《九章算法比類大全》淵源初探*

張久春

(中國(guó)科學(xué)院 科技政策與管理科學(xué)研究所，北京 100190)

0 引言

吳敬的《九章算法比類大全》(以下簡(jiǎn)稱《大全》)刊刻于1450年［1］，是明代現(xiàn)存以“九章”命名的最早、最完整的一部算書。全書共分11卷:卷首是“乘除開(kāi)方起例”;卷10是“各色開(kāi)方”;卷1至卷9按“九章”順序排列，每卷包括“古問(wèn)”前的內(nèi)容、古問(wèn)、比類題和詩(shī)歌題四部分。清初著名數(shù)學(xué)家梅文鼎(1633—1721)在《勿庵歷算全書》中認(rèn)為《大全》“在《統(tǒng)宗》之前，《統(tǒng)宗》不能及也”。分析該書與前代算書的關(guān)系，有助于認(rèn)識(shí)中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在明代的傳播以及該書的歷史地位。

筆者曾在前人研究的基礎(chǔ)上討論和分析過(guò)《大全》與《九章算術(shù)》的關(guān)系［2］，認(rèn)為吳敬以《詳解九章算法》(以下簡(jiǎn)稱《詳解》)為藍(lán)本，編寫了《大全》，但他沒(méi)能在《詳解》的基礎(chǔ)上取得新的研究成果，而且在《大全》中只保留了《詳解》中屬于原本《九章算術(shù)》的237道題以及賈憲所加的13道題，一部分賈憲加的圖和楊輝加的詳解;其余的內(nèi)容，如劉徽和李淳風(fēng)的注，賈憲的增乘開(kāi)方法等重要的研究成果，沒(méi)能夠在書中得以存留。

關(guān)于《大全》與《九章算術(shù)》外算書的關(guān)系，也有學(xué)者做了簡(jiǎn)單的分析。20世紀(jì)50年代中期，日本學(xué)者武田楠雄在他的幾篇文章中很簡(jiǎn)略地介紹了該書［3—10］，并把書中的算題與楊輝的《田畝比類乘除捷法》(1275)、朱世杰的《算學(xué)啟蒙》(1299)等書中的算題進(jìn)行了簡(jiǎn)單對(duì)比。1964年，錢寶琮在《中國(guó)數(shù)學(xué)史》中指出，吳敬把《海島算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》中的一些題收錄到“古問(wèn)”中［11］。

《大全》之前的中國(guó)算書還有很多，武田楠雄只把《大全》與其中幾部算書的內(nèi)容做了簡(jiǎn)單的比較，分析不夠全面和深入。錢寶琮關(guān)于這方面內(nèi)容的介紹太過(guò)簡(jiǎn)略，也不夠全面和系統(tǒng)。除了這兩位學(xué)者所分析的《大全》內(nèi)容外，《大全》中還有很多內(nèi)容的淵源沒(méi)有理清。本文將在前人研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)把《大全》與《九章算術(shù)》外其他算書的內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)的比較，來(lái)進(jìn)一步探討《大全》的資料來(lái)源，分析《大全》與《九章算術(shù)》外的其他算書的淵源關(guān)系。

中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在漢唐和宋元之際分別發(fā)展到了新的高峰，漢唐以劉徽、李淳風(fēng)等所注《九章算術(shù)》中取得的成就為代表，宋元?jiǎng)t出現(xiàn)了高次方程的數(shù)值解法、大衍總數(shù)術(shù)、天元術(shù)、四元術(shù)、高階等差級(jí)數(shù)求和等領(lǐng)先世界的成就。元代數(shù)學(xué)家朱世杰的《四元玉鑒》(1303)問(wèn)世之后至吳敬的算書(1450)刊刻前，中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)未有高水平的著作問(wèn)世。據(jù)此，本文將分成如下三個(gè)時(shí)期來(lái)分析《大全》與《九章算術(shù)》外的其他算書的淵源關(guān)系:漢唐時(shí)期(960年之前)，宋至元早期(961—1303)，元早期至明初(1304—1450)。

1 與漢唐算書的關(guān)系

宋代建立之前現(xiàn)存的《大全》與之可能有淵源關(guān)系的《九章算術(shù)》外的算書有:劉徽的《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、甄鸞的《五曹算經(jīng)》、唐代王孝通的《緝古算經(jīng)》，以及《謝察微算經(jīng)》(疑為五代時(shí)期的著作)。

