2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第20題解法探究*

湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 (411100) 鄧思茂 陳佘喜

立體幾何是歷年高考的必考題型，2021年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第20題，延續(xù)歷年高考的考點(diǎn)和難度，主要考查學(xué)生直觀想象等核心素養(yǎng)，該題從三棱錐出發(fā)，考察學(xué)生對(duì)于空間點(diǎn)、線、面的掌握情況，同時(shí)又對(duì)空間角和立體圖形的體積都有一定的涵蓋.

一、真題展示與評(píng)析

(2021新高考全國(guó)Ⅰ卷20題)如圖1，在三棱錐中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，

圖1

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角的大小為45°，求三棱的體積.

評(píng)析：該題借助三棱錐考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直，直線的位置關(guān)系，空間二面角，立體圖形的體積等知識(shí)點(diǎn).第一問(wèn)考查平面與平面垂直、直線與平面垂直的性質(zhì)定理，第二問(wèn)欲求三棱錐的體積，實(shí)質(zhì)上由已知條件容易求出底面△BCD的面積，即求三棱錐的高，然而題目給出的條件中似乎只有二面角能與高聯(lián)系起來(lái)，于是該題實(shí)際上求的是通過(guò)已知的二面角求出高.這與歷年高考求二面角有一定的變化，也是2021年新高考的創(chuàng)新點(diǎn)，但是內(nèi)容變化不大，即求二面角的各種方法，常用的有定義法、三垂線法、垂面法、射影面積法，其中垂面法是我們主要用的方法，射影面積法在新版教材中沒(méi)有介紹，這需要學(xué)生在日常練習(xí)中熟悉，這也體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生要求的自主學(xué)習(xí)的理念.

二、解法探究

(1)證明：在三角形ABD中AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以三角形ABD為等腰三角形，則AO⊥BD，而B(niǎo)D為平面ABD和平面BCD的交線，又平面ABD⊥平面BCD，AO平面ABD，所以AD⊥平面BCD，而CD平面BCD，由線面平行的性質(zhì)定理可得OA⊥CD.

圖2

評(píng)析：在用垂面法求平面與平面所成二面角余弦值的一般步驟為，建立合適的坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、寫(xiě)出兩個(gè)平面的法向量，如果法向量不能直接看出，可以通過(guò)法向量與平面內(nèi)兩相交向量垂直求得、將所得的余弦值轉(zhuǎn)化為二面角的角度，特別需要注意的是如果二面角為鈍角所得值要取絕對(duì)值、最后精確得出二面角的值.

圖3

評(píng)析：利用三垂線法求二面角的一般步驟為：在平面內(nèi)選一點(diǎn)，向另一個(gè)平面作垂線，得到垂足、再通過(guò)垂足向交線坐垂線，得到交點(diǎn)，連接交點(diǎn)與定點(diǎn)、其角度就為二面角，運(yùn)用此方法找二面角特別要注意定點(diǎn)的位置，和與底面垂直的垂足.

圖4

評(píng)析：利用射影面積法求二面角的一般步驟為，由二面角的定義找出射影三角形、其比例為二面角的余弦值，該方法是三垂線法的延伸，適用于二面角不為一個(gè)特定的角度時(shí).

結(jié)語(yǔ)：2021年新高考第20題的解法具有多元靈活的特點(diǎn)，本文介紹的解法中解法2及解法3明顯較平常很常用的垂面法(向量法)要簡(jiǎn)便，學(xué)生在做立幾題時(shí)要靈活選用不同的方法，不宜循規(guī)蹈矩，教師教學(xué)時(shí)也要選擇多種方法教學(xué)，由此培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，以便快速、準(zhǔn)確的解決問(wèn)題.