基于最優(yōu)時(shí)間間隔的足式機(jī)器人足端軌跡規(guī)劃＊

辛玉紅 章永年

（①金陵科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 南京 211169；②南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，江蘇 南京 210031）

足端軌跡直接影響足式機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性[1-2]，是國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)。利用笛卡爾坐標(biāo)表示的足端軌跡易于實(shí)現(xiàn)地面接觸檢查、避障等功能[3-4]，因此目前足端軌跡規(guī)劃研究主要集中在足端軌跡曲線對(duì)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性的影響。如Cho J等[5]考慮到地面對(duì)足端的支持力影響，對(duì)垂直地面方向的足端軌跡曲線進(jìn)行了規(guī)劃，提高了機(jī)身穩(wěn)定性。Chae K G等[6]優(yōu)化了gallop步態(tài)的騰空相軌跡，降低了運(yùn)動(dòng)能耗。王立鵬等[7-8]提出一種零沖擊的足端軌跡規(guī)劃改進(jìn)算法，減小了換相時(shí)的地面沖擊力。Gao M等[9]通過優(yōu)化入地角和足端軌跡曲率來提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)性能。

進(jìn)行足端軌跡規(guī)劃時(shí)，一般在任務(wù)空間產(chǎn)生一系列滿足足端速度、加速度等約束條件的等時(shí)間間隔的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)（任務(wù)空間），再進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)反解后得到各關(guān)節(jié)電機(jī)角度（關(guān)節(jié)空間），發(fā)送給各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器，使其按照要求運(yùn)動(dòng)。然而，足式機(jī)器人任務(wù)空間和關(guān)節(jié)空間存在非線性映射關(guān)系[10]，僅僅在任務(wù)空間內(nèi)規(guī)劃得到的軌跡可能會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)不平穩(wěn)，但目前的足端軌跡規(guī)劃算法基本沒有考慮到這個(gè)問題。

實(shí)際上，在工業(yè)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃中也存在類似的問題。一般地，研究人員將任務(wù)空間軌跡離散為若干離散點(diǎn)，再在關(guān)節(jié)空間內(nèi)規(guī)劃出過這些點(diǎn)的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)的軌跡。如Gasparetto A等[11]在考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)限制的前提下，采用五次B樣條曲線進(jìn)行規(guī)劃，進(jìn)而采用優(yōu)化算法得到加工時(shí)間和加加速度加權(quán)和最小[12-13]的目標(biāo)軌跡。Liu H等[14]、Olabi A等[15]和Alatartsev S等[16]對(duì)關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性進(jìn)行了優(yōu)化，但犧牲了離散點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)精度。這種軌跡規(guī)劃算法適用于對(duì)軌跡精度要求不高的情況。

考慮到任務(wù)空間內(nèi)足端軌跡曲線對(duì)運(yùn)動(dòng)性能的影響，本文在保證任務(wù)空間離散點(diǎn)軌跡不變的前提下，分析任務(wù)空間和關(guān)節(jié)空間速度間的非線性映射關(guān)系，對(duì)已經(jīng)規(guī)劃好的離散點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔進(jìn)行重新規(guī)劃，構(gòu)建機(jī)器人關(guān)節(jié)空間、任務(wù)空間運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)與離散點(diǎn)時(shí)間間隔的關(guān)系，利用改進(jìn)的遺傳算法獲取最優(yōu)的時(shí)間間隔，使其滿足兼具任務(wù)空間、關(guān)節(jié)空間的平穩(wěn)性運(yùn)動(dòng)要求。

1 機(jī)器人模型分析

本文中所采用的機(jī)器人（如圖1所示）為內(nèi)膝肘式，機(jī)器人的4條腿具有相同的機(jī)械結(jié)構(gòu)，每條腿具有3個(gè)關(guān)節(jié)，每個(gè)關(guān)節(jié)由1個(gè)直流伺服電機(jī)控制。

