基于素養(yǎng)進階的教學建構
——以小學數(shù)學北師大版“比的應用”教學為例

●董文彬

數(shù)學教育的重要目的之一是指向學生數(shù)學學科的核心素養(yǎng)，而學科素養(yǎng)的培育在單元整體學習中則體現(xiàn)出層層遞進的進階趨向，具體體現(xiàn)為思維發(fā)展和素養(yǎng)進階。因此，課堂有必要在基于素養(yǎng)進階的基礎上設計連續(xù)體式的問題鏈條和凸顯數(shù)學本質的核心學習活動，進行深度教學建構，以促進數(shù)學的深度學習真實發(fā)生。“比的應用”是小學數(shù)學北師大版教材六年級上冊第六單元“比的認識”的核心課。作為數(shù)與代數(shù)領域兩量關系教學的核心內容，是發(fā)展學生模型思想這一核心素養(yǎng)的重要學習載體，在小學數(shù)學課程中占有非常重要的地位。本文在大觀念教學背景下基于教材和學情，以“比的應用”學習為例探討應如何建構素養(yǎng)進階的深度學習，以深入發(fā)展學生的模型思想。

一、教學內容分析

（一）教材縱向梳理，聚焦核心主線

圖1 “比的認識”單元學習路徑

“比的應用”是“比的認識”單元的最后一個主題。本課是這個主題的第1 課時，也是單元的第4 課時，是學生學習了“比的意義”和“比的化簡”之后開始的進一步學習。在本課學習之前，學生已經(jīng)通過學習“生活中的比”，充分體會同類量關系的比和不同類量關系的比，逐步認識和理解比的意義，建立和拓展比的模型，又通過學習“比的化簡”，理解比的意義，豐富比的模型，完成對比的再認識。本課是在前面學習的基礎上，通過運用比的意義、應用比的模型解決按比分配的實際問題，進一步理解比的意義和比的模型，深化對“比”的再認識，初步感悟函數(shù)思想，進一步發(fā)展學生的模型思想?！氨鹊膽谩痹诘? 課時，按比分配問題的拓展，是在同類量的配比情境中運用比的意義、應用比的模型進一步解決有關按比分配的問題，通過學習進一步理解比的意義和比的模型，深化對“比”的再認識。

（二）教材橫向對比，深度分析解讀

圖2 三版本教材關于“比的應用”的對比編排

橫向比較各版本教材，可見：①問題情境和學習素材的選?。焊靼姹窘滩碾m然呈現(xiàn)的具體素材不同，但都是通過創(chuàng)設貼近學生現(xiàn)實生活、富有趣味性和啟發(fā)性的問題情境引發(fā)學生的數(shù)學思考。在素材信息的呈現(xiàn)上有所不同，蘇教版和人教版都是直接呈現(xiàn)要分的具體數(shù)量，且直接呈現(xiàn)兩個數(shù)量的比；而北師大版教材開始未直接呈現(xiàn)要分的具體數(shù)量，而是在列表思考之后才給出具體要分的數(shù)量。北師大版教材的這種呈現(xiàn)方式更能夠把學生拉回原點，更有助于從理解比的本質出發(fā)思考問題，進而理解比的意義。另外，北師大版教材也沒有直接給出兩個數(shù)量的比，只是給了兩個數(shù)量是多少，這更有助于學生體會按比分配產生的需求和必要性。②學習方式的編排：從情境創(chuàng)設、活動編排到交流策略方法，各版本教材都特別注重學生經(jīng)歷兩個過程，一個是運用比的意義、應用比的模型解決問題的全過程，一個是充分展現(xiàn)學生多角度的思維過程。在此基礎上幫助學生進一步理解比的意義，認識比的模型，深化對比的再認識。各版本教材都呈現(xiàn)了從份的角度和分數(shù)的角度進一步理解比的意義，將按比分配問題轉化為乘除法運算來解決，溝通比與分數(shù)、運算之間的聯(lián)系，進一步認識比。不同的是，北師大版教材在繼續(xù)呈現(xiàn)列表嘗試的方法之外還呈現(xiàn)了方程的方法，列表嘗試更能體現(xiàn)按比分配的本質，滲透建立正比例模型，幫助學生初步感悟函數(shù)思想，方程方法呈現(xiàn)了代數(shù)思維，其本質也是從份的角度再理解比的意義。在理解比的意義時，人教版和北師大版都借助幾何直觀呈現(xiàn)了畫圖的方式；再獲得結論之后，蘇教版和人教版都呈現(xiàn)了對結果的檢驗過程。另外，蘇教版還由兩個量的比拓展到多個量的連比問題，一個除法算式或者一個分數(shù)無法一下子表示多個量之間的關系，這種拓展更加體現(xiàn)了比的應用的獨特價值。

