短時(shí)間序列的復(fù)雜程度分析方法研究*

陳強(qiáng)強(qiáng) 成建波 張 剛 張 婕

（1.海軍研究院 上海 200436）（2.海軍航空大學(xué) 煙臺 264000）

1 引言

隨著航空工業(yè)的飛速發(fā)展，航空裝備的地位作用及使用效率都得到了極大的提升。同時(shí)，隨著航空科技的不斷進(jìn)步，航空裝備的復(fù)雜性及綜合性也越來越高，保證航空裝備具有良好的工作狀態(tài)也顯得尤為重要，這對航空裝備的可靠性提出了更高的要求。航空發(fā)動機(jī)健康狀態(tài)監(jiān)視技術(shù)是航空裝備視情維修的前提及基礎(chǔ)，同時(shí)也是提高航空發(fā)動機(jī)使用效率并保證航空發(fā)動機(jī)發(fā)揮其穩(wěn)定效能的重要保障。

針對航空發(fā)動機(jī)氣路參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確有效的分析，是實(shí)現(xiàn)航空發(fā)動機(jī)健康狀態(tài)監(jiān)視的重要步驟及方法。文獻(xiàn)[1]通過對渦槳發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動信號進(jìn)行時(shí)域特征、能量特征分析，完成了渦槳發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子的故障診斷；文獻(xiàn)[2]以民航發(fā)動機(jī)排氣溫度裕度作為研究參數(shù)，通過對排氣溫度裕度序列進(jìn)行分析，從而判斷水洗對拆發(fā)間隔的影響。文獻(xiàn)[3]通過對飛參系統(tǒng)記錄的發(fā)動機(jī)狀態(tài)參數(shù)時(shí)間序列進(jìn)行分析，得到反映發(fā)動機(jī)狀態(tài)參數(shù)的特征信息。對發(fā)動機(jī)氣路參數(shù)時(shí)間序列進(jìn)行分析，能夠?yàn)榘l(fā)動機(jī)狀態(tài)監(jiān)測提供決策依據(jù)[4]。

在對時(shí)間序列進(jìn)行復(fù)雜程度分析方面，排列熵算法具有計(jì)算簡單、效率高、抗噪聲能力強(qiáng)、適合在線監(jiān)測等優(yōu)點(diǎn)，在時(shí)間序列分析、故障特征提取、故障診斷等方面具有重要應(yīng)用[5]。文獻(xiàn)[6]采用排列熵方法對轉(zhuǎn)子振動信號進(jìn)行檢測并實(shí)現(xiàn)特征提取、故障診斷；文獻(xiàn)[7]對航空器陀螺儀序列進(jìn)行排列熵算法檢測，提取其故障特征并實(shí)現(xiàn)故障診斷。文獻(xiàn)[8]對液壓泵參數(shù)信號進(jìn)行排列熵分析，驗(yàn)證了其有效性。排列熵算法在機(jī)械系統(tǒng)時(shí)間序列分析中，取得了重要應(yīng)用。但在解算過程中，受限于排列熵算法的特征，所采集的時(shí)間序列長度均設(shè)置在較長的合理范圍內(nèi)。然而航空發(fā)動機(jī)氣路參數(shù)具有獲取較為困難、數(shù)據(jù)量較少、樣本長度有限等局限性，所采集到的數(shù)據(jù)往往具有序列長度短的特征[9]。為了彌補(bǔ)排列熵算法在短時(shí)間序列復(fù)雜程度計(jì)算方面的不足，本文通過引入插值思想，實(shí)現(xiàn)了對原始數(shù)據(jù)的延拓，并將原始序列重構(gòu)至排列熵計(jì)算的合理范圍。通過對排氣溫度裕度（Delta Exhaust Gas Temperature，DEGT）時(shí)間序列及隨機(jī)序列進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，結(jié)果表明所提出的基于插值重構(gòu)的排列熵算法可以有效地表達(dá)短時(shí)間序列的復(fù)雜程度，是一種有效的復(fù)雜性分析方法。