《海島算經(jīng)》(1卷)是一部使用重差術(shù)來(lái)測(cè)量物體的高、深、廣和遠(yuǎn)的算書，現(xiàn)傳共有9道題?！洞笕饭垂删肀阮愵}中有該書的第1、2、4、6和9題，二者解法也相同。

《孫子算經(jīng)》(400)卷上主要介紹算籌記數(shù)的縱橫相間制和乘除法則等內(nèi)容，卷中介紹開(kāi)平方法和分?jǐn)?shù)計(jì)算方法等內(nèi)容，卷下介紹了一些應(yīng)用問(wèn)題和幾個(gè)比較難的算題。其中最著名的是有關(guān)一次同余方程組的“物不知數(shù)”題［12］。其他的如“雞兔同籠”和“孕推男女”等流傳很廣，只是題中數(shù)據(jù)常有變化。

《大全》卷首“先賢格言”中的“心靈者蒙童易曉，意閉者皓首難聞”可能由《孫子算經(jīng)》序中的“心開(kāi)者幼沖而即悟，意閉著皓首而難精”演變而來(lái)?！洞笕贩教锞肀阮惖?3題“桑生中央”見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》，但二者解法不同。吳敬用“倍隅至桑，自乘”來(lái)計(jì)算方田的面積，這樣計(jì)算的結(jié)果是方田面積的二倍，方法錯(cuò)誤?！秾O子算經(jīng)》用“方五斜七”計(jì)算方田的邊長(zhǎng)，然后用邊長(zhǎng)自乘計(jì)算其面積，“方五斜七”是近似值，但方法正確?！洞笕匪シ志肀阮惖?6題“河上蕩杯”、第80題“物不知數(shù)”和詩(shī)詞第42題“渠里有魚”見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》中，二者解法相同，只是“渠里有魚”題在《孫子算經(jīng)》里不是詩(shī)詞題?！洞笕返孽ㄓ幸惶幨恰耙怀吡缍帧保瑏?lái)自《詳解九章算法》，其余為“二尺五寸”，而《孫子算經(jīng)》中采用了斛法“一尺六寸二分”。

《張丘建算經(jīng)》(431—450)繼承了《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，也有一些創(chuàng)見(jiàn)，如有關(guān)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)、等差級(jí)數(shù)、開(kāi)帶縱平方和不定方程的算題［13］。

在《大全》卷首“乘除開(kāi)方起例”中，吳敬提到了《張丘建算經(jīng)》，并記載了其序中的一段有關(guān)通分的術(shù)文?！洞笕肪硎字械摹俺朔帧惫灿?道例題，前3題能在《張丘建算經(jīng)》中找到，但比《張丘建算經(jīng)》多出了每題“法曰”下的關(guān)于分?jǐn)?shù)乘法的小字注文;“除分”的情況和“乘分”完全相同?！洞笕返乃シ直阮悺⒐垂杀阮?、均輸比類和粟米詩(shī)詞題分別收錄了《張丘建算經(jīng)》中的“河上蕩杯”、“葭生中央”、“遲疾行者”和“百雞術(shù)”題，其中的“百雞術(shù)”題即為關(guān)于不定方程的算題，兩者解法也相同。兩書的“三經(jīng)入爐”題的數(shù)據(jù)不同、題意相同。

《五曹算經(jīng)》是為地方行政職員編寫的應(yīng)用算術(shù)書，分為田曹、兵曹、集曹、倉(cāng)曹和金曹五卷［14］。田曹記載了直田、方田、圭田、腰鼓田、鼓田、弧田、蛇田、墻田、蕭田、丘田、萁田、四不等田、覆月田、牛角田、園田和環(huán)田等16種類型的田，其類型比《大全》方田卷記載的少33種。《五曹算經(jīng)》的四不等田、鼓田、腰鼓田和蛇田的計(jì)算方法不準(zhǔn)確，而《大全》也采用了同樣的算法①吳敬還采用了分段的方法計(jì)算四不等田的面積。，《大全》方田比類的“桑生中央”、“丘田”和“田中有圓池”題亦見(jiàn)于《五曹算經(jīng)》中。但《大全》中“桑生中央”題的解法和《五曹算經(jīng)》不同，而和《孫子算經(jīng)》相同。