二、學習者分析

（一）知識經(jīng)驗與能力基礎

學生在學習比的應用之前，已經(jīng)在第一學段經(jīng)歷了比較（比大?。?、除法意義與倍的認識、分數(shù)的初步認識以及第二學段分數(shù)的再認識；是在已經(jīng)學習過分數(shù)乘（除）法的意義和計算、分數(shù)的意義及基本性質以及分數(shù)與除法的關系的基礎上，特別是學習了本單元“比的意義”和“比的化簡”之后開始進一步學習的。學生已經(jīng)對比的意義的理解建構了比的模型，具體體現(xiàn)在：在豐富的問題情境中逐步感知比，經(jīng)歷了從具體情境中抽象出比的過程；充分體會比既可以刻畫兩個同類量之間的關系（倍比關系），也可以刻畫兩個不同類量之間的關系（衍生的量）；深入理解比表示一種關系，一種“怎樣”的關系，突出“1 份”作為度量單位的重要性；溝通理解比與倍、除法、分數(shù)的聯(lián)系；逐步認識和理解比的意義，建立、拓展和豐富比的模型，進一步認識了比。

（二）前測調研

為了解學生在學習這部分內容之前對比的意義的理解和運用程度，我對六年級學生進行了前測調研。特別說明，為避免問題之間彼此造成干擾和提示，以下四個問題各用兩個班分別進行測查。

問題1：淘氣幾次配置蜂蜜水，他認為蜂蜜與水的體積比是2:15 時口感最佳。你知道此時這個比的含義嗎？請你用喜歡的方式解釋這個比的意思。

意圖：調研學生對比的意義的理解狀況。

問題2：你認為學習“比”最大的用處是什么？

意圖：調研學生對比的價值的認識程度。

問題3：學校圖書館新進了450 本圖書，要把這些本圖書分給四年級和五年級，應該怎么分？用你喜歡的方式記錄下你分的過程和結果。（如圖3）

圖3

意圖：調研學生在給出具體數(shù)量的前提下運用比的意義解決按比分配問題的情況。

問題4：學校圖書館新進了一些圖書，要把這些圖書分給四年級和五年級，應該怎么分？用你喜歡的方式記錄下你分的過程和結果。（如圖4）

圖4

意圖：調研學生在不給出具體數(shù)量的前提下運用比的意義解決按比分配問題的情況。

調研結果分析：

問題1：

表1 關于“問題1”學生作答結果統(tǒng)計表

圖5 關于“問題1”學生典型作答

分析：

對六年級69 名學生的前測可見：

（1）對于現(xiàn)實生活簡單配比情境中的比的意義，92.8%的學生能夠作出正確解釋，其中14.5%的學生能列舉，58%的學生能從份的角度解釋，8.7%的學生能聯(lián)系分數(shù)意義來對比作出解釋，11.6%的學生能從份和分數(shù)兩個角度對比作出解釋。這說明在學習完比的意義、比的化簡之后，絕大多數(shù)學生已經(jīng)能夠正確理解比的意義，這為學習比的應用奠定了必備的知識基礎。