對(duì)于圖1所示的機(jī)器人三段式腿部結(jié)構(gòu)，有研究表明人及大型的四足動(dòng)物腿部結(jié)構(gòu)中大腿、小腿和足部的腿節(jié)比例為0.39∶0.45∶0.16，小型哺乳類動(dòng)物常見的腿節(jié)比例為0.33∶0.33∶0.33，這樣的構(gòu)形配置可以為它們帶來較大的工作空間及較好的加速性能。因此本文也采用這樣的腿節(jié)比例，具體的尺寸參數(shù)如表1所示。

圖1 四足機(jī)器人三維模型

表1 機(jī)器人單腿結(jié)構(gòu)參數(shù)

式中：J為速度雅克比矩陣，由下式確定。

由于任務(wù)空間與關(guān)節(jié)空間的存在非線性的速度映射關(guān)系，因此僅在任務(wù)空間內(nèi)進(jìn)行足端規(guī)劃可能會(huì)導(dǎo)致關(guān)節(jié)電機(jī)的速度、加速度超限或發(fā)生突變，影響機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。

2 機(jī)器人足端軌跡的多目標(biāo)優(yōu)化算法

與單目標(biāo)優(yōu)化問題一樣，多目標(biāo)優(yōu)化問題包括目標(biāo)函數(shù)，決策變量和約束條件[17]，其一般結(jié)構(gòu)如下

式中：X?Rn為 決策空間，集合顯然可行為變量上下界。同時(shí)該多目標(biāo)問題的可行域域 Ω?X。

2.1 設(shè)計(jì)變量

由于機(jī)器人控制器產(chǎn)生步態(tài)軌跡離散點(diǎn)的方法各異，為了保持本文算法的普適性，在這里不改變已經(jīng)離散好的軌跡點(diǎn)Pi，只是更改離散軌跡點(diǎn)之間的時(shí)間間隔 Δti，從而對(duì)各關(guān)節(jié)速度、加速度進(jìn)行調(diào)整。因此，該機(jī)器人軌跡規(guī)劃的多目標(biāo)問題的設(shè)計(jì)量為x=(Δt1,Δt2,···,Δtn)， 其中n為1個(gè)步態(tài)周期內(nèi)足端軌跡的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)。

2.2 約束條件

（1）步頻約束

優(yōu)化前后機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)速度保持不變，記T為機(jī)器人步態(tài)周期，有

（2）任務(wù)空間運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

足式機(jī)器人在任務(wù)空間的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性會(huì)影響機(jī)器人與地面的接觸力，因而足端軌跡在任務(wù)空間也必須保持平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，有

式中：vi、ai分 別為第i個(gè)足端軌跡點(diǎn)的速度、加速度，vmax、amax為其許用的最大速度、加速度。

（3）關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

每個(gè)關(guān)節(jié)均受到關(guān)節(jié)最大速度、加速度、加加速度的限制，即

式 中：Vk,i、Ak,i、Jk,i分 別 代 表 第k個(gè) 關(guān) 節(jié) 在 第i個(gè) 足端軌跡點(diǎn)的速度、加速度及加加速度，Vk、Ak、Jk代表第k個(gè)關(guān)節(jié)許用的最大速度、加速度及加加速度。

2.3 目標(biāo)函數(shù)

無論在關(guān)節(jié)空間還是任務(wù)空間，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)都應(yīng)具備良好的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。對(duì)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性的衡量可以表征為速度、加速度變化小，也就是系統(tǒng)具有較小的平均加速度和較小的平均加加速度。于是機(jī)器人任務(wù)空間的平穩(wěn)性能子目標(biāo)函數(shù)為

每個(gè)機(jī)器人關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間平穩(wěn)性性能子目標(biāo)函數(shù)為

