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    基于適應(yīng)度指導(dǎo)交配限制策略的重組算子與多目標(biāo)優(yōu)化研究

    2022-05-11 08:27:42汪禹宏張屹
    電子學(xué)報(bào) 2022年3期
    關(guān)鍵詞:指標(biāo)值交配支配

    汪禹宏,張屹

    1 引言

    目前,大多數(shù)多目標(biāo)進(jìn)化算法仍是直接采用為單目標(biāo)進(jìn)化算法而設(shè)計(jì)的重組算子[1]. 事實(shí)上,單目標(biāo)優(yōu)化問題存在一個或多個全局最優(yōu)解,而多目標(biāo)優(yōu)化問題則是呈現(xiàn)出良好規(guī)則流形結(jié)構(gòu)的Pareto 解集(Pareto optimal set,PS),即連續(xù)多目標(biāo)優(yōu)化問題的PS 在變量空間上呈現(xiàn)連續(xù)分段的(m-1)維流形結(jié)構(gòu). 由于單目標(biāo)優(yōu)化與多目標(biāo)優(yōu)化最優(yōu)解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)存在本質(zhì)區(qū)別,所以直接將單目標(biāo)進(jìn)化算法的重組算子應(yīng)用于多目標(biāo)進(jìn)化算法,并不能保證達(dá)到最理想的求解效果[2,3].

    有研究表明,在多目標(biāo)優(yōu)化算法中,與相似個體進(jìn)行交配可以提高新解的質(zhì)量,加速算法的收斂[4,6]. 這種做法實(shí)際上增強(qiáng)了算法的局部搜索,局部搜索機(jī)制的成功在于它隱含地利用了PS 的連通性和正則性[7].聚類算法[8]是一類將未知標(biāo)簽的數(shù)據(jù)對象集進(jìn)行分組的無監(jiān)督學(xué)習(xí)方法,它將數(shù)據(jù)樣本劃分為多個類,同一類中的個體具有較大的相似性,可以被當(dāng)作是彼此的鄰居個體,而不同類中的個體相似度較差. 因此,我們可以在優(yōu)化算法進(jìn)化的過程中利用聚類算法發(fā)掘所求解問題Pareto 解集的結(jié)構(gòu),利用此結(jié)構(gòu)信息引導(dǎo)個體重組,從而加速算法收斂.

    近年來,圍繞多目標(biāo)優(yōu)化問題特性的利用,一些基于聚類算法的交配限制策略便成為研究熱點(diǎn)[1,9]. 張虎等[10]為了平衡開采與勘探,用一個預(yù)定義的交配限制概率δ從同一類中挑選父代,并以1-δ的概率從所有解中挑選父代. 文獻(xiàn)[11]中,在利用預(yù)定義交配限制概率構(gòu)建交配池的基礎(chǔ)上加入了自適應(yīng)的更新策略,即根據(jù)兩種父代來源在過去進(jìn)化代數(shù)中的重組效用,自適應(yīng)調(diào)整該參數(shù)δ的數(shù)值. 李欣[12]提出分別以β和1-β的概率從同一類個體和整個種群中挑選交配父代,每代演化之后又根據(jù)類的整體質(zhì)量自適應(yīng)地更新該交配限制概率. 此外,還有許多基于聚類的交配限制策略[13,14]被提出. 目前此類算法大多是采用不確定性的交配限制策略,即利用概率值去確定新解進(jìn)行全局勘探或近鄰重組,這種做法缺少對個體質(zhì)量信息的關(guān)注. 在實(shí)際的演化過程中,每一個體在收斂性和多樣性上表現(xiàn)不同,質(zhì)量較好的個體需要更多的開采;而質(zhì)量較差的個體需要更多的勘探[9,12]. 可以認(rèn)為每一代所產(chǎn)生的非支配解擁有較高的質(zhì)量,而每一代所產(chǎn)生的支配解的質(zhì)量較差. 因此我們可以將種群結(jié)構(gòu)化信息與個體質(zhì)量信息相融合以提升算法性能,即引入聚類算法從全局角度發(fā)掘種群結(jié)構(gòu)化信息,設(shè)置以個體質(zhì)量信息為主導(dǎo)的交配限制策略去完成兩類信息的融合.

