對數(shù)線性插值土工顆粒分析方法

沈捍明

(中鐵十二局集團(tuán)第七工程有限公司 湖南長沙 410004)

1 前言

土工試驗(yàn)評定級配特性時，需要知道質(zhì)量百分比P小于某一特定值m的特征粒徑d(P＜m)來計(jì)算曲率系數(shù)、不均勻系數(shù)等參數(shù)。但是在試驗(yàn)過程中，篩網(wǎng)孔徑固定且不連續(xù)，不可能直接測定d(P＜m)。工程中一般采用間接測定di(P＜mi)及di＋1(P＜mi＋1)，其中di和di＋1分別對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)篩徑，并合理選擇mi及mi＋1，使m∈(mi，mi＋1)，將m線性內(nèi)插入[(mi，di(P＜mi)]與[mi＋1，di＋1(P＜mi＋1)]點(diǎn)間，從而求得d(P＜m)。該方法是基于m與d(P＜m)的線性坐標(biāo)系，但篩徑尺寸從102mm變化至10－3mm，數(shù)量級跨度較大，在此坐標(biāo)系下，相鄰已知坐標(biāo)點(diǎn)間距分布極不均勻，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)非線性關(guān)系。工程中的篩分曲線展繪已考慮該問題，并采用了半對數(shù)坐標(biāo)來顯著體現(xiàn)曲線變化趨勢，因此在特征粒徑推定時若仍采用線性插值，其估計(jì)值將產(chǎn)生較大偏差[1－3]。

2 插值原理

如圖1所示，設(shè)數(shù)據(jù)x經(jīng)過對數(shù)運(yùn)算后，位于對數(shù)坐標(biāo)軸lgx上。A、B、C三點(diǎn)為實(shí)際測得的三個數(shù)據(jù)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(lgxA，yA)、(lgxB，yB)、(lgxC，yC)。在該坐標(biāo)系下連接A、C點(diǎn)，過B點(diǎn)做水平線，與直線AC交于點(diǎn)B′，則B′點(diǎn)為y＝y(tǒng)B對應(yīng)的對數(shù)線性內(nèi)插點(diǎn)。根據(jù)線性內(nèi)插關(guān)系:

圖1 對數(shù)坐標(biāo)線性插值示意

式(2)即為按對數(shù)坐標(biāo)線性插值的計(jì)算公式，按指數(shù)規(guī)律變化，其與式(1)的線性內(nèi)插方法不同。在已知A(xA，yA)、C(xC，yC)及B點(diǎn)縱坐標(biāo)yC后，即可通過該式推算B點(diǎn)橫坐標(biāo)xB′。

3 偏差分析

3.1 “跳點(diǎn)法”計(jì)算插值偏差

采用插值方式對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測需給定對其偏差測定的方法，以評估插值精度，這是目前大多數(shù)數(shù)據(jù)插值處理所缺失的。土工篩分試驗(yàn)中，單次試驗(yàn)測定數(shù)據(jù)較少，考慮采用原始數(shù)據(jù)構(gòu)造“跳點(diǎn)法”校核插值精度:如圖2所示，設(shè)A、B、C、D為實(shí)測數(shù)據(jù)點(diǎn)，首先假設(shè)B點(diǎn)未知，AC點(diǎn)采用式(2)插值推算出B′點(diǎn)，再比對B與B′點(diǎn)位偏差值ΔB；假設(shè)C點(diǎn)未知，采用式(2)推算出C′點(diǎn)，比對C與C′點(diǎn)位偏差ΔC。依此類推，直至遍歷所有點(diǎn)位。該方法可以校核除首末點(diǎn)外的所有點(diǎn)位偏差[4－6]。

圖2 跳點(diǎn)校核示意

3.2 偏差分析參數(shù)選定

由前述可知，采用“跳點(diǎn)法”，可先按式(3)逐個計(jì)算各點(diǎn)位的相對偏差δ。

在插值精度理想的情況下，δ應(yīng)趨于0。樣本整體的平均相對偏差越小，樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ越小，其表征插值方法對于源數(shù)據(jù)的適應(yīng)性越好，性能越穩(wěn)定。和σ分別按式(4)、式(5)計(jì)算。

由于標(biāo)準(zhǔn)篩徑從150 mm變化至0.007 5 mm，數(shù)據(jù)變化跨度較大，雖相對偏差δ為無量綱量，考慮插值精度有限，可能存在相對偏差尺度變動較大情況，故還需采用式(6)計(jì)算變異系數(shù)輔以評估。

3.3 均值接近零時的變異系數(shù)優(yōu)化

基于此，在當(dāng)趨于0時，在保證式(6)中cv單調(diào)性不變的前提下，降緩其值增長速率，則考慮對其取對數(shù)處理。鑒于最小篩徑為10－4數(shù)量級，最大篩徑為102數(shù)量級，故對數(shù)底數(shù)采用104變換后cv在10－1至100數(shù)量級間浮動，較易辨別其變化特征，則定義:

3.4 偏差系數(shù)

