一類遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步

阮澤宇 胡軍浩 梅 俊

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種非線性電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[1],近年來(lái)得到了廣泛的研究與關(guān)注,并被成功地應(yīng)用于各種領(lǐng)域,如聯(lián)想記憶[2]、圖像處理[3]和模式識(shí)別[4].神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠模擬大腦,為超級(jí)人工智能神經(jīng)計(jì)算機(jī)奠定了基礎(chǔ).在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際應(yīng)用中,其系統(tǒng)穩(wěn)定性和同步現(xiàn)象是一個(gè)非常重要的動(dòng)力學(xué)行為,受到了許多學(xué)者的關(guān)注和研究.學(xué)者們提出了許多有效的控制方法研究神經(jīng)動(dòng)力系統(tǒng),如自適應(yīng)控制[5-6]、滑模控制[7-8]、脈沖控制[9-10]等.

間歇控制是介于連續(xù)反饋控制和脈沖控制之間的一種不連續(xù)控制.同連續(xù)反饋控制相比,能有效降低控制成本[11];同脈沖控制相比,能提高控制性能.因此,間歇控制作為一種間斷控制方法,具有成本效益高、控制能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).該控制方法的工作原理是將工作時(shí)間分為兩部分:控制區(qū)間和非控制區(qū)間,在控制區(qū)間工作,在非控制區(qū)間關(guān)閉.

間歇控制作為一種典型的時(shí)間觸發(fā)控制策略,其控制區(qū)間是預(yù)設(shè)的,而事件觸發(fā)只有在系統(tǒng)狀態(tài)滿足觸發(fā)條件時(shí)才進(jìn)行各種操作,可以有效降低通信帶寬,節(jié)約能源.事件觸發(fā)控制更符合實(shí)際情況,可以避免資源浪費(fèi).因此,事件觸發(fā)間歇控制[12]可以在不同程度上克服時(shí)間觸發(fā)控制的一些缺陷.

有限時(shí)間同步[13-14]具有較強(qiáng)的抗干擾能力,收斂速度快,控制效率高.上述文獻(xiàn)主要研究指數(shù)或漸近同步,很少有文獻(xiàn)研究事件觸發(fā)間歇控制的有限時(shí)間同步,所以研究基于事件觸發(fā)控制的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義.

符號(hào)說(shuō)明:R 表示實(shí)數(shù)空間,Rn,Rn×m分別表示n維歐式空間和n×m實(shí)矩陣空間;PT表示P的轉(zhuǎn)置;矩陣P＞0表示P為正定矩陣;‖·‖表示歐幾里得范數(shù);λmax(A),λmin(A)分別表示矩陣A的最大,最小特征值;N 表示自然數(shù)集合.

1 模型描述與準(zhǔn)備知識(shí)

考慮如下由電子線路實(shí)現(xiàn)的Hopfied遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

其中在電路網(wǎng)絡(luò)中,xi(i=1,2,…,n)表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的輸入電壓;Ci為第i個(gè)神經(jīng)元的細(xì)胞膜輸入電容;Ri為跨膜電阻;Rij=(bij)-1為確定阻抗為放大器的輸出電壓;wi為外加偏置電流.

可以改寫(xiě)為如下形式:

其矩陣形式為:

其中:x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量;xi(t)(i=1,2,…,n)為第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài);B=(bij)n×n∈Rn×n是連接權(quán)重矩陣;A=diag(a1,…,an)∈Rn×n(t),…(xn(t)))T∈Rn為神經(jīng)元的激活函數(shù),是連續(xù)的;w(t)為外部輸入.

將遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)作為驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò),其響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)為:

其中:A,B,w(t)在方程(1)中定義;y(t)為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)向量;u(t)為控制輸入.

定義e(t)=y(t)-x(t),則得到如下誤差系統(tǒng)的狀態(tài)方程:

其中:f(e(t))=

因此,遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)和(2)的有限時(shí)間同步問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)(3)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題.

定義1對(duì)于驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2),若存在一個(gè)常數(shù)T*＞0,使得:

并且對(duì)于任意t＞T*都有‖yi(t)-xi(t)‖2≡0,則驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步,常數(shù)T*為穩(wěn)定時(shí)間.

假設(shè)2[15]:對(duì)于非周期間歇控制策略,存在0＜ω＜v＜∞,使得

其中,k∈N,tk,sk是時(shí)間序列.對(duì)于任一時(shí)間區(qū)間[tk,tk+1],[tk,sk)是控制區(qū)間,(sk-tk)為第k個(gè)控制寬度;[sk,tk+1)是非控制區(qū)間,(tk+1-sk)為第k個(gè)非控制寬度.

定義2[15]對(duì)于非周期間歇控制策略,定義

引理1[15]基于假設(shè)2,θ≤1-成立.

引理2[16]假設(shè)任意向量a1,a2,…,an∈Rn,實(shí)數(shù)n和0＜p＜2滿足

在這個(gè)不等式中,當(dāng)n=1時(shí)可以用絕對(duì)值表示.

