基于連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)模型的巨災(zāi)債券無差異定價(jià)研究

巢文

(福建工程學(xué)院管理學(xué)院，福建福州 350118)

一、引言

巨災(zāi)是指地震、風(fēng)暴潮、洪災(zāi)和人為災(zāi)害等可能造成嚴(yán)重人身傷亡與財(cái)產(chǎn)損失的巨大災(zāi)難，它具有發(fā)生概率小卻損失巨大的特點(diǎn)，在風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域具有重要的研究意義。據(jù)Sigma最新研究報(bào)告《經(jīng)濟(jì)積累和氣候變化時(shí)期的自然災(zāi)害》可知，受極端天氣影響，2019年巨災(zāi)造成的經(jīng)濟(jì)損失為1460億美元，其中1370億美元的經(jīng)濟(jì)損失由自然災(zāi)難造成，剩下90億美元?jiǎng)t由人為災(zāi)害事件造成。全球保險(xiǎn)業(yè)賠付了600億美元的損失，自然災(zāi)害占了520億美元(1)經(jīng)濟(jì)積累和氣候變化時(shí)期的自然災(zāi)害[EB/OL].[2020-04-09].https://www.sohu.com/a/386621076_119666.。不斷攀升的保險(xiǎn)賠付給保險(xiǎn)公司帶來了巨大的挑戰(zhàn)，亟需尋找創(chuàng)新性的解決方法來轉(zhuǎn)移巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)。巨災(zāi)債券作為重要的保險(xiǎn)連接金融證券，掀起了風(fēng)險(xiǎn)管理和風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的革命，并逐漸成為國(guó)際金融市場(chǎng)的新發(fā)展趨勢(shì)[1]，成為當(dāng)前損失融資市場(chǎng)中最受歡迎的證券產(chǎn)品。2015年7月，中再集團(tuán)以國(guó)內(nèi)地震風(fēng)險(xiǎn)為保障對(duì)象在百慕大成功發(fā)行了我國(guó)第一只巨災(zāi)債券 Panda Re，標(biāo)志著我國(guó)保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)證券化研究從理論到實(shí)踐上的重大突破，對(duì)保險(xiǎn)和金融市場(chǎng)的融合發(fā)展具有重大的意義。據(jù)Artemis 資本有限公司統(tǒng)計(jì)，截至2020年3月31日，巨災(zāi)債券市場(chǎng)上共計(jì)有420億美元未償付債券(2)數(shù)據(jù)來源：https://www.artemis.bm/.。

巨災(zāi)債券通過特殊目的機(jī)構(gòu)(special purpose vehicle)將巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)由保險(xiǎn)市場(chǎng)轉(zhuǎn)移到資本市場(chǎng)，是分散巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)強(qiáng)有力的新型金融工具。巨災(zāi)債券的投資收益取決于巨災(zāi)觸發(fā)事件是否發(fā)生，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低的特征，可為投資組合提供一種高收益率的零貝塔資產(chǎn)，因此受到投資者青睞[2]。巨災(zāi)債券能否成功發(fā)行，公平定價(jià)是關(guān)鍵所在。巨災(zāi)債券不僅在結(jié)構(gòu)特征上具備金融衍生品的屬性，也在邏輯特征上具有保險(xiǎn)產(chǎn)品的屬性，這種雙重屬性特征使得它的定價(jià)面臨較大困難。Ma和Ma[3]、馬宗剛等[4]基于無套利定價(jià)理論，在隨機(jī)利率和累積損失過程服從復(fù)合泊松過程的假設(shè)條件下，導(dǎo)出了巨災(zāi)債券定價(jià)公式，并運(yùn)用混合逼近算法求解債券的價(jià)格。Chao和Zou[5]基于同樣的建模方法，綜合Copula模型和POT模型構(gòu)建了多事件觸發(fā)的巨災(zāi)債券定價(jià)模型。Selin和Sule[6]進(jìn)一步引入更新過程刻畫死亡跳躍過程，獲得了巨災(zāi)死亡巨災(zāi)債券定價(jià)公式。此外，Lee和Yu[7]、Nowak 和Romaniuk[8]、Shao等[9]、Burnecki等[10]也采用無套利定價(jià)方法在巨災(zāi)債券定價(jià)方面做了很多工作。

