采用擴(kuò)展滑模觀測(cè)器的數(shù)控機(jī)床永磁同步電機(jī)魯棒控制方法＊

李 濤

（鄭州旅游職業(yè)學(xué)院，河南 鄭州 451464）

永磁同步電機(jī)在數(shù)控機(jī)床加工領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，尤其在高端制造業(yè)方面對(duì)永磁同步電機(jī)的運(yùn)行精度有著更高的要求[1-3]。由于永磁同步電機(jī)是依靠電路和磁路來(lái)工作的，電源的穩(wěn)定性和外界溫度變化也都會(huì)影響電路的穩(wěn)定[4-5]，同時(shí)外界磁場(chǎng)的變化也會(huì)影響磁路的穩(wěn)定[6-7]，進(jìn)而破壞永磁同步電機(jī)電流和磁鏈的穩(wěn)定，最終干擾電機(jī)的正常轉(zhuǎn)動(dòng)。另外，由于負(fù)載轉(zhuǎn)矩是時(shí)刻變化的，無(wú)法獲得負(fù)載轉(zhuǎn)矩的準(zhǔn)確信息，那么未知負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)也必然會(huì)影響到控制轉(zhuǎn)速的精度[8-9]。

文獻(xiàn)[10]采用無(wú)模型預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)了永磁同步電機(jī)魯棒調(diào)速方法，但是沒(méi)有考慮未知負(fù)載轉(zhuǎn)矩的影響；文獻(xiàn)[11]通過(guò)建立永磁同步直線電機(jī)增量式預(yù)測(cè)模型來(lái)克服電機(jī)磁鏈變化的影響，并利用滑模觀測(cè)器來(lái)觀測(cè)電壓擾動(dòng)值并將擾動(dòng)前饋補(bǔ)償，設(shè)計(jì)了魯棒增量式預(yù)測(cè)電流控制算法，雖然方法有效，但是沒(méi)有考慮未知負(fù)載力矩的影響；文獻(xiàn)[12]利用自適應(yīng)估計(jì)法對(duì)不確定因素在線估計(jì)，設(shè)計(jì)了模糊滑?？刂扑惴ǎ珱](méi)有考慮未知負(fù)載轉(zhuǎn)矩的影響；文獻(xiàn)[13]采用魯棒微分估計(jì)器設(shè)計(jì)了平滑非奇異終端SMC算法，大幅改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但沒(méi)有考慮魯棒控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[14]針對(duì)存在模型參數(shù)非線性不確定性因素和輸入飽和約束的永磁同步電機(jī)控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了干擾觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定性因素的在線估計(jì)和前饋補(bǔ)償，設(shè)計(jì)了具有抗輸入飽和約束的魯棒有限時(shí)間控制算法，取得了不錯(cuò)的效果。綜合以上分析，本文針對(duì)考慮負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)和電路、磁路擾動(dòng)的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制問(wèn)題，利用擴(kuò)展滑模觀測(cè)器來(lái)準(zhǔn)確估計(jì)電機(jī)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)動(dòng)加速度和復(fù)合干擾，給出了一種改進(jìn)的魯棒控制策略，大幅度提高了轉(zhuǎn)速的精準(zhǔn)度。

1 模型建立

永磁同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，由定子、轉(zhuǎn)子和殼體組成。示意圖如圖1所示。

圖1 永磁同步電機(jī)示意圖

永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)模型可以描述為：

式中：ω表示轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；p表示磁極對(duì)數(shù)；J表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ψ表永磁磁鏈；i表示輸入電流，即輸入控制指令；B表示摩擦系數(shù)；T表示額定負(fù)載轉(zhuǎn)矩[15]。

數(shù)控機(jī)床在對(duì)工件加工的過(guò)程中，永磁同步電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩是時(shí)刻變化的，無(wú)法準(zhǔn)確獲得負(fù)載轉(zhuǎn)矩的大小，所以一定要考慮未知負(fù)載轉(zhuǎn)矩的影響。另外，永磁同步電機(jī)的電路和磁路也容易受到外界電磁場(chǎng)的影響，使電機(jī)中的電流大小和磁鏈大小會(huì)發(fā)生不規(guī)則擾動(dòng)，必然會(huì)影響轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的精確。

綜合考慮負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)和電路、磁路擾動(dòng)的影響，建立永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)模型可以描述如下。

式中：r為負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)和電路擾動(dòng)的復(fù)合干擾。

2 魯棒控制律設(shè)計(jì)