2 基于排列熵的復(fù)雜性分析

排列熵算法通過衡量時(shí)間序列內(nèi)部排序過程，從而實(shí)現(xiàn)對時(shí)間序列復(fù)雜程度的衡量，排列熵算法的基本原理如下。

1）首先，針對長度為N的原始時(shí)間序列{x(i)，i=1，2，...，N} ，對x(i)進(jìn)行相空間重構(gòu)分析，得到矩陣如下[10]：

式中，m為嵌入維數(shù)，τ為延遲時(shí)間，k=N-(m-1)τ為重構(gòu)向量的個數(shù)。

2）將Xj中的數(shù)據(jù)元素按照升序的方式進(jìn)行排列，得：

式中，j1，j2，…jm為各元素在排序之前位于相空間所在列的索引。

3）如果Xj中存在兩元素相等，則按原始順序進(jìn)行排列。通過對相空間重構(gòu)后的時(shí)間序列分析，對于任意一個Xj，均能得到相應(yīng)的符號序列Sl={j1，j2，…，jm} ，其中，l=1，2，...，k，且k≤m!?？啥x排列熵的計(jì)算公式為[11]

式中，Pj為符號序列的概率，且。

此時(shí)，Hp的取值為[0，?1]，可反映出時(shí)間序列的復(fù)雜程度。Hp越大，則序列復(fù)雜程度越高。

排列熵作為衡量時(shí)間序列內(nèi)部復(fù)雜度的算法，計(jì)算過程簡單方便，能夠有效地分析非線性、非平穩(wěn)信號，適用于發(fā)動機(jī)氣路參數(shù)數(shù)據(jù)。在排列熵的計(jì)算過程中主要包括3個參數(shù)：時(shí)間序列長度N、嵌入維數(shù)m、延遲時(shí)間τ。排列熵算法的提出者Bandt建議選擇嵌入維數(shù)m為3～7，一般隨著時(shí)間序列長度增加進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整[12]。因?yàn)槿绻度刖S數(shù)m過小，相空間重構(gòu)的向量中包含狀態(tài)太少，算法失去意義和有效性；而嵌入維數(shù)m過大，則相空間重構(gòu)步驟會均勻化時(shí)間序列，無法反映序列的微小變化。延遲時(shí)間τ對時(shí)間序列的計(jì)算影響較小，一般選擇τ=1。文獻(xiàn)[13]以隨機(jī)信號為例對排列熵計(jì)算過程中時(shí)間序列長度的影響進(jìn)行了分析，證明了時(shí)間序列長度在1024或2048左右較為合適，此時(shí)可對應(yīng)的選擇嵌入維數(shù)m=6，延遲時(shí)間τ=1。通過文獻(xiàn)中對排列熵的分析可知，如果時(shí)間序列長度過短，則嵌入維數(shù)的取值應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)的減小，而過小的嵌入維數(shù)又會導(dǎo)致排列熵算法失去其有效性，從而影響復(fù)雜度的衡量[14]。因此，有必要對短時(shí)間序列進(jìn)行進(jìn)一步處理，使其適用于排列熵算法。

3 三次樣條插值

為了對采集到的原始DEGT短序列進(jìn)行處理，使其時(shí)間序列長度適用于排列熵的解算，借鑒經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）算法中構(gòu)造上下包絡(luò)曲線的原理[15]，引入三次樣條插值（Cubic Splines Interpolation）思想[16]對原始短時(shí)間序列進(jìn)行重構(gòu)。三次樣條插值方法得到的曲線具有良好的平滑性，逼近效果好，能夠很好地實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的插值。

在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的過程中，三次樣條插值的運(yùn)用主要是為了求取原始時(shí)間序列的固有模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）。其中心思想為對原始時(shí)間序列x(i)進(jìn)行分析，分別求取其極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，然后對確定的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，采用三次樣條曲線進(jìn)行擬合，得到時(shí)間序列x(i)的上包絡(luò)線U(i)及下包絡(luò)線L(i)，并求取U(i)與L(i)的均值，得到中值包絡(luò)線M(i)；以此類推，得到相應(yīng)的固有模態(tài)函數(shù)，從而完成對整個時(shí)間序列的分解。

借鑒經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解過程中對三次樣條插值的應(yīng)用，本文提出的短時(shí)間序列復(fù)雜程度分析方法，通過對原始短時(shí)間序列進(jìn)行三次樣條插值，從而得到符合排列熵解算過程所需要長度的新時(shí)間序列。

三次樣條插值法是一種特殊多項(xiàng)式進(jìn)行插值的方法，可以減小低階多項(xiàng)式的插值誤差[17]。線性數(shù)學(xué)分析中常用的線性插值（Linear）在估計(jì)兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的數(shù)值時(shí)較為常用也較為簡單，但線性插值在使用過程中，對數(shù)值的模擬較為粗糙，在曲線之間的連接處不夠平滑。相比之下，三次樣條插值使用一條平滑曲線對各數(shù)值點(diǎn)進(jìn)行模擬，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，其結(jié)果比線性插值更接近工程實(shí)際情況，所得結(jié)果也更具有優(yōu)勢。

