用RMI原理與仿射變換解決橢圓問(wèn)題

陳 倩

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

一、RMI原理簡(jiǎn)介

RMI原理是我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治教授提出的一種處理問(wèn)題的普遍方法或準(zhǔn)則,即關(guān)系(Relation)、映射(Mapping)、反演(Inversion)原則.具體表述為:它通過(guò)某種映射φ,將一個(gè)較為復(fù)雜的系統(tǒng)S(原象系統(tǒng))映射為一個(gè)新的簡(jiǎn)單的系統(tǒng)S*(映射系統(tǒng)),在新系統(tǒng)S*中處理好對(duì)應(yīng)關(guān)系并得到問(wèn)題的解x*,再通過(guò)逆映射φ-1反演到原問(wèn)題的解x.

二、RMI原理在橢圓問(wèn)題中的映射途徑分析

就橢圓問(wèn)題而言,可以利用RMI原理將橢圓問(wèn)題映射為圓的問(wèn)題進(jìn)行討論,進(jìn)而借助圓中良好的幾何性質(zhì)解題,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果.

(4)共線三點(diǎn)在變換前后保持共線關(guān)系不變,且共線的線段長(zhǎng)度之比不變.

總之,在RMI原理下利用仿射變換解決橢圓問(wèn)題,其一般模式如圖1所示.

圖1

三、應(yīng)用舉例

(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線;

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(i)證明:?PQG是直角三角形;

(ii)略.

評(píng)注本題第(2)問(wèn)通過(guò)仿射變換φ1,將橢圓的內(nèi)接三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化到輔助圓中,借助象點(diǎn)P′,Q′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱及P′Q′為圓的直徑,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角,利用斜率輕松獲得kP′Q′kP′G′=-2(定值),最后由仿射變換關(guān)于斜率的結(jié)論反饋到橢圓中,使問(wèn)題順利獲證.

例2(2008年全國(guó)高考題)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,A(2,0),B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于點(diǎn)E,F兩點(diǎn).

(2)求四邊形AEBF面積的最大值.

評(píng)注本題通過(guò)仿射變換φ2,將橢圓的內(nèi)接三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化到輔助圓中，根據(jù)相交弦定理及定比分點(diǎn)公式得到象點(diǎn)D′的坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的斜率kOD′,根據(jù)三角函數(shù)的有界性對(duì)像四邊形A′E′B′F′的面積進(jìn)行估值,最后由仿射變換關(guān)于斜率和面積的結(jié)論反饋到橢圓中,避免了橢圓中繁瑣的計(jì)算,發(fā)揮了平面幾何知識(shí)與三角函數(shù)知識(shí)應(yīng)有的作用,方便了解題.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)P是橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:|AN||BM|為定值.

當(dāng)點(diǎn)P位于第二、三、四象限時(shí),同理可得|A′N′||B′M′|=|A′B′|2=8(定值).

由|A′N′||B′M′|=8,結(jié)合仿射變換中關(guān)于弦長(zhǎng)的結(jié)論,得|AN|·2|BM|=8,即|AN||BM|=4為定值.

評(píng)注本題通過(guò)仿射變換φ3,將橢圓的內(nèi)接三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化到輔助圓中,利用圓周角與圓心角的關(guān)系及相似三角形的知識(shí)得到|A′N′||B′M′|為定值8.顯示了平面幾何知識(shí)強(qiáng)大的威力,為后續(xù)利用仿射變換的性質(zhì)反饋到橢圓中使問(wèn)題獲解做好了鋪墊；表明了使用RMI原理解題可以溝通不同知識(shí)模塊之間的內(nèi)在聯(lián)系,有效提高解題的靈活性.

四、感悟與總結(jié)

與橢圓相關(guān)的問(wèn)題一直是近年來(lái)高考試題中的熱點(diǎn)問(wèn)題,通過(guò)上面幾個(gè)例題,我們可以體會(huì)到將RMI原理與仿射變換結(jié)合起來(lái)對(duì)于解決橢圓問(wèn)題的妙處,利用RMI原理和仿射變換將橢圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題,結(jié)合圓的優(yōu)美性質(zhì)求解相應(yīng)的問(wèn)題,這不僅大大地降低了運(yùn)算量,也在一定程度上拓寬了研究問(wèn)題的視野,由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)思想與解題技巧的重要性.