由于巨災(zāi)造成的累積損失過程存在著跳躍風(fēng)險(xiǎn)并且標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)具有不可交易性，因此巨災(zāi)債券的支付也不能由傳統(tǒng)的債券或者股票的組合進(jìn)行對(duì)沖，一個(gè)不完全市場(chǎng)的假設(shè)就不可避免，而無套利定價(jià)方法并沒有完全脫離對(duì)不完全市場(chǎng)的構(gòu)造。為了實(shí)現(xiàn)巨災(zāi)債券在不完全市場(chǎng)中的定價(jià)，Hodges 和 Neuberger[11]在1989年首次提出了無差異定價(jià)方法，之后該思想在不完全市場(chǎng)的定價(jià)研究中得到了廣泛應(yīng)用。無差異定價(jià)思想是在經(jīng)濟(jì)學(xué)的效用理論基礎(chǔ)上，通過在投資者買與不買的效用權(quán)衡中，獲得對(duì)金融資產(chǎn)的均衡定價(jià)。無差異定價(jià)方法即根據(jù)效用函數(shù)描述的風(fēng)險(xiǎn)偏好，找到買方和賣方的無差異價(jià)格。買方的無差異價(jià)格，是使得他購(gòu)買該證券后的財(cái)富期望效用與不購(gòu)買該證券時(shí)的財(cái)富期望效用一樣的價(jià)格。類似的定義同樣適用于賣方的無差異價(jià)格。特別地，Young[12]率先將無差異定價(jià)方法應(yīng)用到巨災(zāi)債券的定價(jià)研究中，在隨機(jī)利率期限結(jié)構(gòu)下，建立了巨災(zāi)債券無差異價(jià)格滿足的高階偏微分方程，但無法求得顯式解。隨后，Egami 和Young[13]考慮了兩類具有不同支付結(jié)構(gòu)的巨災(zāi)債券無差異定價(jià)問題，應(yīng)用隨機(jī)控制原理給出了賣方(保險(xiǎn)公司)的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略，進(jìn)而獲得了巨災(zāi)債券無差異價(jià)格的數(shù)值解。針對(duì)已有文獻(xiàn)無法給出顯式解的不足，劉靜等[14]提出了一個(gè)靜態(tài)模型，只允許最優(yōu)投資策略在期初設(shè)定而不能隨時(shí)間作連續(xù)調(diào)整，從而得到了巨災(zāi)債券在初始時(shí)刻的無差異價(jià)格。

綜合已有文獻(xiàn)的研究成果可知，巨災(zāi)債券的定價(jià)研究仍處于發(fā)展階段。不同于已有的靜態(tài)模型，為了獲得不完全市場(chǎng)下巨災(zāi)債券無差異定價(jià)的顯式解，同時(shí)兼顧投資者可對(duì)投資策略作連續(xù)調(diào)整的現(xiàn)實(shí)情況，本文考慮一類具有特定支付結(jié)構(gòu)的巨災(zāi)債券，并以期末財(cái)富指數(shù)效用的期望值最大化為目標(biāo)，利用隨機(jī)控制原理，通過求解HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程，給出不投資巨災(zāi)債券情況下的買方連續(xù)時(shí)間最優(yōu)投資策略。進(jìn)而，在金融市場(chǎng)與巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)獨(dú)立的假設(shè)下，根據(jù)無差異定價(jià)基本原則，令投資與不投資巨災(zāi)債券情況下的最優(yōu)值函數(shù)相等，獲得巨災(zāi)債券無差異價(jià)格的顯式解。最后，基于所得結(jié)論進(jìn)行實(shí)例計(jì)算和主要參數(shù)的敏感度分析，探析影響巨災(zāi)債券價(jià)格的內(nèi)在機(jī)理，進(jìn)一步豐富和深化巨災(zāi)債券的定價(jià)研究。

二、模型構(gòu)建與主要結(jié)論

(一)模型假設(shè)

設(shè)本文提及的所有隨機(jī)變量和隨機(jī)過程均定義在完備化的概率空間(Ω,F,P)上，并沿用已有文獻(xiàn)的假設(shè)，認(rèn)為金融市場(chǎng)與巨災(zāi)市場(chǎng)無關(guān)。