對樣條的定義是用來表述光滑曲線的一種方法，在數(shù)學(xué)模型中，為了實(shí)現(xiàn)光滑的閉合曲線，通常需要在樣點(diǎn)上固定樣條。非樣點(diǎn)區(qū)域可以任意彎曲，這樣連接樣點(diǎn)的曲線被定義為樣條曲線[18]。

三次樣條插值的數(shù)學(xué)定義為

假設(shè)對y=f(x)在區(qū)間[a，b]上給定一組節(jié)點(diǎn)a=x0＜x1＜x2…＜xn=b，并且給出相應(yīng)的函數(shù)值y0，y1，y2…yn，如果s(x)具有以下特征：

1）每個子區(qū)間[xi-1，xi]，其中i=1，2，3，…，n上s(x)是不高于三次的多項(xiàng)式；

2）其中s(x)，s′(x) ，s″(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，s(x)為三次樣條函數(shù)；

3）s(xi)=yi，其中其中i=1，2，3，…，n，s(x)是s(x)=y的三次插值函數(shù)。

4 短時(shí)間序列插值重構(gòu)

基于三次樣條插值理論，針對長度為N的原始時(shí)間序列{x(i)，i=1，2，...，N} ，原始時(shí)間序列的數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔可默認(rèn)為1，即每隔1個橫坐標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)，存在與其對應(yīng)的1個縱坐標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)。構(gòu)造短時(shí)間序列插值重構(gòu)算法模型如下。

1）設(shè)原始時(shí)間序列{x(i)，i=1，2，...，N} ，原始時(shí)間序列可以看做x(i)與i之間的函數(shù)，每個x(i)對應(yīng)的坐標(biāo)位置分別為i=1，2，3，…，n，為了直觀展示橫坐標(biāo)i與縱坐標(biāo)x(i)之間的關(guān)系，也可表述為i=1，1+1，2*1+1，…，(n-1)*1+1；

2）參考小波分析（Wavelet Transform，WT）中的尺度因子變化方法，引入重構(gòu)維數(shù)k，在保證每個縱坐標(biāo)x(i)數(shù)值不變的前提下，對原始數(shù)據(jù)序列的橫坐標(biāo)位置進(jìn)行重構(gòu)，得到重構(gòu)后的橫坐標(biāo)位置對應(yīng)為i′=1，k+1，2k+1，…，(n-1)k+1，此時(shí)構(gòu)建得到x(i)與i′之間的函數(shù)，即為重構(gòu)時(shí)間序列；

3）以原始時(shí)間序列x(i)的值為縱坐標(biāo)，以重構(gòu)后的坐標(biāo)位置i′為橫坐標(biāo)，補(bǔ)全后的時(shí)間序列間隔仍為1，進(jìn)行三次樣條插值，最終得到重構(gòu)后的時(shí)間序列x′(i)長度為(n-1)k+1。

針對x(i) 與x′(i)進(jìn)行分析，本文提出的基于三次樣條插值方法的時(shí)間序列重構(gòu)模型遵循原始時(shí)間序列結(jié)構(gòu)，通過改變時(shí)間序列對應(yīng)的坐標(biāo)，對時(shí)間序列進(jìn)行延拓，提取出原始時(shí)間序列的內(nèi)部信息，并按照原有的時(shí)間間隔重新分布索引位置。該時(shí)間序列重構(gòu)方法未改變原始數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，遵循了原始時(shí)間序列規(guī)律。

基于此，確定短時(shí)間序列的復(fù)雜程度分析方法如下：

1）針對原始短時(shí)間序列，確定其數(shù)據(jù)長度及需要重構(gòu)的維數(shù)；

2）對原始序列進(jìn)行重構(gòu)，將其程度延拓至排列熵解算所需要的合理長度；

3）計(jì)算排列熵值，完成對重構(gòu)后的時(shí)間序列復(fù)雜程度分析。

為了驗(yàn)證本文所提出的基于三次樣條插值重構(gòu)方法的合理性，利用正弦信號進(jìn)行分析實(shí)驗(yàn)，在[0 ，6]區(qū)間內(nèi)（約為[0 ，2π]區(qū)間，即一個周期，實(shí)驗(yàn)中2π的值不為整數(shù)，為了對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行直觀展示，取整選擇[0 ，6]區(qū)間），以步長x等于0.1，構(gòu)建正弦信號y=sinx。此時(shí)y與x之間的映射為y=f(x)，即每一個以0.1為橫坐標(biāo)間隔的點(diǎn)，對應(yīng)一個縱坐標(biāo)的值。