《輯古算經(jīng)》(1卷)共20道題，第1題為計(jì)算夜半時(shí)月所在赤道經(jīng)度的算題;第2至第6題和第8題為土木工程中的體積計(jì)算題;第7題和第9至14題是有關(guān)倉(cāng)房和地窖的計(jì)算題;第15至20題是勾股問(wèn)題［15］。在《大全》商功卷比類中能找到其第4題，二者解法也相同。

《謝察微算經(jīng)》共3卷，今存不足1卷。其內(nèi)容為大數(shù)、小數(shù)進(jìn)位法，度量衡制度，九章名義及用字例義，共一百五十三條［16，17］。謝察微在“九章名義”中稱“九章”的“粟米”為“粟布”。書中有1道關(guān)于等比數(shù)列的題被收錄在《續(xù)古摘奇算法》中，《大全》衰分卷詩(shī)詞第56題的題意、數(shù)據(jù)和解法與之相同。

2 與宋元早期算書(960—1303)的關(guān)系

這個(gè)時(shí)期現(xiàn)存的《大全》與之可能有淵源關(guān)系的《九章算術(shù)》外的算書有:劉益的《議古根源》、《楊輝算法》(包括《乘除通變本末》(3卷)、《田畝比類乘除捷法》(2卷)和《續(xù)古摘奇算法》(2卷))、《透簾細(xì)草》、朱世杰的《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。

《議古根源》雖然已佚①楊輝在《算法通變本末》中說(shuō):“劉益以勾股之術(shù)，治演段鎖方，撰《議古根源》二百問(wèn)，帶益隅開(kāi)方，實(shí)貫前古?！保珬钶x在《田畝比類乘除捷法》中摘錄了其中的數(shù)個(gè)問(wèn)題，并給出了“詳注圖草”，在《大全》的方田和少?gòu)V卷比類題中能找到其中的12道題，而且二者解法完全相同。楊輝在書中把《議古根源》“錢田題”的“隅算”稱為“正隅”，而吳敬仍稱“隅算”。此外，《大全》詩(shī)詞題多次提到了“演段”一詞。這說(shuō)明，它和《議古根源》有一定的關(guān)系。

《楊輝算法》包括《乘除通變本末》(3卷)、《田畝比類乘除捷法》(2卷)和《續(xù)古摘奇算法》(2卷)?！冻顺ㄗ儽灸肥且徊繂⒚伤阈g(shù)書，主要介紹了乘除加減的簡(jiǎn)化算法。楊輝在書中寫道:“諸家算書用度不出乘除開(kāi)方三法，起例不出‘如’、‘十’二字?！?［18］，1048頁(yè))這種思想體現(xiàn)在《大全》卷首的名稱“乘除開(kāi)方起例”中。同時(shí)楊輝強(qiáng)調(diào)了開(kāi)方的重要性:“開(kāi)方乃算法中大節(jié)目，勾股、旁要、演段、鎖積多用。例有七體:一曰開(kāi)平方;二曰積平圓;三曰開(kāi)立方;四曰開(kāi)立圓;五曰開(kāi)分子方;六曰開(kāi)三乘以上方;七曰帶縱開(kāi)方;并載少?gòu)V、勾股二章。”(［18］，1049頁(yè))吳敬對(duì)開(kāi)方的重視與這種想法是一致的。

《田畝比類乘除捷法》卷上主要內(nèi)容是各種形狀田的面積計(jì)算方法，卷下包括與《五曹算經(jīng)》中算題相同的3道題和取自劉益《議古根源》中的22道題。在卷上，楊輝寫道:“直田法曰:廣縱步數(shù)相乘為積步，以二百四十除之為畝，其不及畝之余步，或以二十四除之為分為厘，或以六十除之為角，或便云幾畝零幾步。”(［18］，1074頁(yè))《大全》方田卷古問(wèn)“直田法曰”的術(shù)文與楊輝的這段術(shù)文比較相近，兩者都指出了化步為畝、為分、為角或直接用幾畝零幾步的方法。此外，《大全》方田卷比類中的截田第4、7、8、5、6題、少?gòu)V比類第46、45、44題分別為《田畝比類乘除捷法》卷下的第19、21—27題。②武田楠雄的統(tǒng)計(jì)略有不同，見(jiàn)文獻(xiàn)［8—10］。