為了對(duì)沖這種災(zāi)害保險(xiǎn)可能出現(xiàn)的巨額理賠，保險(xiǎn)公司發(fā)行了一種面值為1、成熟期為T年的巨災(zāi)債券。如果在T年期間沒有發(fā)生設(shè)定的巨災(zāi)，則該巨災(zāi)債券的投資者在T年期間沒有發(fā)生設(shè)定的巨災(zāi)(Yi≥d)，則該巨災(zāi)債券的投資者在T年末可以收回面值，也就是債券具有如下的支付結(jié)構(gòu)：

即，τ>T說明巨災(zāi)債券設(shè)定的巨災(zāi)事件未發(fā)生；否則，巨災(zāi)事件發(fā)生。

為方便起見，除了巨災(zāi)債券外，假設(shè)資本市場(chǎng)僅有兩類資產(chǎn)：一類是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在t時(shí)刻的價(jià)格記作R(t)；另一類是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在t時(shí)刻的價(jià)格記作L(t)。假設(shè)R(t)滿足：

dR(t)=rR(t)dt

其中r>0為無風(fēng)險(xiǎn)利率。另外，假設(shè)L(t)滿足隨機(jī)微分方程：

dL(t)=μL(t)dt+σL(t)dB(t)

其中μ,σ>0分別為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率和收益波動(dòng)率，B(t)表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

考慮投資人具有如下的指數(shù)期望效用：

u(x)=-e-ηx

其中η>0是風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。顯然，u(x)滿足u′(x)>0,u″(x)<0,?x∈R。

(二)不投資巨災(zāi)債券

首先，尋求投資者不投資巨災(zāi)債券情況下的最優(yōu)投資決策。假設(shè)投資者在t時(shí)刻將πt的資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，同時(shí)將剩余的資金Xt-πt投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。于是，投資者的財(cái)富過程Xt滿足：

等價(jià)于

dXt=[(μ-σ)πt+rXt]dt+σπtdB(t)

(1)

投資者希望找到最優(yōu)投資策略π*來實(shí)現(xiàn)期末財(cái)富的期望效用最大化。為此，定義值函數(shù)：

(2)

即，V(t,x)表示在t時(shí)刻投資者的財(cái)富為x的條件下投資者期末財(cái)富的期望效用最大值。

由(1)式和(2)式，應(yīng)用Ito公式和動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，可知V(t,x)滿足如下的HJB方程：

(3)

其中Vt，Vx和Vxx分別表示值函數(shù)V(t,x)關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)、關(guān)于x的一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)；且邊界條件為V(T,x)=-e-ηx。受Yang &Zhang[15]和Liang[16]啟發(fā)，我們猜測(cè)(3)式的解具有如下形式：

V(t,x)=-exp{-ηxer(T-t)+g(T-t)}

(4)

其中g(shù)(·)是一個(gè)函數(shù)滿足g(0)=0。通過簡(jiǎn)單的計(jì)算得出：

將上述等式代入(3)式，再關(guān)于π求導(dǎo)，易知最佳投資策略為：

進(jìn)而，有：

將上式兩端在區(qū)間[t,T]上積分，綜合邊界條件g(0)=0，可得：

因此，不投資巨災(zāi)債券的情況下，投資者的期末財(cái)富最優(yōu)期望效用為：

(5)

(三)投資巨災(zāi)債券

其次，尋求投資者投資巨災(zāi)債券情況下的最優(yōu)投資決策。針對(duì)具有本文所約定支付結(jié)構(gòu)的巨災(zāi)債券，如果在[0,t]內(nèi)設(shè)定的巨災(zāi)事件已經(jīng)發(fā)生，則在t時(shí)刻巨災(zāi)債券的價(jià)值為0，顯然投資者不會(huì)在此時(shí)購(gòu)買巨災(zāi)債券。因此，只有在[0,t]內(nèi)設(shè)定的巨災(zāi)事件未發(fā)生的條件下，投資者才會(huì)在t時(shí)刻購(gòu)買巨災(zāi)債券。

假設(shè)在t時(shí)刻，為購(gòu)買該面值為α的巨災(zāi)債券，投資者需要支付的價(jià)格為h(t)，同時(shí)將πt的資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，再將剩余的資金Xt-h(t)-πt投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。對(duì)于這種情況，投資者期末財(cái)富的期望效用最大值為：

(6)