    基于以上分析,本文利用K-means聚類算法對種群進(jìn)行聚類,以此來優(yōu)化種群分布結(jié)構(gòu). 基于以上種群結(jié)構(gòu)化信息,設(shè)計(jì)了一種適應(yīng)度指導(dǎo)的交配限制策略(Fitness Guided Mating Restriction Strategy,F(xiàn)GMS). 該策略根據(jù)適應(yīng)度值這一確定性信息來判斷解的支配關(guān)系,對非支配解進(jìn)行近鄰重組,對支配解做全局勘探. 將其集成至改進(jìn)的Pareto強(qiáng)度進(jìn)化算法(Improving the Strength Pareto Evolu?tionary Algorithm,SPEA2)框架中,最終提出了基于Kmeans聚類適應(yīng)度指導(dǎo)交配限制策略的多目標(biāo)進(jìn)化算法KFGEA(K-means clustering-based Fitness Guided mating re?striction multi-objective Evolutionary Algorithm). 與傳統(tǒng)單目標(biāo)重組算子相比,KFGEA利用K-means聚類算法發(fā)掘種群規(guī)則特性來引導(dǎo)算法搜索,彌補(bǔ)了其只利用個體的質(zhì)量信息引導(dǎo)算法搜索的不足. 與現(xiàn)有的交配限制策略相比,本文首次提出利用確定性信息(適應(yīng)度值)去指導(dǎo)后續(xù)的交配限制,充分考慮到了對個體質(zhì)量信息的利用.

    2 基于適應(yīng)度指導(dǎo)交配限制策略的多目標(biāo)進(jìn)化算法

    2.1 KFGEA算法框架描述

    算法1 給出了KFGEA 的算法框架. 在初始化階段,首先獲得初始種群P,計(jì)算初始種群的適應(yīng)度值fiti,設(shè)置初始交配限制概率β(第1 行). 在迭代過程中,對種群P執(zhí)行K-means 聚類獲得若干子種群,其中類內(nèi)個體具有極高的相似度,而類與類之間存在較大差異(第3 行). 對于非支配解,以概率β設(shè)置同一類中的鄰居個體構(gòu)成交配池,否則以概率1-β設(shè)置全局子種群(由相互差異較大的個體構(gòu)成)作為交配池;對于支配解,設(shè)置全局子種群構(gòu)成交配池. 基于交配池Qi,利用差分進(jìn)化算子(Differential Evolution,DE)生成當(dāng)前解xi的新解yi(第5、6 行). 新解產(chǎn)生過程結(jié)束以后,執(zhí)行環(huán)境選擇過程對種群個體進(jìn)行更新(第8 行).

    2.2 K-means聚類算法

    K-means 聚類算法是應(yīng)用最為廣泛的聚類算法之一,它是一種基于劃分的聚類方法. 所謂基于劃分的聚類算法,就是根據(jù)數(shù)據(jù)對象間的相似性將數(shù)據(jù)對象集劃分到各個獨(dú)立的子集中[8]. K-means 聚類算法將數(shù)據(jù)對象間的相似性具體化為每個對象與預(yù)先選取的各聚類中心之間的距離[15]. 該算法把每個對象分配到與之距離最近的聚類中心,以此來形成一個聚類,并通過迭代去優(yōu)化平方誤差準(zhǔn)則進(jìn)而改善各聚類質(zhì)量.

    在FGMS 中,K-means 算法用來發(fā)掘種群中解的分布結(jié)構(gòu)(鄰居關(guān)系)[16]. 然后基于發(fā)掘的結(jié)構(gòu),對于種群中的每個個體,根據(jù)適應(yīng)度這一確定性信息去判斷每個解的支配關(guān)系,進(jìn)而去決定從相同類或整個種群中挑選父個體進(jìn)行交配.

    2.3 新解產(chǎn)生

    算法1中SolGen操作的作用是產(chǎn)生新解.本文將MOEA/D-DE(Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on De?composition with Differential Evolution operator)算法 中新解生成方法直接應(yīng)用于KFGEA,具體細(xì)節(jié)見算法2. 生成新解的過程由DE 算子生成初始解,然后對新生成的解應(yīng)用多項(xiàng)式變異算子進(jìn)行變異操作. 為了使新的解可行,根據(jù)變異操作前后的情況對新解進(jìn)行修復(fù).