《續(xù)古摘奇算法》卷上論縱橫圖(即現(xiàn)今的幻方)，卷下為各種算術(shù)難題和口訣。在《大全》衰分卷詩(shī)詞題、衰分卷比類題和均輸卷比類題中能找到《續(xù)古摘奇算法》卷下的兩道有關(guān)等比級(jí)數(shù)的題、4道“物不知總”題、“河上蕩杯”題和“兵士分絹”題，兩者的解法也相同。在《大全》衰分卷比類題中也能找到《續(xù)古摘奇算法》中有關(guān)分?jǐn)?shù)除法的兩道題，只是錢的單位不同，后者為文，《大全》為貫。

《透簾細(xì)草》的作者及成書年代不詳，嚴(yán)敦杰認(rèn)為成書年代稍晚于楊輝的《乘除通變本末》(1274)。該書今無(wú)足本，其內(nèi)容包括《知不足齋叢書》本的54道題和殘本《永樂(lè)大典》的17道題［19］。在《大全》均輸比類題以及卷10各色開(kāi)方比類題中能找到《永樂(lè)大典》中的2道題，二者解法也相同，但敘述文字有差異?！洞笕酚蛔憔碓?shī)詞第28和26題、商功卷比類第32題分別為《知不足齋叢書》第2、3和第18題，二者算題的敘述文字有差別。其中第2和3題的解法兩者不同。

《算學(xué)啟蒙》共259題，涉及四則運(yùn)算、開(kāi)方、天元術(shù)以及垛積等多方面的數(shù)學(xué)內(nèi)容?！洞笕肪斁碓?shī)詞第31題、衰分卷第47、25和17題、商功卷比類第62題、少?gòu)V卷詩(shī)詞第9題、盈不足卷比類第1和2題、方程卷比類第1、3和2題、勾股卷比類第1和2題、卷10第26、7 和第35 題分別是《算學(xué)啟蒙》的第152、161、162、175、195、199、207、211、216、220、221、223、224、238、240和245題。其中解法相同的有10道題，解法有差別的有6道題。《算學(xué)啟蒙》的第216、220和221題的解法是“直除法”，而《大全》的解法是“互乘加減消元法”;第238、240和245題的解法是天元術(shù)，而《大全》的解法是立成釋鎖開(kāi)方法。

朱世杰的《四元玉鑒》是一部關(guān)于天元術(shù)的著作?！洞笕饭垂删碓?shī)詞第6和29題、方田卷詩(shī)詞第25題、粟米卷詩(shī)詞第28題分別和《四元玉鑒》的“或問(wèn)”第1、11、3和5題的題意和數(shù)據(jù)相同，但敘述文字有差別，解法也不同。吳敬沒(méi)有采用天元術(shù)解這些題?！洞笕方狻端脑耔b》第1題采用勾股術(shù)，解第11題采用立成釋鎖開(kāi)方法，解第3題只是說(shuō)“約之”，但沒(méi)有說(shuō)明具體是怎么約來(lái)的，解第5題的解法相當(dāng)于一般的解方程?！洞笕匪诿自?shī)詞第36題、勾股詩(shī)詞第5題分別和《四元玉鑒》的“或問(wèn)”第2和6題的題型相同，但數(shù)據(jù)不同，解法也不一樣?！洞笕返慕夥ú捎昧讼喈?dāng)于《九章算術(shù)》中解方程的方法和勾股術(shù)，而不是天元術(shù)。

吳敬在方田卷詩(shī)詞題8中提到了“紬演天源如積”?！端脑耔b》用天元術(shù)解題時(shí)常提到“立天元一為某某，如積求之”。這類題在《測(cè)圓海鏡》中很常見(jiàn)，解法為天元術(shù)。此外，“如積”也是和天元術(shù)密切相關(guān)的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)。據(jù)此推測(cè)“天源”亦指“天元”，此題很可能來(lái)自有關(guān)天元術(shù)的算書。很可能是由于有人不能理解天元術(shù)而刪掉了它的計(jì)算過(guò)程?？梢?jiàn)，《大全》與《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》當(dāng)有淵源關(guān)系。

