利用基本不等式求最值的常用變形策略

平麗敏

(江蘇省揚州市新華中學(xué)，225009)

“不等式”在新教材蘇教版必修一的第三章,教學(xué)要求是讓學(xué)生再次理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì),進(jìn)而研究基本不等式的證明和應(yīng)用.不等式也是高考的熱點和重點內(nèi)容,能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),其地位舉足輕重.利用基本不等式求最值時應(yīng)具備“一正,二定,三相等”的三個條件,但很多情況下直觀上看問題時都不滿足上述三個條件,需要作適當(dāng)變形,創(chuàng)造條件后再利用基本不等式求解.高一學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時,對如何變形常常感到困惑.本文結(jié)合實例介紹一些常用的變形策略.

一、雙變量問題消元法

分析本題是求和的最小值,但直觀上看問題并不滿足基本不等式的條件,其積不是定值.當(dāng)條件和目標(biāo)的關(guān)系不清晰時,可用消元法減少變量,使關(guān)系更簡單.

評注如果待求式中含有兩個或多個變量,有時可以根據(jù)變量的關(guān)系進(jìn)行消元,達(dá)到減元求解的目標(biāo),化解問題的難點.

二、乘“1”之后代換法

變式若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值.

評注“1”的代換法是湊成基本不等式條件的關(guān)鍵,也是利用基本不等式求最值的常用方法之一.

三、引進(jìn)常數(shù)配湊法

例3已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值為( )

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

分析問題要求和的最小值,但條件不是積為定值,無法直接運用基本不等式求解.若注意到條件等式為二次三項式,因式分解可將條件變形為(x+1)(2y+1)=9的形式,再將目標(biāo)函數(shù)寫成(x+1)+(2y+1)-2的形式,就為利用基本不等式求最值做好了鋪墊工作.

評注為了制造“定值”這一條件,有時需因式分解,有時要根據(jù)已知式和待求式的結(jié)構(gòu)特點用添加法配湊出需要的一個常數(shù).

四、簡化分母換元法

分析目標(biāo)式的分母不是單項式,若把分母看作一個整體,即用換元法,可使目標(biāo)式和條件式的關(guān)系更清晰.

分析注意到分母是二次多項式,分子是一次多項式,要使問題簡化,可把分母分解成兩個一次的乘積,換元后分母就是單項式了,此時利用基本不等式可求解.

評注抓住題目中的結(jié)構(gòu)特征,對分母實施雙換元,就可以利用“1”的代換求出最值.

利用基本不等式求最值,關(guān)鍵在于“拆、拼、湊”,將條件式或者待求式變形為“和或積”為定值.當(dāng)然,每一題目的解法不一定唯一,我們需要盡可能掌握好通性通法,才能以不變應(yīng)萬變.