（2）另有4.3%的學生對比的意義解釋不清，2.9%的學生作出錯誤解釋，對于這7.2%的學生要引起重視，需要在學習比的應用這節(jié)課時通過交流，幫助他們建立比的模型、理解比的意義之后，再應用比的模型解決問題。

問題2：

分析：

對六年級69 名學生的前測可見：

表2 關于“問題2”學生作答結果統(tǒng)計表

圖6 關于“問題2”學生典型作答

53.6%的學生認為“比可以幫助解決問題”，其中7.2%的學生能夠舉例說明比可以解決甜度、擁擠度、快慢等問題，34.8%的學生能夠舉例說明比在生活中廣泛存在，11.6%的學生認為比更直觀、方便、快捷；30.4%的學生明確談及比表示一種關系。另有14.5%的學生聯(lián)系除法、分數(shù)來說明比的作用，其中2.9%的學生還談及“通過學習比能使思維更進一步而不是停留在除法”“比能幫助我們解決一些除法和分數(shù)解決不了的問題”等。這說明98.5%的學生對比的價值有不同程度的體會。比的應用這節(jié)課能夠幫助學生進一步體會運用比的意義、比的模型來解決按比分配問題的思想，特別是設計按多個量的連比分配問題能夠幫助學生更進一步感悟比更加獨特的價值——比可以一下子直觀表示多個量之間的關系。

問題3：

表3 關于“問題3”學生作答結果統(tǒng)計表

圖7 關于“問題3”學生典型作答

分析：

對六年級69 名學生的前測可見：

（1）對于在給出具體總數(shù)量以及兩個量的比的前提下，96.6%的學生都能夠運用比的意義根據(jù)自己的理解正確解決按比分配問題。其中83.6%的學生從份的角度理解比，先求1 份數(shù)再求幾份數(shù)，僅有8.2%的學生從分數(shù)角度理解比，將按比分配問題轉化為分數(shù)乘法問題解決，而運用方程解決的少之又少，僅有3.2%，有1 名學生通過猜測嘗試獲得答案，另有2 名學生解答錯誤。

（2）由此暴露兩個問題：一是超過八成學生都是從份的角度解決問題，體現(xiàn)出學生解決問題的視角單一，說明對比的意義的理解維度單一、不豐富。因此比的應用這節(jié)課有必要充分展現(xiàn)學生多角度的思維過程，通過交流方法多角度豐富理解比的意義、認識比的模型，深化對比的再認識。二是通過列表嘗試方法的學生一個也沒有，而列表嘗試更能體現(xiàn)按比分配的本質，幫助學生滲透建立正比例模型，更能體現(xiàn)比的最原始、最本質的意義，更能幫助學生理解比的結構關系模型。學生之所以沒有用列表嘗試，是因為題目直接給了具體總數(shù)量這個信息所導致的，因此，教學中設計不直接給具體數(shù)量，更有助于把學生拉回原點，讓學生借助列表嘗試解決問題，是非常必要的。

問題4：

表4 關于“問題4”學生作答結果統(tǒng)計表

圖8 關于“問題4”學生典型作答

分析：

對六年級69 名學生的前測可見：

（1）29%的學生從份的角度理解比的意義，10.1%的學生從分數(shù)角度理解比的意義，2.9%的學生在理解比的意義時有列表嘗試的意識，這42%的學生能夠從問題情境中自主抽象出比、建立比的模型，并應用比的模型、運用比的意義正確解決按比分配問題。

