立足問題情境 凸顯核心素養(yǎng)
——從幾何求值問題談起

王玉宏

(江蘇省揚(yáng)州市教育科學(xué)研究院, 225000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》明確指出:數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用,并凝練提出六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析[1].幾何求值問題以幾何圖形為情境,融幾何、代數(shù)與關(guān)系為一體,很好地體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì),能夠突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,考試評價(jià)的導(dǎo)向作用是明顯的,引領(lǐng)一線的數(shù)學(xué)教學(xué).本文以幾道幾何求值試題為例,分析其如何指向核心素養(yǎng)考查及其教學(xué)啟示,以期發(fā)揮考試評價(jià)的導(dǎo)向作用,對深化課程改革、落實(shí)核心素養(yǎng)發(fā)揮作用.

一、劍指核心素養(yǎng)的幾何求值問題梳理

幾何求值問題大致可分為幾何定值問題和幾何最值問題.

1. 幾何定值問題

(1)靈活運(yùn)用方程模型，解決幾何求值問題

例1如圖1,圓心O在直角梯形ABCD的大底上,半圓與AB,BC,CD相切,已知∠ADC=30°,圓的半徑為R,求梯形的面積S.

例3如圖3,已知?ABC的內(nèi)切圓半徑為3,且AB=BC,頂點(diǎn)B到圓心O的距離為6,內(nèi)切圓與腰AB,BC的切點(diǎn)分別為M,N.求MN的長.

試題評析以上三例均以圓和三角形、四邊形的邊相切為背景,線段的和差關(guān)系、余弦定理、勾股定理、相似三角形是探索求解問題思路的思維基礎(chǔ)，布列方程實(shí)現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化,考查學(xué)生自覺應(yīng)用方程模型解決邊長求值問題的意識和能力,發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

(2)綜合運(yùn)用推理計(jì)算，解決幾何求值問題

例4如圖4,已知圓內(nèi)接梯形ABCD中過點(diǎn)A的直徑AO⊥CD,過點(diǎn)C作CM⊥AD于點(diǎn)M,交圓于點(diǎn)N,若CM∶MN=5∶2,求角α的大小.

2.幾何最值問題

(1)靈活運(yùn)用基本不等式，解決幾何最值問題

例5等腰梯形的底角為60°,面積為2dm2,求最小周長的梯形的高和周長.

思路簡析設(shè)梯形的腰長為a,上底長為b,則周長l=2acos 60°+b+2a+b=3a+2b.

例6若等腰梯形的大底長為m,底角為45°,高為h,且m+h=a,求其面積S的最大值.

試題評析例5例6以等腰梯形為背景,考查學(xué)生自覺應(yīng)用基本不等式解決最值問題的意識和能力.基于梯形相關(guān)的基礎(chǔ)知識和基本技能,希望學(xué)生能夠在熟悉和關(guān)聯(lián)的情境中,設(shè)置尋找量的關(guān)聯(lián),用代數(shù)語言合理地表達(dá)已知量和未知量,自覺關(guān)聯(lián) “基本不等式”,應(yīng)用基本不等式等環(huán)節(jié)步步推進(jìn),層層深入,合理選擇運(yùn)算方法解決問題.有效考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

(2)靈活運(yùn)用函數(shù)模型，解決幾何最值問題

試題評析本題以周長取最大值為過渡性結(jié)論引導(dǎo)問題求解，揭示了動態(tài)幾何的本質(zhì)，對學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)提出較高要求.雖然運(yùn)動過程中一個量的變化必然帶來其它量的變化，其中必然存在著函數(shù)關(guān)系，但此關(guān)系的建立仍需準(zhǔn)確利用平面幾何中全等形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等，幾何情境仍是產(chǎn)生解題活動的重要條件.綜合利用圖形的數(shù)量的關(guān)系，在將幾何與函數(shù)建立聯(lián)系并求解過程中，函數(shù)關(guān)系要學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，函數(shù)模型要學(xué)生自主建構(gòu)，最后自覺應(yīng)用函數(shù)問題，直觀想象素養(yǎng)的考查也達(dá)到了較高水平.