引理3[17]假設(shè)V(t)是一個(gè)連續(xù)可微的正定函數(shù),α0＞0,α1＞0,α2＞0和μ∈(0,1),當(dāng)t∈[0,∞)時(shí),滿足如下條件:

其中,θ在定義2中給出,T*是收斂時(shí)間.則可得

引理4對(duì)于事件觸發(fā)間歇控制,控制瞬間tk和休息瞬間sk由事件觸發(fā)規(guī)則決定,tk和sk如下定義:

其中:V(t)是一個(gè)連續(xù)可微的正定函數(shù).μ,α1,α2和M0在引理3中定義,∈(0,1),h＞1和ωk∈(0,1)滿足:

因此,當(dāng)以下條件成立時(shí),將觸發(fā)控制事件

因此,當(dāng)以下條件成立時(shí),將觸發(fā)控制事件

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,可以得到事件觸發(fā)規(guī)則.

證畢.

2 主要結(jié)果

設(shè)計(jì)如下非周期間歇控制器:

其中:l1,l2＞0為控制增益.

將非周期間歇控制器代入誤差系統(tǒng)得:

定理1若假設(shè)1成立,ξ,β＞0,如果存在正常數(shù)α0,α1,α2,d＞0使得下列條件成立:

其中,θ定義在定義2中.

基于事件觸發(fā)的間歇控制策略,誤差系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定,并且Zeno現(xiàn)象沒(méi)有出現(xiàn).穩(wěn)定時(shí)間T*滿足:

證明考慮下面的Lyapunov函數(shù):

當(dāng)t∈[tk,sk),k∈N,由式(5)可得式(6)沿誤差系統(tǒng)(5)的軌跡對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)如下:

根據(jù)假設(shè)1,可得:

其中,b=max{bij}.

根據(jù)引理2,可得:

將式(10)和式(11)代入式(9),得:

根據(jù)式(12)以及條件(Ⅰ),可得:

當(dāng)t∈[sk,tk+1),k∈N,由式(5)可得式(6)沿誤差系統(tǒng)(5)的軌跡對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)如下:

根據(jù)式(10),有

根據(jù)式(15)以及條件(Ⅱ),可得:

因此,根據(jù)引理3,可以得到穩(wěn)定時(shí)間為:

根據(jù)引理4中的事件觸發(fā)規(guī)則,對(duì)于任何k∈N,當(dāng)

根據(jù)條件(Ⅳ),可得:

最后,根據(jù)條件(Ⅲ),可得:

即,Zeno行為不可能發(fā)生.

證畢.

注1:本文根據(jù)事件觸發(fā)間歇控制實(shí)現(xiàn)了一類特殊非線性電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)—遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步,本文提出的基于有限時(shí)間間歇控制方法的事件觸發(fā)間歇控制策略不同于大多數(shù)論文中的事件觸發(fā)間歇控制[18-19].

3 數(shù)值仿真

對(duì)于誤差系統(tǒng)(3),考慮如下參數(shù):

系統(tǒng)(1)的初值為:

繪出系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的軌跡圖,如圖1所示.可以看出,如果不施加控制器,系統(tǒng)(1)是不穩(wěn)定的.

圖1 未加入控制器的系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)間響應(yīng)

驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)的初值分別為:

取l1=2.2,l2=1.7660,α0=4.97,α1=2.78,α2=2,μ=,則有

定理1的條件成立,則知驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和其響應(yīng)系統(tǒng)(2)在控制器(4)下實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步.

在控制器(4)下,圖2描述了誤差系統(tǒng)(3)的軌跡圖.從圖2可以看出,誤差系統(tǒng)的狀態(tài)變量在有限時(shí)間內(nèi)趨向于零平衡點(diǎn),即驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步.

圖2 基于事件觸發(fā)控制器的誤差系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)

圖3描繪了事件觸發(fā)瞬間以及間歇控制的控制區(qū)間和非控制休息區(qū)間,圖中的點(diǎn)表示事件觸發(fā)瞬間.圖3的縱坐標(biāo)值為1時(shí),表示為控制區(qū)間,為0時(shí)表示非控制區(qū)間.

圖3 事件觸發(fā)瞬間以及間歇控制的控制區(qū)間和非控制休息區(qū)間

4 結(jié)論

對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間同步問(wèn)題,不少文獻(xiàn)已經(jīng)進(jìn)行了深入研究.但是,至今還沒(méi)有人研究事件觸發(fā)間歇控制的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間同步.因此,本文將事件觸發(fā)機(jī)制引入非周期間歇控制方法,提出事件觸發(fā)間歇控制方法實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步.首先,設(shè)計(jì)了一個(gè)間歇控制器,根據(jù)有限時(shí)間穩(wěn)定性的證明提出事件觸發(fā)規(guī)則.然后利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論,獲得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間同步的充分條件.最后,通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了結(jié)果的有效性.仿真結(jié)果表明,在提出的事件觸發(fā)間歇控制策略下,驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間同步.