3 與元早期及明初算書(1303—1450)的關(guān)系① 這段時(shí)期有一部“九章”的算書，即劉仕隆的《九章通明算法》(1424)，但已佚，從《算法統(tǒng)宗》中可知其有“九章”而“無(wú)乘除”，后有33道難題。其中部分難題見(jiàn)于《大全》中，但文字?jǐn)⑹鲇胁顒e。吳敬在《大全》里沒(méi)有提到該書，可能他沒(méi)有見(jiàn)到，而這些相同的詩(shī)題可能在民間早有流傳，分別被他和劉仕隆收錄下來(lái)。

《四元玉鑒》問(wèn)世后至吳敬的《大全》刊刻前，現(xiàn)存的《大全》與之可能有淵源關(guān)系的《九章算術(shù)》外的算書有:《丁巨算法》，賈亨的《算法全能集》，安止齋的《詳明算法》，以及嚴(yán)恭的《通原算法》。

《丁巨算法》共8卷，現(xiàn)存不足1卷，內(nèi)容涉及盈不足、方程、垛積、倉(cāng)窯及各種粟布、斤稱問(wèn)題［20］?！洞笕贩匠叹肀阮惖?3題和卷首“乘除開(kāi)方起例”中“就物抽分”的第2題即為其第3和14題?！抖【匏惴ā返?題的解法是“直除法”，而吳敬采用了“互乘加減消元法”，第14題的“緋羅”在《大全》中則為“紅羅”?！洞笕肪硎字械亩夥e、倉(cāng)窯等內(nèi)容也可能和《丁巨算法》有淵源關(guān)系。

在《大全》卷首“乘除開(kāi)方起例”中能找到《算法全能集》的“乘法歌訣”、“加法”的兩個(gè)例題、“歸法歌訣”、“求一歌訣”、“就物抽分”的“買羅”題、“端匹”的歌訣及其兩個(gè)例題、“盤倉(cāng)量窯”的一個(gè)例題。兩者的“差分法”口訣基本一樣，只有一字不同，即賈亨為“定”，而吳敬為“之”，分析“定”字為寶蓋下有一“之”字，故推測(cè)是在流傳或刊刻中弄錯(cuò)了?！岸讯饪谠E”和“盤倉(cāng)量窯”的歌訣兩部書基本一致?！洞笕贰皻w除歌訣”、“撞歸法”的小字解釋、“就物抽分”的歌訣、“貴賤差分”的歌訣與《算法全能集》類似。可見(jiàn)，二者有知識(shí)傳承關(guān)系。

在《大全》卷首“乘除開(kāi)方起例”中可找到安止齋《詳明算法》的“九歸”歌訣和口訣、“減法”歌訣、“歸除”的小字注文、“求一”歌訣、“商除”歌訣、“約分”歌訣及其兩個(gè)算題、“異乘同除”歌訣、“就物抽分”歌訣及其一道算題、“堆垛”歌訣及其兩道算題、“盤倉(cāng)量谷”歌訣、3個(gè)“雇車行道”題①兩書這三道題的區(qū)別是:《大全》錢的單位為貫，而《詳明算法》為兩。和“造水葉”題②該題即是《大全》均輸卷比類第10題。。兩書“因法”歌訣、“歸除”歌訣、“和合差分”、“九章名數(shù)”下面的一段說(shuō)明文字基本相同。

上述分析表明，《大全》卷首“乘除開(kāi)方起例”的內(nèi)容和《詳明算法》、《丁巨算法》以及《算法全能集》有淵源關(guān)系，反映了這些內(nèi)容從元到明初的發(fā)展和傳播。

嚴(yán)恭《通原算法》的部分內(nèi)容保存在《永樂(lè)大典算法》中，基本上是比較粗淺的實(shí)用算術(shù)題。《大全》商功卷比類第71題即為《通原算法》中的“瓦不知數(shù)”(一次同余方程組)題，二者解法相同。