由于齊次泊松過程具有平穩(wěn)獨(dú)立增量，以及金融市場(chǎng)與巨災(zāi)事件的獨(dú)立性假設(shè)，在本文的債券支付結(jié)構(gòu)與指數(shù)期望效用下有：

其中I{·}為示性函數(shù)。

由全概率公式和泰勒公式，又有：

P(max{Y1,…,YN(T-t)}

P(max{Y1,…,Yk}

=e-λ(1-FY(d))(T-t)

綜上，可知：

[1+e-λ(1-FY(d))(T-t)(e-ηα-1)]

(7)

(四)主要結(jié)論

根據(jù)無差異定價(jià)的基本原則，巨災(zāi)債券在t時(shí)刻的價(jià)格h(t)滿足：

V(t,x)=W(t,x-h(t))

綜合(6)式和(7)式，計(jì)算可得：

(8)

由(5)式和(7)式可知，無論是否投資巨災(zāi)債券，投資者的期末財(cái)富最優(yōu)期望效用均是隨著無風(fēng)險(xiǎn)利率r和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)η的增大而增大，隨著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率μ和收益波動(dòng)率σ的增大而減小。

由(8)式可知，在無差異定價(jià)的基本原則下，債券價(jià)格h(t)與初始資金x、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率μ以及收益波動(dòng)率σ無關(guān)。

三、實(shí)例計(jì)算和敏感度分析

(一)實(shí)例計(jì)算

表1 t時(shí)刻巨災(zāi)債券的無差異價(jià)格

(二)敏感度分析

為了進(jìn)一步分析巨災(zāi)債券價(jià)格受觸發(fā)水平和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)等不同因素的影響程度，本節(jié)將對(duì)巨災(zāi)債券價(jià)格隨不同因素變動(dòng)的敏感性進(jìn)行分析。

圖1 t=0時(shí)刻的值函數(shù)(左圖q=0.9，右圖q=0.975)

2.分析觸發(fā)水平對(duì)巨災(zāi)債券價(jià)格的影響。選擇三個(gè)分位點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，得出三種觸發(fā)水平下的債券價(jià)格隨t的變化情況。從圖2可以看出，隨著觸發(fā)水平的提高，債券價(jià)格與圖1所得結(jié)果相一致。此外，三種觸發(fā)水平下的債券價(jià)格都隨著t的增加而增加。這種現(xiàn)象說明，在債券兌現(xiàn)時(shí)間間隔變短時(shí)，巨災(zāi)觸發(fā)的可能性變小，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償也隨之減少。

圖2 不同觸發(fā)水平下的巨災(zāi)債券價(jià)格函數(shù)

3.分析風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)對(duì)巨災(zāi)債券價(jià)格的影響。選擇三個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，畫出三種系數(shù)下的債券價(jià)格隨t變化的趨勢(shì)圖，如圖3所示。隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增大，債券價(jià)格呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，這個(gè)結(jié)果正是不同投資風(fēng)險(xiǎn)偏好的體現(xiàn)。越厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投資者越不愿意投資高風(fēng)險(xiǎn)的巨災(zāi)債券，導(dǎo)致相應(yīng)的債券價(jià)格越低。

圖3 不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)下的巨災(zāi)債券價(jià)格函數(shù)

比較圖2和圖3可見，債券價(jià)格對(duì)觸發(fā)水平的敏感度要高于風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。究其原因，債券投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)在(0,0.5)內(nèi)取值(接近0)，意味著此時(shí)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好接近風(fēng)險(xiǎn)中性，因此風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的變化對(duì)債券價(jià)格的影響不顯著。

四、結(jié)語(yǔ)

本文基于連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)模型，利用無差異定價(jià)方法，在買方期末財(cái)富指數(shù)效用最大化的目標(biāo)下，利用隨機(jī)控制原理，獲得了不投資巨災(zāi)債券情況下的投資者最優(yōu)投資策略，同時(shí)給出了具有特定支付結(jié)構(gòu)的巨災(zāi)債券無差異價(jià)格的顯式解。最后，通過實(shí)例計(jì)算和一些關(guān)鍵參數(shù)的敏感度分析得到如下結(jié)論：債券價(jià)格隨觸發(fā)水平的增大而增大，隨風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增大而減??；相較于風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，觸發(fā)水平對(duì)債券價(jià)格的影響更顯著。