以重構(gòu)維數(shù)取4為例，原始時(shí)間序列長度為（61-1）*1+1=61，則重構(gòu)后的時(shí)間序列長度為（61-1）*4+1=241。

針對原始時(shí)間序列y=f(x)，其橫坐標(biāo)x分別對應(yīng)為0，0.1，0.2…，64，重構(gòu)后的橫坐標(biāo)x′分別對應(yīng)為0，0.4，0.8，…，241；保持縱坐標(biāo)的取值不變，得到映射y′=g(x′)。

保證時(shí)間序列的間隔與原始時(shí)間序列間隔相等，即為0.1，對y′=g(x′)進(jìn)行三次樣條插值并補(bǔ)全時(shí)間序列。得到時(shí)間序列間隔為0.1的y′=g(x′)。

原始時(shí)間序列y=f(x)=sinx與重構(gòu)后時(shí)間序列y′=g(x′)之間的對比如圖1所示。

圖1 原始時(shí)間序列與重構(gòu)后時(shí)間序列

如圖1所示，通過原始時(shí)間序列y=f(x)與重構(gòu)后的時(shí)間序列y′=g(x′)之間的對比可知，本文所提出的基于三次樣條插值的時(shí)間序列重構(gòu)算法僅通過插值重構(gòu)增加了時(shí)間序列長度，將原始時(shí)間序列的長度從61變?yōu)?41，沒有改變原始時(shí)間序列的表現(xiàn)形式，仍然保持原始時(shí)間序列的內(nèi)部規(guī)律。

驗(yàn)證1：相關(guān)性驗(yàn)證。為了從數(shù)值形式上直觀表示原始時(shí)間序列與重構(gòu)后時(shí)間序列的關(guān)系，在[0 ， 24]區(qū)間內(nèi)，以步長0.1對橫坐標(biāo)進(jìn)行取值，構(gòu)建正弦信號，并與重構(gòu)后的時(shí)間序列進(jìn)行對比。采用互相關(guān)系數(shù)ρy′y″表示重構(gòu)后時(shí)間序列y′與在[0 ， 24]區(qū)間內(nèi)的正弦信號y″之間的相關(guān)性；ρx3t的取值越接近于1，則表示兩種信號之間的相關(guān)性越強(qiáng)[19]。

計(jì)算得到在[0 ，24]區(qū)間內(nèi)的正弦信號y″與重構(gòu)后時(shí)間序列y′之間的互相關(guān)系數(shù)為0.9956，表明兩者呈現(xiàn)強(qiáng)烈的相關(guān)性，重構(gòu)后的時(shí)間序列未改變原始時(shí)間序列的物理特性，仍然遵循了原始時(shí)間序列的內(nèi)部規(guī)律。

驗(yàn)證2：誤差驗(yàn)證。為了驗(yàn)證重構(gòu)后時(shí)間序列y′與 [0 ，24]區(qū)間內(nèi)的正弦信號y″之間的誤差，采用均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）為指標(biāo)對重構(gòu)時(shí)間序列的誤差進(jìn)行衡量[20]。RMSE的表達(dá)式為

根據(jù)式（6），計(jì)算得到正弦信號y″與重構(gòu)后時(shí)間序列y′之間的RMSE為0.0680。表明三次樣條插值具有很好的擬合效果。

5 實(shí)驗(yàn)分析

以國航某發(fā)動機(jī)的巡航數(shù)據(jù)DEGT觀測值為實(shí)驗(yàn)樣本，采樣間隔約為15個飛行循環(huán)，可近似為等間隔采樣。從該型發(fā)動機(jī)第1個飛行循環(huán)到第12501個飛行循環(huán)，共計(jì)101個數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)。原始DEGT數(shù)據(jù)序列如圖2所示。

