非對稱不確定策略下合作對偶均衡研究

羅桂美

(廣東金融學(xué)院金融數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 廣州 510521)

若參與者在博弈活動中能達(dá)成合作均衡，從互惠互利的原則出發(fā)，則雙方都可以降低成本或增加利潤，都能從合作博弈中獲得最大利益。 然而現(xiàn)實生活中，人的非完全理性行為經(jīng)常與假定模型有分歧，如：NOWAK等[1]認(rèn)為自私行為與博弈結(jié)果相矛盾；POUNDSTONE[2]發(fā)現(xiàn)在最后通牒實驗中，響應(yīng)者并不會按理性人的行為假設(shè)去做出符合提議者的決策。為克服非理性行為對決策的影響，CORLEY和KWAIN[3]提出合作博弈概念并研究了相應(yīng)的合作對偶均衡：該模型從競爭對手利益出發(fā)，提出每個競爭者都是無私的；從對手利益出發(fā)，雙方同時給出使得對方利益最大或成本最低的策略。合作對偶均衡模型克服了人的自私行為，已被應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、決策、保險和供應(yīng)鏈等領(lǐng)域[4-7]。

現(xiàn)實生活中出現(xiàn)的博弈活動經(jīng)常包含信息不確定性，如：博弈的結(jié)構(gòu)不可能準(zhǔn)確獲知；博弈雙方的支付函數(shù)或成本矩陣、混合策略集無法精確獲得等。 而處理不確定性問題的常用方法有敏感性分析、隨機(jī)規(guī)劃法和魯棒優(yōu)化法。其中，線性規(guī)劃的魯棒可行性思想由SOYSTER[8]提出,隨后EBN-TAL和NEMIROVSKI[9-10]及EL GHAOUI[11-12]提出了處理含不確定性的魯棒優(yōu)化模型。由于魯棒優(yōu)化法不需要事先知道參數(shù)的概率分布，又克服了敏感性分析滯后的缺點，而且在處理信息不確定的優(yōu)化問題時非常有效[13]，有學(xué)者將該方法用于非合作博弈領(lǐng)域，提出從競爭者自身利益出發(fā)，尋求最佳策略。 如：AGHASSI和BERTSIMAS[14]提出了用魯棒優(yōu)化法考察不確定信息分布未知時的處理方法，研究了不含私人信息且不確定的成本矩陣集為有界集時的N-人博弈問題；YAMASHITA等[15]提出了雙人博弈的魯棒優(yōu)化均衡概念，并在對手策略集或自身成本矩陣集為橢球?qū)ΨQ時，得到該均衡可轉(zhuǎn)化成一個二階錐互補(bǔ)(SOCCP)問題的解。

由于非合作博弈并非總是合適的，且非理性現(xiàn)象和不確定性都客觀存在，而CORLEY和KWAIN[3]從合作角度出發(fā)提出的對偶博弈模型僅考慮了最基本的混合策略，未對自身策略集進(jìn)行合理估計；AGHASSI和BERTSIMAS[14]、YAMASHITA等[15]提出的魯棒優(yōu)化均衡雖考慮了非確定性，但未考慮合作及非理性情形。基于此，本文從混合策略集的子集入手，同時將非理性現(xiàn)象及不確定性納入研究范圍，假設(shè)博弈雙方在做決策時，其自身支付矩陣能準(zhǔn)確獲知，而自身策略假設(shè)落在一個非對稱有界閉集(混合策略集的子集)中?；诤献骼砟?，首先探討對手成本最低的問題；然后分析雙方同時做決策，使博弈雙方成本同時最低的問題，提出合作對偶博弈模型；最后利用對偶理論和魯棒優(yōu)化技術(shù)，研究合作對偶博弈的均衡問題。

1 預(yù)備知識

本文考察如下雙人博弈問題：參與者自身成本矩陣可以準(zhǔn)確獲知，其自身混合策略可以進(jìn)一步估計落在某一有界閉集內(nèi)，雙方同時做出決策，使對手成本最低。 用模型表示為：

(1)

(2)

其中，A,Bn×m分別表示參與者甲、乙的支付矩陣；Y∶={y分別表示甲、乙的混合策略集，策略集中的每個分量表示該策略的概率；Yu(y)?Y、Zu(z)?Z分別表示包含策略y、z的非對稱有界閉集。特別地，若Yu(y)={y}、Zu(z)={z}且對手從自身利益出發(fā)使各自成本最低，則問題(1)和問題(2)退化成如下Nash博弈模型：

(3)

(4)

s.t.zZ,

(5)

s.t.yY。

(6)

如果z是問題(5)的最優(yōu)解且y是問題(6)的最優(yōu)解，則稱策略對(z,y)是問題(5)和問題(6)的Nash均衡，也稱作是問題(1)和問題(2)的合作對偶均衡。