首先設(shè)計(jì)了擴(kuò)展滑模觀測(cè)器對(duì)復(fù)合干擾和轉(zhuǎn)速進(jìn)行估計(jì)，并分析了擴(kuò)展滑模觀測(cè)器的穩(wěn)定性以及對(duì)抖振現(xiàn)象的抑制作用；然后在此基礎(chǔ)上，又設(shè)計(jì)了新型滑模趨近律，最終提出了魯棒控制方法?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2.1 擴(kuò)展滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)

由于永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速非?？?，傳感器不能準(zhǔn)確測(cè)量得到轉(zhuǎn)速，將會(huì)影響對(duì)轉(zhuǎn)速的精確控制，為了解決這個(gè)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了擴(kuò)展滑模觀測(cè)器來(lái)準(zhǔn)確估計(jì)轉(zhuǎn)速，并對(duì)復(fù)合干擾進(jìn)行補(bǔ)償。根據(jù)永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)模型，將復(fù)合干擾r作為系統(tǒng)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)變量，則可得到永磁同步電機(jī)的擴(kuò)展動(dòng)態(tài)模型為：

式中：d為永磁同步電機(jī)復(fù)合干擾r的變化率。

為式（3）設(shè)計(jì)擴(kuò)展滑模觀測(cè)器為

式中： η＜0是 滑模系數(shù)；sgn()是 符號(hào)函數(shù)；S是滑模面，表達(dá)式為

結(jié)合式（3）和式（4）得到擴(kuò)展動(dòng)態(tài)誤差模型描述為

定理1：針對(duì)永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)模型式（2）設(shè)計(jì)的擴(kuò)展滑模觀測(cè)器式（4）收斂。

證明：當(dāng)以下條件成立時(shí)，擴(kuò)展滑模觀測(cè)器式（4）收斂，滑模面式（6）能夠到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)：

將式（8）代入式（9）化簡(jiǎn)可得

將式（11）代入式（7）可得

由式（12）得到復(fù)合干擾r的誤差微分方程：

對(duì)上式微分方程求解可以得到：

式中：C為常數(shù)。由式（14）可得到，當(dāng)控制系數(shù)g＞0時(shí)，可確保復(fù)合干擾r的估計(jì)誤差指數(shù)收斂到0，g的取值大小直接決定估計(jì)誤差r?的收斂速度。

定理2：設(shè)計(jì)的擴(kuò)展滑模觀測(cè)器式（4）可抑制高頻抖振。

證明：在擴(kuò)展滑模觀測(cè)器中，抖振現(xiàn)象是由滑模變量u帶來(lái)的。永磁同步電機(jī)的擴(kuò)展動(dòng)態(tài)誤差模型可以重新描述為

進(jìn)一步可得到滑模變量u的誤差微分方程為

對(duì)式（16）進(jìn)行拉普拉斯變換可得到

式中：T=1/g；F(s)為慣性環(huán)節(jié)，可以作為低通濾波器，能夠有效抑制高頻抖振現(xiàn)象，其中低通濾波器的截止頻率為

綜合以上分析，可得定理2成立，即擴(kuò)展滑模觀測(cè)器式（4）能夠有效抑制抖振現(xiàn)象。

2.2 新型滑模魯棒控制律設(shè)計(jì)

定義永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速誤差為

式中： ωc為永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速指令。選取滑模面為

對(duì)滑模面式（20）求導(dǎo)可以得到

為了提高系統(tǒng)的收斂速度，克服滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象，本文設(shè)計(jì)新型滑模趨近律為

式中：k＞0； δ＞0； 0＜ε＜1；m是新型滑模趨近律的調(diào)節(jié)系數(shù)，來(lái)改善滑?？刂频氖諗克俣群投墩瘳F(xiàn)象，調(diào)節(jié)系數(shù)m滿(mǎn) 足 0＜m＜k/ε。

設(shè)計(jì)的新型滑模趨近律工作原理為：當(dāng)滑模面|Sω|增大時(shí)，即系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，m趨近于常數(shù)k/ε， 且k/ε＞k，從而提高了系統(tǒng)的收斂速度；當(dāng)滑模面 |Sω|減小時(shí)，即系統(tǒng)狀態(tài)趨近滑模面時(shí)，m逐漸趨近于 (k|e|)/(1+|e|)。同時(shí)，在滑?？刂频淖饔孟?，系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)逐漸收斂到0，則m會(huì)逐漸減小到0來(lái)抑制抖振。

將新型趨近律式（22）代入式（21）可得到

對(duì)式（23）進(jìn)行求解可得到永磁同步電機(jī)輸入電流的控制指令為

式中：復(fù)合干擾r由擴(kuò)展滑模觀測(cè)器式（4）估計(jì)得到；m滿(mǎn)足式（22）。進(jìn)一步可得到永磁同步電機(jī)輸入電流的控制指令為

