絕對(duì)值三角不等式及其應(yīng)用

任 宏

(內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司第三中學(xué)，014030)

絕對(duì)值三角不等式是一類特殊的不等式,它反映的是實(shí)數(shù)和與差的絕對(duì)值和絕對(duì)值的和差之間的關(guān)系,是處理含絕對(duì)值問題的重要工具,在許多問題中都有著重要的應(yīng)用.

一、絕對(duì)值三角不等式的幾何背景

絕對(duì)值三角不等式的幾何背景就是關(guān)于向量的三角不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.實(shí)際上，用向量a，b替換實(shí)數(shù)a,b時(shí)，問題就從一維擴(kuò)展到二維.(1)當(dāng)向量a，b不共線時(shí)，a+b，a，b構(gòu)成三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊可知|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|.(2)當(dāng)向量a，b共線時(shí)，若a，b同向(相當(dāng)于ab≥0)，則|a+b|=|a|+|b|,若a，b反向(相當(dāng)于ab<0)，則|a+b|<|a|+|b|.

二、絕對(duì)值三角不等式的推廣

(1)把三角不等式中的兩個(gè)實(shí)數(shù)相加推廣到兩個(gè)實(shí)數(shù)相減，得到|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

(2)推廣到多個(gè)實(shí)數(shù)相加，則有|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|,當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,…,an同號(hào)或至少有一個(gè)為零其余同號(hào)時(shí)等號(hào)成立.

三、應(yīng)用舉例

1.求解最值問題

絕對(duì)值三角不等式常用來處理與最值有關(guān)的問題,重點(diǎn)是多個(gè)絕對(duì)值之和(差)的問題.在應(yīng)用時(shí),要把a(bǔ)±b變?yōu)槌?shù),同時(shí)等號(hào)能取到.

例1若關(guān)于x的不等式|x-1|-|x+4|≤|t+1|有解，記實(shí)數(shù)t的最大值為T.

(1)求T的值；

解(1)因?yàn)閨x-1|-|x+4|≤|(x-1)-(x+4)|=5,x=-5時(shí)取等號(hào)，故(|x-1|-|x+4|)max=5.

又由|x-1|-|x+4|≤|t+1|有解，可得|t+1|≤5,解得-6≤t≤4.

故實(shí)數(shù)t的最大值T=4.

評(píng)注第(1)問首先利用絕對(duì)值三角不等式求得|x-1-|x+4|的最大值,然后將不等式|x-1|-|x+4|≤|t+1|有解轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的絕對(duì)值不等式求解，從而得到結(jié)論.求解的關(guān)鍵是不要將“不等式|x-1|-|x+4|≤|t+1|有解”與“不等式|x-1|-|x+4|≤|t+1|恒成立”混淆,否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例2已知函數(shù)

f(x)=|x+3|-|x-1|.

(1)解關(guān)于x的不等式f(x)≥x+1;

(2)若f(x)的最大值為M,a>0,b>0,且(a+1)(b+1)=M,求a+b的最小值.

解(1)(-∞,-5]∪[-1,3].(過程略)

評(píng)注第(2)問利用絕對(duì)值三角不等式求得函數(shù)f(x)的最大值M是解題的基礎(chǔ),比分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)解題更簡(jiǎn)便.

2.證明不等式

用絕對(duì)值三角不等式證明不等式時(shí),要對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的式子進(jìn)行分拆、重組、添項(xiàng)、減項(xiàng)等配湊變換,使要證明式子與已知之間聯(lián)系起來,方便解題.

例3已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=1.證明：

(2)略.

(2)求證:f(x)+|x-a2|≥4.

解(1)(-∞,-6)∪(-2,+∞).(過程略)

3.求參數(shù)的取值范圍

利用絕對(duì)值三角不等式求參數(shù)的取值范圍,首先是由絕對(duì)值三角不等式求得最值,然后轉(zhuǎn)化利用最值法來求解.在利用最值法求解時(shí),要注意不等式恒成立和不等式有解這兩者之間的區(qū)別.

例5(2020年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)≥4的解集;

(2)若f(x)≥4,求a的取值范圍.

解(1)略

(2)由絕對(duì)值三角不等式,得f(x)≥|(x-a2)-(x-2a+1)|=|-a2+2a-1|=(a-1)2(當(dāng)且僅當(dāng)2a-1≤x≤a2時(shí)取等號(hào))，所以f(x)min=(a-1)2.

因?yàn)閒(x)≥4,所以f(x)min≥4,即(a-1)2≥4,解得a≤-1或a≥3.

故a∈(-∞,-1]∪[3,+∞).

評(píng)注本題第(2)問是不等式的恒成立問題,在利用絕對(duì)值三角不等式求得f(x)最值后,轉(zhuǎn)化利用最值法求解.不等式恒成立問題求解原理是:若a≥(或>)f(x)對(duì)x∈D恒成立，則a≥(或>)f(x)max;若a≤(或<)f(x)對(duì)x∈D恒成立，則a≤(或<)f(x)min.

例6已知函數(shù)f(x)=|2x+a|-a.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)≤4的解集；

(2)若不等式f(x)-|2x-1|≥3的解集非空，求a的取值范圍.

解(1)[-4,2].(過程略)

(2)f(x)-|2x-1|=|2x+a|-|2x-1|-a.由絕對(duì)值三角不等式，得|2x+a|-|2x-1|≤|(2x+a)-(2x-1)|=|a+1|,所以f(x)-|2x-1|≤|a+1|-a.

因?yàn)閒(x)-|2x-1|≥3的解集非空，即不等式f(x)-|2x-1|≥3有解，所以|a+1|-a≥3,即|a+1|≥3+a.

當(dāng)a+1≥0,即a≥-1時(shí)，a+1≥3+a,有1≥3,不成立.

當(dāng)a+1<0,即a<-1時(shí)，-(a+1)≥3+a,解得a≤-2.

故a的取值范圍為(-∞,-2].

綜上可見,對(duì)于含多個(gè)絕對(duì)值的不等式或最值問題,若能根據(jù)問題特征靈活使用絕對(duì)值三角不等式,可以簡(jiǎn)化問題的求解過程,使問題輕松獲解.