4 《大全》內(nèi)容的淵源辨析

吳敬的《九章算法比類大全》共有算題1448道題，其中古問(wèn)有250道題，卷1至9的比類題、詩(shī)歌題、卷10“各色開(kāi)方”題、卷首“乘除開(kāi)方起例”共有1198道題。古問(wèn)的250道題和古問(wèn)前的術(shù)文已辨明幾乎全部來(lái)自楊輝的《詳解九章算法》，只有方田卷古問(wèn)前的術(shù)文來(lái)自《楊輝算法》。

上述比較和分析表明，其余各章的1198道題中有115道可以在前人的現(xiàn)存15部算書中找到淵源關(guān)系?！俺顺_(kāi)方起例”包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算、簡(jiǎn)便算法、單位換算、立成釋鎖開(kāi)方法、比例算法、體積計(jì)算和堆垛問(wèn)題的計(jì)算等內(nèi)容。這部分內(nèi)容與《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《楊輝算法》、《丁巨算法》、《算法全能集》和《詳明算法》有淵源關(guān)系?！熬耪隆钡谋阮惡驮?shī)歌題與《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《議古根源》、《楊輝算法》、《謝察微算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《通原算法》、《透簾細(xì)草》、《算學(xué)啟蒙》、《丁巨算法》、《海島算經(jīng)》和《四元玉鑒》有淵源關(guān)系。卷十各色開(kāi)方與《楊輝算法》、《透簾細(xì)草》和《算學(xué)啟蒙》有淵源關(guān)系?！洞笕犯髡屡c這些算書具體的淵源關(guān)系見(jiàn)表1。

表1 《大全》各章與現(xiàn)在算書的淵源關(guān)系示意表

續(xù)表1

此外，有少量的算題雖然在現(xiàn)存中國(guó)古代算書中找不到其淵源，但可以推測(cè)，是吳敬從別處抄來(lái)的。例如，關(guān)于“四不等田”的方田卷詩(shī)題第34題。該題第一種解法采用的對(duì)邊取平均值然后再相乘的錯(cuò)誤方法，與《五曹算經(jīng)》方法相同，但第二種算法采用截田法來(lái)分段計(jì)算，是正確的解法。同一道題出現(xiàn)這種現(xiàn)象，說(shuō)明該題是吳敬從別處抄來(lái)的，但我們目前已無(wú)法搞清楚這類算題來(lái)自哪部算書。

各章其余的大部分算題雖然辨不清其淵源，估計(jì)既有吳敬自己編寫的，也有從其他算書抄來(lái)的。

從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來(lái)看，《大全》“九章”中的比類和詩(shī)詞題的解法所用的數(shù)學(xué)知識(shí)都是《九章算術(shù)》原文的算法，沒(méi)能繼承劉徽注的高水平的數(shù)學(xué)成就。卷首“乘除開(kāi)方起例”提到了少量的堆垛問(wèn)題，卷十是采用立成釋鎖法開(kāi)方的算題，但這些內(nèi)容也沒(méi)能繼承和傳播宋元高水平的數(shù)學(xué)成就，特別是天元術(shù)。

5 結(jié)語(yǔ)

上述分析表明，吳敬的《大全》受到宋元算書，特別是楊輝的算書的影響最大。他在《大全》中繼承了楊輝重視介紹啟蒙知識(shí)和開(kāi)方術(shù)的思想，以及楊輝采用“纂類”編寫算書的方式。

《大全》中與《算學(xué)啟蒙》中的算題相同或類似的較多，盡管書中提到了天元術(shù)，但吳敬沒(méi)有采用天元術(shù)來(lái)解題?！洞笕芬灿信c《四元玉鑒》相同的算題，但敘述文字已經(jīng)有差別，解法也不是天元術(shù)。據(jù)此判斷，吳敬可能只是聽(tīng)說(shuō)過(guò)天元術(shù)，自己并沒(méi)有看到過(guò)有關(guān)天元術(shù)的著作，甚至就是看到也已無(wú)法理解天元術(shù)了。從現(xiàn)有的文獻(xiàn)看，天元術(shù)在此時(shí)已經(jīng)沒(méi)有人能掌握了。

《大全》“乘除開(kāi)方起例”的內(nèi)容能從現(xiàn)存元末明初算書中找到淵源，這反映了這些知識(shí)從元末至明初這段時(shí)間的發(fā)展與傳播。

