增量代換法求解零點(diǎn)不等式問(wèn)題

王國(guó)軍 吳瑞環(huán)

(河北省石家莊市第二中學(xué)，050000)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的核心工具,在研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中,零點(diǎn)是最為核心和關(guān)鍵的問(wèn)題.近幾年,零點(diǎn)問(wèn)題是高考和模擬考試的熱點(diǎn)問(wèn)題,一類(lèi)涉及函數(shù)零點(diǎn)的不等式備受命題人青睞,成為理所當(dāng)然的把關(guān)壓軸題.學(xué)生對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題并不陌生,也知道需要消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)不等式求解.但如何才能將不能顯性表示的零點(diǎn)表示出來(lái),成為壓倒駱駝的最后一根稻草.本文挑選幾例模擬試題,給出增量代換法表示零點(diǎn)的可操作性過(guò)程,供大家高三復(fù)習(xí)備考.

一、增量法解決零點(diǎn)問(wèn)題的過(guò)程

先用一道高考真題,給出增量代換法解決問(wèn)題的具體過(guò)程.

例1(2010天津高考題)設(shè)函數(shù)f(x)=xe-x,x∈R.若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,求證:x1+x2>2.

分析由已知條件得到一個(gè)方程,且含有超越結(jié)構(gòu),此時(shí)x1,x2無(wú)法具體表示出來(lái);為表示出x1,x2,需要借助x1,x2之間的新的運(yùn)算關(guān)系,構(gòu)造方程組求解.

解不妨設(shè)x1

第一步:引入?yún)?shù)t作為增量.

第二步:用增量表示零點(diǎn)x1,x2.

第三步:將多元不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于增量的一元函數(shù)不等式.

第四步:證明一元函數(shù)不等式,使問(wèn)題獲解.

所以g(t)>2,即x1+x2>2.得證.

二、增量引入的常見(jiàn)方法

1.利用零點(diǎn)之比,引入增量參數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

分析第(1)問(wèn)需對(duì)參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類(lèi)討論;第(2)問(wèn)要能想到對(duì)目標(biāo)不等式取自然對(duì)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用增量代換法處理.

解(1)當(dāng)a≤0時(shí),易見(jiàn)函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)增.

例3已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+2(a∈R)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2.

(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;

解(1)(0，e).(過(guò)程略)

綜上,得證.

2.利用零點(diǎn)之差,引入增量參數(shù)

例4已知a>0,函數(shù)f(x)=xex-ax3+3ax+1.

(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)若函數(shù)f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,x3,且x1

x3+(e2-2e)x2+x1≥e2-e.

(2)易知f′(x)=(x+1)[ex-3a(x-1)].

由(1)可知x1=-1,要證x3+(e2-2e)x2+x1≥e2-e,只需證x3+(e2-2e)x2≥e2-e+1.

令h(t)=(e-1)2t+(et-1)(t-e),其中t>0,則h′(t)=(t-e+1)et+e2-2e,h″(t)=(t-e+2)et.所以當(dāng)0e-2時(shí),h″(t)>0,h′(t)在(e-2,+∞)單調(diào)增.

因?yàn)閔′(0)=e2-3e+1>0,h′(1)=0,故h′(e-2)<0,從而存在唯一t0∈(0,e-2),使得h′(t0)=0.所以當(dāng)00,h(t)單調(diào)增;當(dāng)t01時(shí),h′(t)>0,h(t)單調(diào)增.

又h(0=0,h(1)=0,所以當(dāng)t>0時(shí),h(t)≥0,原不等式成立.

數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化,自然解法也會(huì)千姿百態(tài),用一種方法包打天下是不切實(shí)際的.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)目的之一是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力,在教學(xué)上需要提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,這單靠機(jī)械地刷題和題海戰(zhàn)術(shù)是很難真正實(shí)現(xiàn)的.高三復(fù)習(xí)教師要注重雙基本質(zhì)的挖掘,關(guān)注學(xué)生思維上的短板,充分暴漏自己解題的思維歷程,教給學(xué)生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和程式化的解題過(guò)程.這樣的課堂教學(xué)才真正有助于學(xué)生理解知識(shí)本質(zhì)、掌握基本方法,有利于學(xué)生形成有論據(jù)、有條理的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).