單腿含有3個(gè)關(guān)節(jié)，因此關(guān)節(jié)空間平穩(wěn)性性能子目標(biāo)函數(shù)一共有6個(gè)?；谏鲜龅募s束條件和子目標(biāo)函數(shù)的分析，建立足端軌跡的多目標(biāo)優(yōu)化模型

3 遺傳算法

3.1 歸一化處理

首先對(duì)各個(gè)獨(dú)立的分目標(biāo)函數(shù)求最大值和最小值，再將實(shí)際的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為0～1之間的一個(gè)無量綱數(shù)。即

為了將不同的性能因素在目標(biāo)衡量中的相對(duì)重要程度定量化，設(shè)Wm為幾種性能指標(biāo)的權(quán)比，該值采用層次分析法計(jì)算得到，這樣統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)為

3.2 改進(jìn)遺傳算法

待優(yōu)化單目標(biāo)函數(shù)式（11）是一個(gè)非線性優(yōu)化問題，運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化算法很難解決，這里采用改進(jìn)遺傳算法來求解。其算法流程圖如圖2所示。

圖2 GA流程圖

與常規(guī)染色體變異[18]不同，本文對(duì)單個(gè)染色體上多個(gè)基因組進(jìn)行變異。具體過程如下：

（1）基因組劃分

本文的染色體由 Δti按序排列而成，如圖3所示。

圖3 單個(gè)染色體

當(dāng)軌跡點(diǎn)Pi運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)不滿足任務(wù)空間運(yùn)動(dòng)學(xué)約束或關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)學(xué)約束時(shí)，該點(diǎn)即為染色體上基因組分割點(diǎn)，據(jù)此劃分得到基因組如圖4所示。

圖4 基因組劃分圖

（2）變異過程

完成基因分組后，在軌跡點(diǎn)不變的情況下，增大某軌跡點(diǎn)Pi附近的時(shí)間長(zhǎng)度可以降低關(guān)節(jié)空間速度、加速度、加加速度和足端速度、加速度的大小及突變程度。但若只對(duì)Pi點(diǎn)附近的時(shí)間長(zhǎng)度作調(diào)整，可能會(huì)導(dǎo)致附近其他軌跡點(diǎn)出現(xiàn)峰值，使得優(yōu)化效果有限，甚至更差。故而將調(diào)整目標(biāo)擴(kuò)展到基因組。將該基因組進(jìn)行整體縮放，同時(shí)乘以染色體片段突變 系 數(shù)Ci， 實(shí) 現(xiàn) 增 大 Δti的 目 的。

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

試驗(yàn)用四足機(jī)器人樣機(jī)如圖5所示，驅(qū)動(dòng)裝置選用Maxon的RE35直流有刷電機(jī)及LT1100直流伺服驅(qū)動(dòng)器。

圖5 機(jī)器人樣機(jī)

機(jī)器人行走時(shí)應(yīng)該盡量滿足行走平穩(wěn)、關(guān)節(jié)沖擊小、跨步迅速和軌跡圓滑等要求，因此足端軌跡選用北京理工大學(xué)提出的一種零沖擊足端軌跡[7]，步態(tài)采用速度快、穩(wěn)定性好的對(duì)角步態(tài)。設(shè)置步距100 mm，步高40 mm，步態(tài)周期4 s，離散點(diǎn)總數(shù)為100，得到圖6所示的待優(yōu)化的離散點(diǎn)序列Pi。足端軌跡位于xy平面內(nèi)，相鄰2個(gè)離散點(diǎn)之間的時(shí)間間隔均為0.04 s。

圖6 四足機(jī)器人橢圓足端軌跡

利用改進(jìn)的遺傳算法對(duì)離散點(diǎn)序列進(jìn)行軌跡優(yōu)化，其算法參數(shù)如表2所示。

表2 算法參數(shù)

由于足端軌跡在Z方向沒有變化，因而優(yōu)化前后橫擺關(guān)節(jié)的角度保持不變。將優(yōu)化前后的各關(guān)節(jié)PVT信息發(fā)送至驅(qū)動(dòng)器，得到實(shí)物樣機(jī)髖、膝關(guān)節(jié)速度、加速度和加加速度的情況如圖7所示。