圖2 原始DEGT時(shí)間序列

如圖2所示，原始時(shí)間序列長度為101，當(dāng)時(shí)間序列長度過短時(shí)，由于嵌入維數(shù)的選擇問題，排列熵算法失去了其對時(shí)間序列復(fù)雜程度衡量的意義，無法準(zhǔn)確衡量時(shí)間序列的復(fù)雜度。根據(jù)文獻(xiàn)[13]中對排列熵算法的分析，選取數(shù)據(jù)長度約為1024較為理想，此時(shí)選擇嵌入維數(shù)m=6，延遲時(shí)間τ=1。根據(jù)本文提出的短時(shí)間序列插值重構(gòu)算法對其進(jìn)行重構(gòu)，確定重構(gòu)維數(shù)k=10，則重構(gòu)后的時(shí)間序列長度為(101-1)*10+1=1001。原始序列與重構(gòu)后序列的對比如圖3所示。

圖3 原始序列與重構(gòu)后序列

如圖3所示，通過重構(gòu)前后的時(shí)間序列對比可知，本文所提出的基于三次樣條插值的時(shí)間序列重構(gòu)算法僅通過插值重構(gòu)增加了時(shí)間序列長度，沒有改變原始時(shí)間序列的內(nèi)部規(guī)律。對重構(gòu)后的序列進(jìn)行排列熵解算，得到其熵值為0.2964。

為驗(yàn)證本文所提出的短時(shí)間序列插值重構(gòu)方法的合理性，在延遲時(shí)間τ=1時(shí)，驗(yàn)證在不同嵌入維數(shù)下，原始時(shí)間序列和重構(gòu)后時(shí)間序列的排列熵變化情況。由于原始DEGT序列長度過短，因此在計(jì)算時(shí)嵌入維數(shù)的選擇不宜過大，排列熵計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 DEGT序列排列熵計(jì)算結(jié)果

根據(jù)排列熵的定義可知，排列熵的求解取值范圍為[0，?1]，數(shù)值越小，表明時(shí)間序列復(fù)雜性越低。如表1所示，隨著嵌入維數(shù)的變化，短時(shí)間序列的排列熵變化范圍過小，無法準(zhǔn)確反映排列熵結(jié)果隨嵌入維數(shù)的變化過程，不能準(zhǔn)確衡量時(shí)間序列的復(fù)雜程度。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證插值重構(gòu)算法在排列熵計(jì)算過程中的有效性，選取長度為101的隨機(jī)白噪聲序列，并與重構(gòu)后的時(shí)間序列進(jìn)行對比驗(yàn)證，所得結(jié)果如表2所示。

表2 隨機(jī)序列排列熵計(jì)算結(jié)果

如表2所示，直接對短時(shí)間序列進(jìn)行排列熵求解，仍然無法準(zhǔn)確反映排列熵結(jié)果隨嵌入維數(shù)的變化過程，同時(shí)，對比表1及表2，也驗(yàn)證了在排列熵求解過程中，嵌入維數(shù)的取值不宜過?。ㄈ缜度刖S數(shù)m=2時(shí)，均無法有效衡量時(shí)間序列復(fù)雜程度），否則相空間重構(gòu)的向量中包含狀態(tài)太少，算法失去意義和有效性。

6 結(jié)語

排列熵算法能夠準(zhǔn)確有效地衡量時(shí)間序列復(fù)雜程度，但在工程應(yīng)用中，受限于數(shù)據(jù)樣本獲取困難的不足，時(shí)間序列呈現(xiàn)長度較短的特征。本文通過對排列熵原理進(jìn)行分析，針對短時(shí)間序列無法準(zhǔn)確使用排列熵衡量其時(shí)間序列復(fù)雜程度的問題，提出了采用基于三次樣條插值的時(shí)間序列重構(gòu)方法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓。以隨機(jī)序列及采集到的航空發(fā)動機(jī)氣路參數(shù)序列為實(shí)驗(yàn)對象，對插值重構(gòu)方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

1）基于三次樣條插值的短時(shí)間序列重構(gòu)模型，能夠?qū)⒍虝r(shí)間序列延拓至合理長度，為排列熵求解過程奠定基礎(chǔ)，有效解決了短時(shí)間序列復(fù)雜程度無法準(zhǔn)確衡量的問題；同時(shí)，時(shí)間序列長度的確定，也避免了排列熵求解中的參數(shù)選擇問題；

2）采用插值重構(gòu)算法，未改變原始時(shí)間序列結(jié)構(gòu)，遵循了原始序列規(guī)律；

3）針對不同序列，均可采用插值重構(gòu)算法進(jìn)行延拓，在工程中具有一定的普適性。