    2.4 環(huán)境選擇

    SPEA2 的適應(yīng)度值由粗糙適應(yīng)度值和密度估計(jì)值共同構(gòu)成. 密度估算機(jī)制的引入使得SPEA2 的適應(yīng)度值得以精確地反映解的支配關(guān)系,這也使其成為了一種優(yōu)秀的確定性信息去指導(dǎo)交配池的構(gòu)建.

    因此,KFGEA 使用SPEA2 算法[17]中提出的強(qiáng)度Pareto 環(huán)境選擇方法用來對種群進(jìn)行更新. 算法3給出了其具體步驟,其要點(diǎn)如下. 將所有P中的個體復(fù)制到P',如果種群個數(shù)超過N,采用截?cái)嗖僮?;如果合并后的種群個數(shù)少于N則用P中的支配解填充P'. 截?cái)嗖僮鳎旱^程中,與其它個體具有最小距離的個體被移除,如果多個個體同時擁有最小的距離,則通過比較第二最小距離打破這個平局.

    算法4 描述了適應(yīng)度分配的步驟. 其中,一個小的適應(yīng)度fiti意味著較少的個體支配與之對應(yīng)的xi,并且xi與其它個體之間存在著較大的距離. 當(dāng)fiti<1 時,則表示rfi=0,即其與之對應(yīng)的xi是一個非支配解.

    3 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

    3.1 測試函數(shù)與性能指標(biāo)

    本文選取了GLT1~GLT6 和LZ1~LZ9,15 個目標(biāo)測試函數(shù)測試KFGEA 算法的性能. 其中,GLT 測試集有著復(fù)雜PF(Pareto Front)前沿,而LZ 測試集有著復(fù)雜PS 結(jié)構(gòu). 性能測度指標(biāo)選用反轉(zhuǎn)世代距離IGD(Inverted Generation Distance)[2]和超體積HV(Hyper?volume)[18].

    (1) 反世代距離評價指標(biāo)

    反世代距離評價指標(biāo)是一個綜合性能評價指標(biāo),它主要通過計(jì)算Pareto 面上均勻點(diǎn)到非支配解集上最小距離的平均值,來評價算法的收斂性能和分布性能[19]. 其定義如下:

    其中d(x*,P)是指點(diǎn)x*與算法獲取的個體種群P之間的最短歐氏距離,|P*|是指P*中點(diǎn)的個數(shù)[20].IGD 值越小,則代表算法的綜合性能(收斂性和多樣性)越好.

    (2) 超體積指標(biāo)

    超體積表示獲得的Pareto 解集與參考點(diǎn)所圍成的超立方體的體積,以實(shí)現(xiàn)對算法綜合性能的評價[21]. 其定義如下:

    其中r=(r1,…,rm)表示目標(biāo)空間中Pareto 最優(yōu)解的參考點(diǎn),[f(x),r],(x?P)表示參考點(diǎn)和非支配個體所構(gòu)成的超體積,VOL(·)表示Lebesgue 測度[20],文獻(xiàn)[22]指出了Lebesgue 測度的具體計(jì)算方法. HV 值越大,算法的性能越好.

    3.2 參數(shù)設(shè)置

    為了驗(yàn)證KFGEA的性能,本文選擇多目標(biāo)差分進(jìn)化算法MOEA/D-DE[18]、改進(jìn)的Pareto強(qiáng)度進(jìn)化算法(Improv?ing the Strength Pareto Evolutionary Algorithm,SPEA2)[17]、快速非支配排序遺傳算法(Nondominated Sorting Genet?ic Algorithm II,NSGA-II)[23]、自組織多目標(biāo)進(jìn)化算法(Self-Organizing Multiobjective Evolutionary Algorithm,SMEA)[10]以及基于規(guī)則模型的多目標(biāo)分布估計(jì)算法(Regularity Model-based Multiobjective Estimation of Dis?tribution Algorithm,RM-MEDA[2]作為對照算法. 所有對照算法使用原始文獻(xiàn)中的最佳參數(shù). 公共參數(shù)以及每種算法的具體參數(shù)設(shè)置如下:

    公共參數(shù)設(shè)置:種群大小N=100;最大進(jìn)化代數(shù)T=300;DE 參數(shù)F=0.5,CR=1;變異參數(shù)

    MOEA/D-DE 參數(shù)設(shè)置:近鄰規(guī)模大小NS=5;近鄰搜索概率β=0.9;最大替換數(shù)目nr=2.

