duì)誤差穩(wěn)定后的數(shù)值，可以明顯看出，每種腐蝕情況下，HT-GN算法接地網(wǎng)成像的電壓相對(duì)誤差小于Tikhonov算法，改善接地網(wǎng)逆問題病態(tài)性問題效果更好，圖像精度更高。

表4 三種腐蝕程度的電壓相對(duì)誤差 Tab.4 Voltage relative error for three corrosion degrees

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文為了驗(yàn)證HT-GN算法能夠改善接地網(wǎng)的病態(tài)性，選用40mm×4mm的鍍鋅扁鋼，搭建3×3的接地網(wǎng)模型，每個(gè)網(wǎng)格長度為0.5m，恒流源注入1A的直流電，測(cè)量系統(tǒng)采集電壓數(shù)據(jù)上傳至計(jì)算機(jī)，最后導(dǎo)入Matlab進(jìn)行電阻抗成像。圖12為3×3接地網(wǎng)模型，電壓循環(huán)測(cè)量系統(tǒng)獲取電壓數(shù)據(jù)，該系 統(tǒng)由電流注入和電壓采集通道的自動(dòng)切換模塊、高精度模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊、數(shù)據(jù)傳輸模塊和人機(jī)交互模塊四部分組成。

圖12 3×3接地網(wǎng)模型 Fig.12 3×3 grounding grid model

電壓測(cè)量采用四電極法，以減少兩電極系統(tǒng)的接觸阻抗對(duì)接地網(wǎng)成像的影響，測(cè)量節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為16，測(cè)量方式為循環(huán)測(cè)量，即以第16節(jié)點(diǎn)為參考，將一組電極，如1-2、1-3、…1-15、2-3、…2-15、…14-15中的前一個(gè)電極作為電流注入點(diǎn)，后一個(gè)電極作為電流流出點(diǎn)，依次循環(huán)，最終得到105×13個(gè)測(cè)量電壓數(shù)據(jù)。

此次實(shí)驗(yàn)是在已知接地網(wǎng)圖樣或者已經(jīng)通過其他方法重建了接地網(wǎng)拓?fù)涞那闆r下[28]，在實(shí)驗(yàn)室里模擬了接地網(wǎng)一處和二處腐蝕情況。由于接地網(wǎng)土壤和扁鋼電阻率數(shù)量級(jí)相差大，鍍鋅扁鋼電阻率為1.67×10?7Ω?m，而土壤電阻率通常為200Ω?m，因此在電阻抗逆問題成像中可以忽略土壤只留下扁鋼。仿真對(duì)比了接地網(wǎng)重腐蝕、輕腐蝕、斷裂三種情況，其中接地網(wǎng)輕腐蝕圖像精度最高，按照輕腐蝕中有、無腐蝕電阻率之比為1.873:1的標(biāo)準(zhǔn)，本實(shí)驗(yàn)選用長度為50cm的鍍鋅扁鋼，測(cè)得電阻大小為2.519mΩ，用絕緣細(xì)繩將斷開的鍍鋅扁鋼與另外長度為10cm的鍍鋅扁鋼綁緊，此時(shí)電阻值為4.169mΩ，有無腐蝕之比為1.655:1，能夠滿足輕腐蝕的成像需要，因此本文在輕腐蝕狀態(tài)下接地網(wǎng)模擬了1處和2處腐蝕情況。

圖13 一處接地網(wǎng)腐蝕的示意圖和成像圖 Fig.13 Diagram and imaging of a grounding grid corrosion

圖14 兩處接地網(wǎng)腐蝕的示意圖和成像圖 Fig.14 Schematic diagram and imaging of two grounding grid corrosion

圖13a和圖13b分別為一處腐蝕的接地網(wǎng)成像的示意圖和對(duì)應(yīng)的逆問題成像圖。同理，圖14a和圖14b分別為兩處腐蝕的接地網(wǎng)成像的示意圖和對(duì)應(yīng)的逆問題成像圖。兩個(gè)逆問題成像圖均能清晰地顯示出腐蝕的數(shù)量和位置，驗(yàn)證了該方法在改善接地網(wǎng)病態(tài)性問題上的可行性。

5 結(jié)論

為了克服接地網(wǎng)扁鋼和土壤電阻率數(shù)量級(jí)相差巨大，改善接地網(wǎng)電阻抗成像病態(tài)性問題，本文提出了基于Homotopy-Tikhonov算法（HT-GN）的接地網(wǎng)電阻抗成像故障診斷方法。借助COMSOL 和Matlab兩個(gè)仿真軟件，對(duì)接地網(wǎng)進(jìn)行了電阻抗成像。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于HT-GN算法的接地網(wǎng)圖像改善病態(tài)性效果更好。主要結(jié)論如下：

1）在求取的最佳迭代初值和最佳正則化參數(shù)基礎(chǔ)上，對(duì)比了HT-GN算法和Tikhonov算法的接地網(wǎng)重建圖像，仿真結(jié)果表明基于HT-GN算法重構(gòu)的接地網(wǎng)圖像腐蝕位置更加清晰，且收斂后的電壓相對(duì)誤差更小，優(yōu)于Tikhonov算法重建的接地網(wǎng)圖像，但迭代次數(shù)相對(duì)較多。

2）針對(duì)HT-GN算法的接地網(wǎng)電阻抗成像，分別對(duì)比了最佳迭代初值與該初值的0.2~1.5倍、最佳正則化參數(shù)與其他正則化參數(shù)的接地網(wǎng)重構(gòu)圖像，仿真結(jié)果表明采用HT-GN算法的接地網(wǎng)圖像在幾種迭代初值條件下均能收斂，并且在最佳迭代初值和最佳正則化參數(shù)條件下腐蝕區(qū)域成像效果最好，圖像清晰度最高。進(jìn)一步驗(yàn)證了在接地網(wǎng)電阻抗成像中，該方法對(duì)電阻率迭代初值要求更加寬松且成像效果與正則化參數(shù)的選取密切相關(guān)。

3）仿真設(shè)置了接地網(wǎng)輕腐蝕、重腐蝕、斷裂三種情況，結(jié)果表明采用HT-GN算法均能反映接地網(wǎng)腐蝕位置，且輕腐蝕狀態(tài)下電壓相對(duì)誤差最小，隨著腐蝕程度加大，接地網(wǎng)腐蝕區(qū)域成像越明顯。同時(shí)接地網(wǎng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了輕腐蝕條件下該方法重建圖像的可行性。

因此，本文提出的基于HT-GN算法的接地網(wǎng)電阻抗成像腐蝕位置更清晰，收斂效果最好，更好地改善了電阻抗成像逆問題的病態(tài)性，為解決接地網(wǎng)腐蝕定位成像提供了一種新方法，推動(dòng)了電阻抗成像技術(shù)在接地網(wǎng)中的實(shí)際應(yīng)用，有利于解決實(shí)際工程問題。