定理3：針對(duì)數(shù)控機(jī)床永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)模型式（2），設(shè)計(jì)的新型滑模趨近律式（22）和輸入電流控制指令式（25）能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明：考慮如下Lyapunov函數(shù)V

對(duì)式（26）求導(dǎo)并把式（22）和式（25）代入化簡(jiǎn)得

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可得到定理3成立，即設(shè)計(jì)的新型滑模趨近律式（22）和輸入電流控制指令式（25）能夠確保永磁同步電機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

永磁同步電機(jī)的參數(shù)如表1所示。

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)

設(shè)置永磁同步電機(jī)的初始狀態(tài)為

設(shè)定永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速指令信號(hào)為

設(shè)定復(fù)合干擾為

設(shè)置魯棒控制律參數(shù)如表2所示。

表2 魯棒控制律參數(shù)

3.2 轉(zhuǎn)速對(duì)比

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)方法的優(yōu)越性，分別采用文獻(xiàn)[16]的滑模控制方法與本文方法進(jìn)行轉(zhuǎn)速對(duì)比仿真，得到的結(jié)果如圖3所示，圖3a為轉(zhuǎn)速指令跟蹤曲線，圖3b為轉(zhuǎn)速跟蹤誤差曲線。其中，實(shí)線為指令信號(hào)，短虛線為文獻(xiàn)[16]的仿真曲線，長(zhǎng)虛線為本文方法的仿真曲線。

圖3 轉(zhuǎn)速仿真結(jié)果

由圖3可看出：在文獻(xiàn)[16]控制方法能夠使永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速在2 s之后才能基本跟上指令信號(hào)，但是在復(fù)合干擾的影響下，跟蹤曲線會(huì)在指令信號(hào)附近劇烈振蕩，最大跟蹤誤差達(dá)到了3 r/s；而在本文提出的控制方法作用下，轉(zhuǎn)速在0.4 s內(nèi)就可以穩(wěn)定、準(zhǔn)確跟蹤指令信號(hào)，最大跟蹤誤差僅為0.1 r/s。

3.3 轉(zhuǎn)動(dòng)加速度對(duì)比

采用文獻(xiàn)[16]的滑模控制方法和本文方法進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)加速度對(duì)比仿真，結(jié)果如圖4所示，圖4a為轉(zhuǎn)速指令跟蹤曲線，圖4b為轉(zhuǎn)速跟蹤誤差曲線。其中，實(shí)線為指令信號(hào)，短虛線為文獻(xiàn)[16]的仿真曲線，長(zhǎng)虛線為本文方法的仿真曲線。

由圖4可看出：在文獻(xiàn)[16]控制方法能夠使永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度能夠基本跟上指令信號(hào)，但是在復(fù)合干擾的影響下，跟蹤曲線會(huì)在指令信號(hào)附近劇烈振蕩，最大跟蹤誤差達(dá)到了2 r/s2；而在本文提出的控制方法作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)加速度能夠迅速、準(zhǔn)確跟蹤指令信號(hào)，最大跟蹤誤差僅為0.05 r/s2。

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)加速度仿真結(jié)果

3.4 擴(kuò)展滑模觀測(cè)器對(duì)比

采用文獻(xiàn)[17]的滑模觀測(cè)器和本文方法進(jìn)行對(duì)比仿真，得到轉(zhuǎn)動(dòng)速度估計(jì)結(jié)果、轉(zhuǎn)動(dòng)加速度估計(jì)結(jié)果和復(fù)合干擾估計(jì)結(jié)果，如圖5～7所示。

圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)速度估計(jì)結(jié)果

由仿真圖5～7可看出：在文獻(xiàn)[17]中的滑模觀測(cè)器可使轉(zhuǎn)速估計(jì)值在3 s之后基本跟上真實(shí)值，最大估計(jì)誤差為4 r/s，轉(zhuǎn)動(dòng)加速度也能夠基本跟上真實(shí)值，最大估計(jì)誤差為2 r/s2；而在本文設(shè)計(jì)的擴(kuò)展滑模觀測(cè)器的作用下，轉(zhuǎn)速估計(jì)值在0.4 s內(nèi)就可以穩(wěn)定、準(zhǔn)確估計(jì)真實(shí)值，最大估計(jì)誤差僅為0.08 r/s；轉(zhuǎn)動(dòng)加速度能夠迅速、準(zhǔn)確估計(jì)真實(shí)值，最大估計(jì)誤差也僅為0.04 r/s2。另外，設(shè)計(jì)擴(kuò)展滑模觀測(cè)器可在0.4 s內(nèi)準(zhǔn)確估計(jì)出復(fù)合干擾，最大估計(jì)誤差為0.03 r/s2。