結(jié)合以往筆者對(duì)《大全》中“九章”的淵源的分析［2］，可以看出，明初的80年間，民間仍然可以看到一些包含高水平數(shù)學(xué)成就的漢唐宋元算書，這些高水平的數(shù)學(xué)成就包括了增乘開(kāi)方法、幻方圖以及《九章算術(shù)》中劉徽和李淳風(fēng)注等內(nèi)容，甚至是天元術(shù)。遺憾的是，作為明代一部承前啟后的數(shù)學(xué)著作，《大全》中沒(méi)有收錄吳敬當(dāng)時(shí)看到的這些高水平的數(shù)學(xué)成就。

致 謝本文是在筆者碩士論文(2001)的一部分內(nèi)容基礎(chǔ)上修改完成的，得到了導(dǎo)師韓琦研究員的精心指導(dǎo)，同時(shí)也得到了中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所郭書春先生的幫助，特此致謝!

1 吳敬．九章算法比類大全［A］．郭書春主編．中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)［Z］．第2冊(cè)．鄭州:河南教育出版社，1993．

2 張久春．《九章算法比類大全》與“九章”的淵源［J］．自然科學(xué)史研究，2003，22(1):54—59．

3 (日)武田楠雄．明代における算書形式の變遷——明代數(shù)學(xué)の特質(zhì)序說(shuō)［J］．科學(xué)史研究，1953，(26):1—12．

4 (日)武田楠雄．明代數(shù)學(xué)の特質(zhì)Ⅰ——算法統(tǒng)宗成立の過(guò)程［J］．科學(xué)史研究，1954，(28):1—12．

5 (日)武田楠雄．明代數(shù)學(xué)の特質(zhì)Ⅱ——算法統(tǒng)宗成立の過(guò)程［J］．科學(xué)史研究，1954，(29):8—18．

6 (日)武田楠雄．同文算指の成立［J］．科學(xué)史研究，1954，(30):7—14．

7 (日)武田楠雄．天元術(shù)喪失の諸相——明代數(shù)學(xué)の特質(zhì)Ⅲ［J］．科學(xué)史研究，1955，(34):12—22．

8 (日)武田楠雄．東西16世紀(jì)商算の對(duì)決Ⅰ［J］．科學(xué)史研究，1955，(36):17—22．

9 (日)武田楠雄．東西16世紀(jì)商算の對(duì)決Ⅱ［J］．科學(xué)史研究，1955，(38):10—16．

10 (日)武田楠雄．東西16世紀(jì)商算の對(duì)決Ⅲ［J］．科學(xué)史研究，1955，(39):7—14．

11 錢寶琮主編．中國(guó)數(shù)學(xué)史［M］．北京:科學(xué)出版社，1964．

12 錢寶琮．《孫子算經(jīng)》提要［A］．錢寶琮校點(diǎn)．算經(jīng)十書［Z］．北京:中華書局，1963．275—276．

13 錢寶琮．《張丘建算經(jīng)》提要［A］．錢寶琮校點(diǎn)．算經(jīng)十書［Z］．北京:中華書局，1963．325—327．

14 錢寶琮．《五曹算經(jīng)》提要［A］．錢寶琮校點(diǎn)．算經(jīng)十書［Z］．北京:中華書局，1963．409—410．

15 錢寶琮．《輯古算經(jīng)》提要［A］．錢寶琮校點(diǎn)．算經(jīng)十書［Z］．北京:中華書局，1963．487—490．

16 郭書春．《謝察微算經(jīng)》提要［A］．郭書春主編．中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)［Z］．第1冊(cè)．鄭州:河南教育出版社，1993．

17 李迪、馮立升．《謝察微算經(jīng)》初探［A］．?dāng)?shù)學(xué)史研究文集(三)［C］．呼和浩特:內(nèi)蒙古大學(xué)出版社;臺(tái)北:九章出版社，1992．58—65．

18 楊輝．乘除通變本末［A］．郭書春主編．中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)［Z］．第1冊(cè)．鄭州:河南教育出版社，1993．

19 鄒大海．《透簾細(xì)草》提要［A］．郭書春主編．中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)［Z］．第1冊(cè)．鄭州:河南教育出版社，1993．

20 趙澄秋．《丁巨算法》提要［A］．郭書春主編．中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)［Z］．第1冊(cè)．鄭州:河南教育出版社，1993．