    RM-MEDA 參數(shù)設(shè)置:Local PCA 聚類數(shù)目K=5;采樣擴(kuò)展率?=0.25.

    SMEA 參數(shù)設(shè)置:初始學(xué)習(xí)率τ=0.7;近鄰池近鄰數(shù)目H=5;交配限制概率β=0.9.

    KFGEA 參數(shù)設(shè)置:聚類數(shù)目K=8;交配限制概率β=0.4.

    其中SPEA2 和NSGA-II 除公共參數(shù)外不需要設(shè)置特殊參數(shù). 所有算法均在Matlab 中編程實(shí)現(xiàn).

    4 對比結(jié)果

    為了驗(yàn)證KFGEA 的性能,我們在本節(jié)分別從性能指標(biāo)值統(tǒng)計(jì)結(jié)果、搜索效率和可視化對比三個方面分析了KFGEA 和對比算法的結(jié)果. 在搜索效率和可視化對比方面,我們選擇了GLT1~GLT6 測試套件進(jìn)行代表性分析.

    4.1 性能指標(biāo)值統(tǒng)計(jì)分析

    表1、表2為MOEA/D-DE、SPEA2、NSGA-II、SMEA、RM-MEDA 以及KFGEA 算法分別獨(dú)立計(jì)算GLT 測試集和LZ 測試集30次獲得的IGD 和HV 指標(biāo)值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差. 對于5%顯著水平下Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的結(jié)果,分別標(biāo)記“+”,“-”和“=”,表示在相應(yīng)測試題上,對照算法優(yōu)于、劣于或相似于KFGEA. 上述測試問題的最優(yōu)統(tǒng)計(jì)結(jié)果被突出顯示.

    表1 顯示了IGD 指標(biāo)的分析結(jié)果,其中MOEA/DDE、SPEA2、NSGA-II、SMEA、RM-MEDA 和KFGEA 分別取得2、0、0、2、1 和10 個最佳指標(biāo)值;表2 顯示了HV指標(biāo)的分析結(jié)果,上述每個算法分別獲得2、0、1、2、2和8 個最佳指標(biāo)值. 在所有其他對照算法的30 個比較結(jié)果中,對于5%顯著水平下Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的表現(xiàn),KFGEA 算法獲得了18、24、25、22 和19 個顯著優(yōu)勢IGD 和HV 指標(biāo).

    總體來說,與對照算法相比,KFGEA 在具有復(fù)雜PF 的GLT 測試集以及具有復(fù)雜PS 的LZ 測試集上具有一定優(yōu)勢.

    4.2 搜索效率分析

    為了分析KFGEA算法的搜索效率,圖1給出了所有算法對GLT 測試題進(jìn)行30次獨(dú)立運(yùn)算后的最優(yōu)IGD 指標(biāo)值的演化曲線. 從圖1中可以看出,對于GLT2、GLT3、GLT4、GLT5、GLT6,KFGEA均能夠以最快的速度獲得最小的IGD 指標(biāo)值;對于GLT1,KFGEA 雖然未表現(xiàn)出最快的收斂速度,但是最終會獲得最小的IGD 指標(biāo)值. 圖中對比結(jié)果顯示,對于GLT 系列問題KFGEA 算法總體上具有不俗的收斂速度和最高的搜索效率.

    4.3 可視化對比分析

    為了進(jìn)一步求證KFGEA 的性能,圖2 繪制了當(dāng)MOEA/D-DE、SMEA、RM-MEDA 和KFGEA 求解GLT3和GLT5時獲得的平均IGD 值的代表性帕累托前沿. 圖2 顯示對于GLT3 測試問題,相較于對照算法KFGEA 表現(xiàn)出了優(yōu)異的收斂性與多樣性. 對于GLT5 測試問題,MOEA/D-DE 雖然收斂到了該問題真實(shí)的帕累托前沿,但其多樣性較差;SMEA 沒有很好地貼合真實(shí)的帕累托前沿;RM-MEDA 和KFGEA 在該問題上有著不錯的表現(xiàn),但顯然是KFGEA具有更出色的收斂性和一致性.