圖6 轉(zhuǎn)動(dòng)加速度估計(jì)結(jié)果

圖7 復(fù)合干擾估計(jì)結(jié)果

4 測(cè)試平臺(tái)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)的控制策略對(duì)永磁同步電機(jī)的實(shí)際控制精度，搭建了測(cè)試平臺(tái)，測(cè)試平臺(tái)主要由1.2 kW永磁同步電機(jī)（型號(hào)：110SYM04030）、轉(zhuǎn)速測(cè)量?jī)x（DYN-200）、電機(jī)驅(qū)動(dòng)器（型號(hào)：SD200）、控制器（干擾信號(hào)和電流-脈沖隔離轉(zhuǎn)換器）、動(dòng)力電源（220 V/50 Hz）和可調(diào)負(fù)載等組成。測(cè)試系統(tǒng)原理圖如圖8所示。

圖8 測(cè)試系統(tǒng)原理圖

控制器中可載入不同的控制算法，轉(zhuǎn)速指令通過(guò)控制算法處理后輸出控制電流，干擾信號(hào)是在控制器中模擬出的系統(tǒng)復(fù)合干擾信號(hào)，控制電流和干擾信號(hào)疊加后，經(jīng)電流-脈沖隔離轉(zhuǎn)換器輸出脈沖信號(hào)，驅(qū)動(dòng)器接收不同頻率的脈沖信號(hào)來(lái)控制永磁同步電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)，永磁同步電機(jī)和可調(diào)負(fù)載之間安裝了轉(zhuǎn)速測(cè)量?jī)x，轉(zhuǎn)速測(cè)量?jī)x可實(shí)時(shí)測(cè)量電機(jī)的轉(zhuǎn)速，并反饋給控制器，從而形成控制閉環(huán)。由于模擬出的復(fù)合干擾信號(hào)會(huì)影響到永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速，測(cè)試實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)測(cè)量不同控制方法下永磁同步電機(jī)的跟蹤精度來(lái)驗(yàn)證控制效果。測(cè)試平臺(tái)如圖9所示。

圖9 測(cè)試平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)主機(jī)向控制器發(fā)送命令，設(shè)定10個(gè)不同轉(zhuǎn)速的指令信號(hào)，轉(zhuǎn)速范圍在100～1 200 r/min，模擬干擾信號(hào)電流為0.02sintA，并分別采用文獻(xiàn)[17]和本文方法對(duì)永磁同步的轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制，同時(shí)通過(guò)轉(zhuǎn)速測(cè)量?jī)x測(cè)量出實(shí)際的轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果及誤差數(shù)據(jù)如表3所示。

從表3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出：在文獻(xiàn)[17]滑?？刂品椒ǖ淖饔孟拢姍C(jī)的實(shí)際最大轉(zhuǎn)速誤差為4.7 r/min，控制精度不高；而在本文控制方法的作用下，電機(jī)的實(shí)際最大轉(zhuǎn)速誤差僅為0.3 r/min，控制精度較高，二者對(duì)比突出了本文提出方法對(duì)永磁同步電機(jī)具有更優(yōu)的實(shí)際控制效果。

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)數(shù)控機(jī)床永磁同步電機(jī)中的負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)、電路和磁路擾動(dòng)等因素影響，采用擴(kuò)展滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)了魯棒控制方法。仿真結(jié)果表明：設(shè)計(jì)的魯棒控制方法能夠包容復(fù)合干擾的影響，確保永磁同步電機(jī)在0.4 s內(nèi)穩(wěn)定、準(zhǔn)確跟蹤指令信號(hào)，最大轉(zhuǎn)速誤差和轉(zhuǎn)動(dòng)加速度誤差分別為0.1 r/s和0.05 r/s2；同時(shí)，設(shè)計(jì)的擴(kuò)展滑模觀測(cè)器可在0.4 s內(nèi)準(zhǔn)確估計(jì)出轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動(dòng)加速度，最大估計(jì)誤差分別僅為0.08 r/s和0.04 r/s2，也能夠準(zhǔn)確估計(jì)出復(fù)合干擾，估計(jì)誤差也僅為0.03 r/s2。在測(cè)試實(shí)驗(yàn)中，提出方法對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速的最大跟蹤誤差僅為0.3 r/min，與其他方法相比表現(xiàn)出了更快的響應(yīng)速度和更高的控制精度，具有更優(yōu)的魯棒性、快速性和準(zhǔn)確性，實(shí)現(xiàn)了數(shù)控機(jī)床永磁同步電機(jī)的高精度轉(zhuǎn)速控制。