易知，為了得到問題(1)和問題(2)的合作對偶均衡，或者說問題(5)和問題(6)的Nash均衡，需要獲知不確定集Yu和Zu中元素范數(shù)及其對偶范數(shù)的表達(dá)形式。文中用‖·‖表示向量的一般范數(shù)，滿足:對?xn,‖x‖=‖|x|‖,如‖·‖2、‖·‖1∩∞等；其對偶范數(shù)‖·‖*由確定。 為得到問題(5)和問題(6)的可計算表達(dá)式，本文進(jìn)一步假設(shè)不確定集Yu和Zu中元素取l1∩∞-范數(shù)，其定義為：‖|x|‖1∩∞=max{‖x‖1/p,‖x‖∞}，其中p>0為常數(shù)。為計算l1∩∞-范數(shù)的對偶范數(shù)，BERTSIMAS等[13]定義了D-范數(shù)，即對任意的x=(x1,…,xn)Tn，p[0,n]，令

(7)

其中，N表示由x=(x1,…,xn)T分量中所有下標(biāo)構(gòu)成的集合，?p」表示p的整數(shù)部分，S表示維數(shù)不超過?p」的N的子集。

進(jìn)一步地，BERTSIMAS 等[13]利用式(7)，得到了D-范數(shù)和l1∩∞-范數(shù)的關(guān)系：

即D-范數(shù)‖|·|‖p的對偶范數(shù)為l1∩∞-范數(shù)；

(2)對任意的x≥0，‖|x|‖p≤γ等價于

下面給出本文定理證明需用的2個引理。

引理2[16]假設(shè)f1和f2均是n×m→上的連續(xù)函數(shù)，且f1(·,z)、f2(y,·)分別是n、m上的凸函數(shù)，并假設(shè)Y、Z是非空緊凸集，則問題(3)和問題(4)存在Nash均衡。

引理3[17]令π*=max{aTv+bTw:‖v+w‖≤Ω,v,w則Ω‖t‖*=π*，其中,t=(t1,…,tJ)T,tj=max{aj,bj,0},j=1，2，…，J。

2 策略非對稱不確定性下的合作對偶均衡

首先研究問題(1)和問題(2)中均衡的存在性。易知Yu(·)、Zu(·)可分別看成是n、m上的集值映射。利用引理2，可以證明以下定理：

定理1假設(shè)集值映射Yu(·)和Zu(·)是連續(xù)的，Yu(y)、Zu(z)分別是包含y、z的非空緊集，且Y和Z是非空緊凸集，則問題(1)和問題(2)存在合作對偶均衡。

接下來探究問題(1)和問題(2)的合作對偶均衡，即問題(5)和問題(6)的Nash均衡問題。 由定理1可知，目標(biāo)函數(shù)是凸的，因此接下來只需尋求同時滿足問題(5)和問題(6)的KKT條件，這一問題又可以等價轉(zhuǎn)化為一個混合互補(bǔ)問題。

(8)

(9)

其中，ΔY=(ΔY1,ΔY2,…,ΔY)n×1為擾動方向矩陣；Ω[0,1]為兼顧魯棒性和最優(yōu)性的控制參數(shù)；和y+ΔY(h1-h2)≥0為確保是混合策略的條件。

利用引理3，類似文獻(xiàn)[18]中定理2.1的證明，可得如下定理：

定理2若Yu由式(9)給出，則問題 (5)等價于以(z,β,s,ζ,g)m××××n為決策變量的優(yōu)化問題：

minyTAz+yTg+Ωζ

s.t. ‖s‖*≤ζ,

s≥P1(ΔYTATz+ΔYTg+ΔYTenβ),

s≥-Q1(ΔYTATz+ΔYTg+ΔYTenβ),

(10)

t=(t1,t2,…,t)T

(11)

結(jié)合式(11)，問題(10)在l1∩∞-范數(shù)下可轉(zhuǎn)化成以(z,β,s,ζ,g,t,σ)m××××n××為決策變量的線性規(guī)劃問題：

minyTAz+yTg+Ωζ

s≤t+eσ,-s≤t+eσ,

s≥P1(ΔYTAz+ΔYTg+ΔYTenβ),

s≥-Q1(ΔYTAz+ΔYTg+ΔYTenβ),

(12)

接下來考察問題(6)。類似Yu的構(gòu)造，Zu可以表示為

(13)

其中,ΔZ=(ΔZ1,ΔZ2,…,ΔZ)2;?[0,2]為兼顧魯棒性和最優(yōu)性的控制參數(shù)。

于是，當(dāng)Zu由式(13)給出時，問題(6)等價于以(y,γ,r,α,f)n××××m為決策變量的優(yōu)化問題：

minyTBz+zTf+?γ

s.t. ‖r‖*≤γ,

r≥P2(ΔZTBy+ΔZTf+ΔZTemα),

s≥-Q2(ΔZTBy+ΔZTf+ΔZTemα),

(14)