    秦虹路現(xiàn)狀東西向下穿寧蕪鐵路,涵洞車道規(guī)模(雙向兩車道)與限高(僅3m)均收到較大制約,極易造成擁堵。優(yōu)化后,將鐵路走廊改造為城市支路和綠道,同時對該節(jié)點(diǎn)豎向進(jìn)行優(yōu)化,消除凈空不足的安全隱患,也與周邊地塊豎向?qū)崿F(xiàn)良好銜接。同時對新平面交叉口進(jìn)行渠化設(shè)計(jì),合理分配機(jī)動車與慢行空間路權(quán)。

    表1 MOEA/D?DE、SPEA2、NSGA?II、SMEA、RM?MEDA和KFGEA求解GLT和LZ測試集30次的IGD的平均值(標(biāo)準(zhǔn)差)

    表2 MOEA/D?DE、SPEA2、NSGA?II、SMEA、RM?MEDA和KFGEA求解GLT和LZ測試集30次的HV的平均值(標(biāo)準(zhǔn)差)

    綜上所述,通過性能指標(biāo)值的統(tǒng)計(jì)比較、收斂速度和可視化比較,可以得出結(jié)論:相較于MOEA/D-DE、SPEA2、NSGA-II、SMEA 和RM-MEDA,KFGEA 對于PS或PF 形狀復(fù)雜的MOPs具有最佳的解性能.

    圖1 MOEA/D-DE,SPEA2,NSGA-II,SMEA,RM-MEDA和KFGEA求解GLT測試集30次獲得最優(yōu)IGD 指標(biāo)值得變化曲線

    圖2 MOEA/D-DE,SMEA,RM-MEDA和KFGEA 獲得的代表性分布前沿(Approximation Fronts,AF)

    5 算法控制參數(shù)靈敏度分析

    在KFGEA 算法性能參數(shù)靈敏度的分析中,選用GLT 測試集對每個具有不同參數(shù)的KFGEA 算法進(jìn)行20 次運(yùn)算,并分析性能指標(biāo)值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.

    由圖3 可見,在β值均為0.4;不同聚類數(shù)目的條件下,KFGEA 的IGD 指標(biāo)值在GLT3、GLT4 和GLT6 測試問題中產(chǎn)生了輕微波動,對于其余測試問題聚類數(shù)目對算法的性能指標(biāo)影響很小. 這表明聚類數(shù)目對算法整體性能的影響不大.

    從圖4 中可以看出,在聚類數(shù)目K=8;不同β值的條件下,除了在GLT6 和GLT3 測試問題中IGD 值出現(xiàn)了一些浮動,其余測試問題中KFGEA 性能指標(biāo)的波動很小. 這表明交配限制概率β值對算法整體性能的影響不大.

    綜上所述,KFGEA 對控制參數(shù)值不是特別敏感,該算法具有良好的魯棒性.

    圖3 KFGEA 算法在不同K值下GLT 系列套件獨(dú)立運(yùn)行20 次的IGD指標(biāo)值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差

    圖4 KFGEA 算法在不同β值下GLT 系列套件獨(dú)立運(yùn)行20 次的IGD指標(biāo)值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差

    6 結(jié)束語

    本文選擇了帶有復(fù)雜PF 結(jié)構(gòu)的GLT 測試集和具有復(fù)雜PF 結(jié)構(gòu)的LZ 測試集作為求解問題;選取五種經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化算法與KFGEA 算法進(jìn)行對比測試. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明KFGEA 算法在IGD 和HV 指標(biāo)、搜索效率和可視化對比三個方面均具有明顯的優(yōu)勢. 這說明Kmeans 聚類算法的引進(jìn)可以充分利用多目標(biāo)優(yōu)化問題的規(guī)則特性,進(jìn)而去提高進(jìn)化算法的性能;FGMS 能提高搜索效率,利用適應(yīng)度這一確定性信息去維持算法收斂性與多樣性的平衡. 后續(xù)工作將圍繞KFGEA 算法的實(shí)際應(yīng)用而展開.

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