由前述可知，評估插值方法的偏差時，、σ、cv均越小越好。但由式(7)計(jì)算變異系數(shù)時，可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)，單純?nèi)∪叽鷶?shù)和可能存在正負(fù)抵消的情況。借鑒樣本標(biāo)準(zhǔn)差定義方法，此處定義偏差系數(shù)Ψ有:

其中，、σ、cv分別由式(4)、式(5)、式(7)求得。在實(shí)際工程中，對于同一數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用“跳點(diǎn)法”，分別采用線性插值和對數(shù)線性插值計(jì)算樣本的偏差系數(shù)，取偏差系數(shù)較小的插值方法確定的插值參數(shù)作為估計(jì)值。

4 應(yīng)用實(shí)例

4.1 數(shù)據(jù)偏差分析

以大張高鐵改DIK184＋000～改DIK187＋150段路基填料的44組土工篩分試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為樣本，以實(shí)測的小于 40、20、10、5、2、1、0.5、0.25、0.75 mm粒徑質(zhì)量百分比作為真值，分別采用線性插值法和對數(shù)線性插值法反算相應(yīng)粒徑，并與真值粒徑進(jìn)行對比，計(jì)算過程和比對結(jié)果分別見表1～表4[7]。

表1 線性插值計(jì)算

表2 對數(shù)線性插值計(jì)算

表3 各粒組線性插值數(shù)據(jù)偏差分析

續(xù)表3

表4 各粒組對數(shù)線性插值數(shù)據(jù)偏差分析

續(xù)表4

由表3和表4對照可知，對于同樣的44組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，除線性插值法的變異系數(shù)略大于對數(shù)線性插值法外，相對偏差均值、相對偏差標(biāo)準(zhǔn)差、偏差系數(shù)均大于線性對數(shù)插值法。由于偏差系數(shù)反映了插值偏差整體情況，因此對數(shù)線性插值精度優(yōu)于對數(shù)插值[8－10]。

4.2 特征粒徑推算

以表2中數(shù)據(jù)為例，計(jì)算d60、d30及曲率系數(shù)和不均勻系數(shù)。

由表中數(shù)據(jù)知，60∈(54.2，69)，d54.2＝10，d69＝20；30∈(25.5，33.6)，d25.5＝1，d33.6＝2。 試驗(yàn)中恰好測得d10＝0.25，則由式(2)可知:

故不均勻系數(shù):Cu＝13.12/0.25＝52.5；Cc＝1.362/(13.12×0.25)＝0.56。

5 實(shí)用化程序

本方法雖較大程度提高了插值計(jì)算的可靠性，但計(jì)算過程偏繁瑣。為適應(yīng)工程中快速準(zhǔn)確計(jì)算，為此利用CASIOfx-5800P可編程函數(shù)計(jì)算器編制通用計(jì)算程序，以滿足現(xiàn)場數(shù)據(jù)記錄和計(jì)算要求，程序源代碼如下:

上述代碼執(zhí)行過程可實(shí)現(xiàn)如下功能:

(1)程序提供了“線性插值”和“對數(shù)線性插值”兩種計(jì)算模式。

(2)一次性最多支持輸入13組粒組數(shù)據(jù)。

(3)在任意指定質(zhì)量百分比時，程序可根據(jù)輸入的粒組數(shù)據(jù)自動搜索相鄰的質(zhì)量百分比及對應(yīng)的特征粒徑。

(4)只需一次性輸入單次試驗(yàn)粒組數(shù)據(jù)后，可重復(fù)計(jì)算任意質(zhì)量百分比的特征粒徑，無需重復(fù)錄入粒組數(shù)據(jù)。

(5)考慮土工篩分試驗(yàn)和數(shù)據(jù)記錄的習(xí)慣，程序中粒組數(shù)據(jù)的錄入按從大粒徑向小粒徑的順序輸入，且與計(jì)算結(jié)果唯一對應(yīng)。若粒徑錄入順序與之相反，則計(jì)算會出錯[11－12]。

計(jì)算器程序編輯、運(yùn)行界面如圖3所示。

圖3 計(jì)算器程序編輯及輸出界面

6 結(jié)論

本文通過分析線性插值法和對數(shù)線性插值法兩種方法的插值偏差，并通過大量樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，得到如下結(jié)論:

(1)重新定義的變異系數(shù)可有效解決數(shù)據(jù)數(shù)量級跨度較大、量綱不統(tǒng)一、均值趨于零一類樣本離散特性難以評估的問題。

(2)構(gòu)造了基于對數(shù)坐標(biāo)線性插值的方法，提出的“跳點(diǎn)法”可有效評估各類插值方法偏差。

(3)構(gòu)造的“偏差系數(shù)”綜合考慮了均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)特性，可定量評估不同插值方法間的偏差大小，為在不同的樣本條件下科學(xué)選取插值方法提供了依據(jù)。

(4)對數(shù)線性插值的偏差要小于線性插值偏差，且因?qū)嵱没绦虻奶岢?，?shí)際工程中建議盡量采用對數(shù)線性插值方法。