二、上述幾何求值問題的教學(xué)啟示

1. 以學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展為目的，精心設(shè)計(jì)問題情境

問題情境指個體面臨的數(shù)學(xué)問題和它所具有的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)所構(gòu)成的系統(tǒng).合適的問題情境,既要緊扣教學(xué)目標(biāo)、適合學(xué)生的認(rèn)知水平,靠近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),又要具有較豐富的數(shù)學(xué)信息,形式盡可能地生動直觀,易于理解.從數(shù)學(xué)內(nèi)部看,幾何、代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題的天然情境來源,如本文前述的問題均以數(shù)學(xué)內(nèi)部的平面幾何知識為情境；從外部看,日常生活、自然科學(xué)、社會科學(xué)等都可以成為數(shù)學(xué)問題的情境來源.比如,近幾年高考題經(jīng)常以數(shù)學(xué)歷史和文化為背景設(shè)計(jì)考題就是有益的嘗試.當(dāng)然,問題情境應(yīng)該要激發(fā)外部問題和內(nèi)部知識經(jīng)驗(yàn)條件的恰當(dāng)程度的沖突,使之引起最強(qiáng)烈的思考動機(jī)和最佳的思維定向?yàn)榛鶞?zhǔn).從落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度,又要注意在獲取數(shù)學(xué)知識的同時體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程.汪秉彝等于2000年在中國貴州地區(qū)開展了“設(shè)置數(shù)學(xué)情境——提出數(shù)學(xué)問題”教學(xué)的實(shí)驗(yàn)工作,積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),可以借鑒.

2. 以學(xué)生自覺運(yùn)用情境為目標(biāo)，深化問題情境教學(xué)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在一定情境下自主運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識技能和思想方法解決實(shí)際問題的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì),情境是學(xué)生核心素養(yǎng)形成、發(fā)展和表現(xiàn)的載體.在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中所獲得的知識和技能,之所以無法遷移到實(shí)際應(yīng)用中去,原因之一就是缺少數(shù)學(xué)和實(shí)際應(yīng)用的鏈接.

生活中,在交警的指揮下不闖紅燈是不能真實(shí)體現(xiàn)行人的文明素養(yǎng)的,只有在夜深人靜、無人看管的情境下依然在自覺地等紅燈,才能真實(shí)體現(xiàn)行人的文明素養(yǎng).由此說明,情境和自覺是素養(yǎng)外顯展示的關(guān)鍵.同樣的道理,自覺應(yīng)用是學(xué)生核心素養(yǎng)真實(shí)表現(xiàn)的關(guān)鍵.因此,問題的設(shè)計(jì)不應(yīng)鋪墊、暗示過多,應(yīng)有利于學(xué)生真實(shí)展示自主檢索、選擇所學(xué)知識技能和思想方法解決實(shí)際問題的能力,如以例7函數(shù)建模為例,未來生產(chǎn)生活或科學(xué)研究中遇到實(shí)際問題,不會有人告訴或指令學(xué)生“這個問題里面有函數(shù)關(guān)系”“這個問題要先建立××與××之間的函數(shù)”,學(xué)生遇到實(shí)際問題時首先要能自主發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中變量之間的依賴關(guān)系,從而主動構(gòu)造函數(shù)去解決問題[2],這樣才能真正培養(yǎng)、真實(shí)測評學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3.發(fā)揮幾何學(xué)的育人功能，充分開發(fā)數(shù)學(xué)問題的幾何情境

平面幾何作為數(shù)學(xué)的一分支,她的包羅萬象性、綜合性、趣味性、思考性等足以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵和博大精深.很多國家出現(xiàn)幾何運(yùn)算化的同時,卻增加了幾何問題的出現(xiàn)頻率.俄羅斯莫斯科大學(xué)的入學(xué)考試,五道高考題中總有一道是以平面幾何面目出現(xiàn)的綜合問題.日本從東京大學(xué)的入學(xué)試題中,平面幾何與三角、代數(shù)的綜合問題也出現(xiàn)很多.事實(shí)上,從生活的角度來看,人們接觸更多的數(shù)學(xué)對象屬幾何范疇.從上面的幾道指向核心素養(yǎng)考查的幾何求值問題可以看出,數(shù)學(xué)情境特別是幾何情境是核心素養(yǎng)考查的重要載體,數(shù)學(xué)教學(xué)要重視幾何情境的設(shè)計(jì)和應(yīng)用.在初中數(shù)學(xué)平面幾何邏輯推理要求有所降低的背景下,加大平面幾何在高中學(xué)段教學(xué)中的權(quán)重、考試中提高幾何的運(yùn)用頻率,有意識地以“平幾”為情境命制綜合問題,無論對提升學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力,還是對引導(dǎo)一線教學(xué)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都是有益的.