類似地，問題(14)在l1∩∞-范數(shù)下可轉(zhuǎn)化成以(y,α,r,γ,f,w,δ)n××××m××為決策變量的線性規(guī)劃問題：

minyTBz+zTf+?γ

r≤w+eδ,-r≤w+eδ,

r≥P2(ΔZTBTy+ΔZTf+ΔZTemα),

r≥-Q2(ΔZTBTy+ΔZTf+ΔZTemα),

(15)

由此可知，從合作角度出發(fā)，甲、乙成本最低的問題分別可轉(zhuǎn)化為形如式(12)、(15)的線性規(guī)劃問題。下面探究雙方同時做決策，使對方成本同時最低的問題，即同時求解問題(1)、(2)。結(jié)論如下：

定理3假設(shè)參與者甲、乙自身的策略集分別由式(9)、(11)給出， 則求解問題(1)、(2)的合作對偶均衡可以轉(zhuǎn)化成尋求一個混合互補(bǔ)問題(MCP)的解:

(16)

其中，G、Hζ×(ζ+τ),Cτ×(ζ+τ)，q,rζ,d=(0,Ω,0,1,0,?,0,1)Tτ，且G、H、C表示如下：

證明甲、乙從對方利益出發(fā)，雙方同時做決策，使對方成本最低的問題可轉(zhuǎn)化成尋求同時滿足問題(12)、(15)中KKT 條件的策略對(z,y)。易知，問題(12)的KKT條件為：

+

+

,

+

+

,

(17)

其中，λ1,λ2,vi(i=1,…,4)為拉格朗日乘子。

類似地，問題(15)的KKT條件為：

+

?

+

,

+

δ

⊥

?

+

,

(18)

其中，ξ1,ξ2,ui(i=1，…，4)為拉格朗日乘子。

G1=

G3=

H5和H3結(jié)構(gòu)相同，只需將H3中非零元素AT、In分別換成B、Im；H6和H2結(jié)構(gòu)相同，只需將H2中AT、ΔY、P1、Q1分別換成B、ΔZ、P2、Q2。證畢。

3 算例分析

本節(jié)通過一個算例，采用文獻(xiàn)[19]的算法，利用定理3，尋求合作對偶均衡。

例1設(shè)博弈雙方甲、乙的混合策略集均由3種策略組成，即m=n=3；設(shè)甲、乙每種策略都互相獨立且每個策略都具有不確定性，即1=2=3。設(shè)甲、乙的成本矩陣分別為

對應(yīng)不確定集由式(9)和式(13)給定。設(shè)甲、乙的擾動方向矩陣分別為：

令甲的對角偏度矩陣為P1=diag(2,4,1)、Q1=diag(4,2,1)；乙的對角偏度矩陣為P2=diag(2,4,1)、Q2=diag(3,3,2)。試分析當(dāng)參數(shù)Ω、?變化時，甲、乙混合策略及對應(yīng)成本的變化情況。

由甲、乙的合作對偶均衡及相應(yīng)成本隨Ω、?的變化(表1)可知：(1)當(dāng)Ω、?的取值從0.1增大到2時，甲的成本變化比乙的收入變化要快；(2)當(dāng)Ω和?逐漸增加時，甲方成本和乙方收入是波浪式變化的，同時甲方成本增加伴隨著乙方收入增加，但并不完全相同，雙方并非零和博弈；(3)當(dāng)Ω和?均取0.9時，甲方達(dá)到最大成本而乙方獲得最大收入，隨后都開始遞減，這表明有必要同時考慮魯棒性與最優(yōu)性；(4)控制參數(shù)Ω、?，方向矩陣ΔZ、ΔY及偏度矩陣在模型中起著非常重要的作用，但其選擇非常復(fù)雜；而如何做好魯棒性與最優(yōu)性之間的權(quán)衡，也是魯棒優(yōu)化法需要進(jìn)一步探討的問題。

表1 策略非對稱不確定性下的魯棒合作對偶均衡Table 1 Robust cooperative dual equilibria with asymmetric strategy uncertainty

4 小結(jié)

傳統(tǒng)的非合作博弈研究的是參與者均從自身角度出發(fā)，追求利潤最大化或者成本最小化，本文討論了合作情形下的雙人博弈活動。文中首先同時將非理性現(xiàn)象和不完全信息納入考察范圍，假設(shè)對手策略落在一混合策略集但競爭者自身策略落在一非對稱有界估計集(混合策略的子集)，分析了每個競爭者成本最優(yōu)問題；然后利用魯棒優(yōu)化技術(shù)和對偶理論，在目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)的情形下，將魯棒合作對偶均衡的求解等價轉(zhuǎn)化成一個混合互補(bǔ)問題的求解；最后算例表明，模型(1)、(2)是合理可行的，且可以應(yīng)用到最優(yōu)再保險領(lǐng)域。