從圖7可以看出，優(yōu)化前的足端軌跡在1 s、3 s附近時(shí)速度、加速度和加加速度均有不同程度的突變，此時(shí)足端軌跡位于支撐相與騰空相的轉(zhuǎn)換之中，由于整個(gè)足端軌跡曲線在支撐相與騰空相轉(zhuǎn)換的位置處僅為C1連續(xù)，因而在進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)容易在此處發(fā)生速度突變，影響運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性。

圖7 優(yōu)化前后關(guān)節(jié)空間性能對(duì)比圖

優(yōu)化后的速度曲線比優(yōu)化前的速度曲線更加平滑，換相點(diǎn)處的速度突變現(xiàn)象也得到了很大的改善。優(yōu)化后的加速度、加加速度峰值均不同程度的降低，提高了運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性，具體的性能指標(biāo)如表3所示。

從表3可以看出，無論是騰空相還是支撐相，髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的峰值加速度和峰值加加速度都比優(yōu)化前有所下降，最高降幅達(dá)77.15%，最低降幅也有37.22%。另外除了膝關(guān)節(jié)的平均加速度較原來提高10.89%外，髖關(guān)節(jié)的平均加速度、兩個(gè)關(guān)節(jié)的平均加加速度均比優(yōu)化前有所下降。從而可以表明優(yōu)化后關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性能得到大幅提升。

表3 優(yōu)化前后性能對(duì)比

足式機(jī)器人在任務(wù)空間的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性會(huì)影響機(jī)器人與地面的接觸力，因而在提高關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性能同時(shí)，其任務(wù)空間的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性也應(yīng)基本保持不變甚至有所提升。圖8給出了優(yōu)化前后任務(wù)空間的加速度對(duì)比。

圖8 優(yōu)化前后任務(wù)空間性能對(duì)比圖

從圖8可以看出，優(yōu)化前后X向的加速度曲線變化不大，可以看出本文提出的遺傳算法由于采用了分段染色體變異的策略使得能選擇性保留原有比較優(yōu)秀的加速度曲線。而優(yōu)化前Y向在換相點(diǎn)處存在較大的加速度突變，經(jīng)過優(yōu)化后，在1 s、3 s時(shí)刻最大沖擊分別減小了45.83%和61.82%，由于機(jī)器在行走過程中，Y方向上的沖擊是機(jī)身造成翻轉(zhuǎn)和傾覆的主要影響因素，因而能大大減小行走沖擊，提高機(jī)器人行走的穩(wěn)定性。

5 結(jié)語

本文提出了一種優(yōu)化四足機(jī)器人足端軌跡的新方法。在不改變已經(jīng)離散好的軌跡點(diǎn)的前提下，在關(guān)節(jié)空間、任務(wù)空間運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件下，以任務(wù)空間和每個(gè)機(jī)器人關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間平穩(wěn)性性能為評(píng)價(jià)指標(biāo)，利用遺傳算法優(yōu)化軌跡點(diǎn)之間的時(shí)間間隔使得評(píng)價(jià)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。試驗(yàn)結(jié)果顯示：

（1）機(jī)器人各關(guān)節(jié)的峰值加速度、峰值加加速度都比優(yōu)化前有所下降，表明關(guān)節(jié)電機(jī)受到較小沖擊。

（2） 除膝關(guān)節(jié)的平均加速度較原來提高外，髖關(guān)節(jié)的平均加速度、2個(gè)關(guān)節(jié)的平均加加速度均比優(yōu)化前有所下降，表明關(guān)節(jié)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性得到提升。

（3） 豎直方向在換相點(diǎn)處加速度比優(yōu)化前有所下降，減小了行走沖擊，提高機(jī)器人行走的穩(wěn)定性。