（2）但是有高達58%的學生沒有正確建立比的模型，導致不能應用比的模型、運用比的意義解決問題。其中43.5%的學生不能正確解答或者無思路無結果，14.5%的學生雖然“按人分”也能在一定范圍（總量900 本）解決問題，但是依然沒有在頭腦中建立起比的模型，沒有理解橘子“應該按兩個班人數(shù)的比”來分的需求及合理性，這與“問題3”的結果形成巨大反差和鮮明對比。因此教學中需設計在開始不給具體數(shù)量也不給兩個班人數(shù)的比更不給兩個班人數(shù)的基礎上，讓學生討論“怎么分合理”，進而在學生有需求的前提下再呈現(xiàn)兩個班的具體人數(shù)信息，繼續(xù)讓學生交流“怎么分合理”，進而抽象出比，理解按兩個班人數(shù)的比來分的合理性。這個過程是非常必要的，能夠幫助學生從問題情境中根據(jù)真實需求抽象出比、建立比的模型，幫助學生體會產生按比分配的需求，在頭腦中建立起比的模型——兩個班分到的橘子數(shù)要與兩個班人數(shù)的比保持一致，這一點是非常重要的，只有建立了比的模型，接下來才能應用比的模型解決問題。

三、“比的應用”教學思考與建議

首先，“比的認識”單元教學需要大觀念統(tǒng)領。即教師應該從更大的范圍、站在更高的視角，用一般的思想實施單元整體設計，進而聚焦到大單元教學中的每一個主題、每一節(jié)核心課、每一個學習活動任務序列、每一個關鍵問題的設計。基于此，我思考并形成了“比的認識”單元學習的大觀念：比的本質是表達和度量兩個量的倍數(shù)關系，是刻畫事物某種屬性的重要模型，“比”源于同類量的比較關系，但是可以推廣到“不同類量”的情形。不同類量的比可以產生新的量（衍生的量）。比源于度量，度量解決了物體可度量的屬性，比更多是為了表征隱含于數(shù)量之中的、不可度量的事物屬性，這也是除法所不能及的。比為比例的學習做準備，并可以擴展為一種變量之間的正比例函數(shù)關系。通過以上過程，發(fā)展學生的模型思想、度量意識，提高問題解決能力。

其次，從教材對比解讀到學情調研分析，在觀念統(tǒng)領下我進一步思考：“比的應用”這節(jié)課的價值到底是什么？通過這節(jié)課的學習最終在數(shù)學上讓學生獲得什么才是最寶貴的？我想，比的應用是運用比的意義，解決按一定的比進行分配的實際問題，按比分配即是應用模型、應用比的模型解決問題。同時，兩個量的按比分配其本質上是進一步建立了一個正比例關系模型，這樣看，按比分配本身也是一個具體的模型，是在應用模型的基礎上對比的模型的進一步建構和再認識。通過比的應用，進一步感悟函數(shù)思想也是這節(jié)課的重點。比的應用是對比的認識的深化，而不是簡單的獲得按比分配的結果，所以不給具體數(shù)量來進行按比分配，正體現(xiàn)著對比的認識的深化，也正體現(xiàn)著對比的意義最原始、最本質的認識。

最后，在“比的應用”這節(jié)課，我認為學生在解決按比分配問題過程中進一步建立比的模型是非常必要的。因此，我設計了既不給具體數(shù)量也不直接呈現(xiàn)兩個數(shù)量的比而讓學生分橘子的活動。在學生體會按比分配的需求和必要性的基礎上，通過列表嘗試，在感悟“變”與“不變”中建立比的正比例模型，感悟函數(shù)思想，深化對比的認識。同時，在運用比的意義、應用比的模型解決按比分配的問題中，通過交流充分展現(xiàn)學生的思維過程，獲得豐富多元的策略方法，幫助學生充分體會比與分數(shù)、除法之間的聯(lián)系，進一步理解比的意義，發(fā)展模型思想。設計“溝通按比分配與平均分問題的聯(lián)系”，讓學生認識到以前學習的平均分問題是按比分配問題的特殊情況（即按1:1:1……分），按比分配是平均分問題的發(fā)展，按比分配其本質也是平均分，拓展思維，提升認識。最后，通過《九章算術》中的“巧女織布”問題以及均分與衰分的歷史，幫助學生感悟按比分配的數(shù)學史的文化價值。

圖9 “比的應用”素養(yǎng)進階的教學結構圖