一個(gè)圓錐曲線雙斜率問題的統(tǒng)一解法

浙江省寧波市北侖中學(xué) (315800) 吳文堯

在圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題中，常涉及以下問題：過圓錐曲線T上一定點(diǎn)Q作曲線T的兩動(dòng)弦QA,QB,若直線QA,QB的斜率積(和)為定值，則直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).我們不妨稱之為“雙斜率”問題，筆者研究發(fā)現(xiàn)解決這個(gè)問題的統(tǒng)一解法，現(xiàn)介紹如下，供大家參考.

一、引理和定理

引理設(shè)P1,P2是曲線T:Ax2+Cy2+Dx+Ey=0(其中A+C≠0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP1,OP2的斜率分別為k1,k2，則

定理設(shè)Q(x0,y0)是圓錐曲線T:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上的定點(diǎn)，P1,P2是曲線T上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線QP1,QP2的斜率分別為k1,k2，則

二、應(yīng)用舉例

分析：由于橢圓的方程為x2+4y2-4=0,點(diǎn)P(0,1),即A=1,C=4,D=E=0,x0=0,y0=1,p=-1,由定理可知,直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)(2,-1),若掌握引理及定理的證明方法,則不難得到以下解法.

評(píng)注：由本題的解法，可總結(jié)得到解決這類問題的解題程序如下：

(1)平移——作坐標(biāo)系的平移，使曲線T上的定點(diǎn)恰為新坐標(biāo)系的原點(diǎn).曲線T的方程必是常數(shù)項(xiàng)為零的二元二次方程.

(3)使用——運(yùn)用韋達(dá)定理及兩動(dòng)弦斜率的關(guān)系得到關(guān)于m,n的一個(gè)方程.

(4)定點(diǎn)——由直線方程mx′+ny′=1結(jié)合m,n的關(guān)系式得到目標(biāo)直線經(jīng)過的定點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo).

(5)回歸——利用坐標(biāo)平移公式,得到目標(biāo)直線經(jīng)過的定點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo).

評(píng)注：解決本題的關(guān)鍵是能否看清問題的本質(zhì)所在,從結(jié)論出發(fā),不難發(fā)現(xiàn)只需證明點(diǎn)D恰在一個(gè)以定點(diǎn)Q為圓心的定圓上,若對(duì)定理比較熟悉,則從條件出發(fā)很容易發(fā)現(xiàn)動(dòng)直線MN必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),從而實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的“無縫對(duì)接”，解題的思路就顯得自然，解題的過程也顯得簡(jiǎn)潔.

圖1

分析：不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P在直線x=6上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PA,PB(DB)斜率的比值為定值，又注意到直線DB,DA斜率的積為定值，所以可得直線AC,AD的斜率的積為定值,從而問題就化歸為運(yùn)用定理可解決的問題了.

評(píng)注：復(fù)雜的問題往往是由若干個(gè)簡(jiǎn)單的問題組合而成的,所以把復(fù)雜問題進(jìn)行必要的分解是解決復(fù)雜問題的有效途徑之一,上述解法從“直線AC和直線BD的斜率的比為定值”，、“直線AD和直線BD的斜率的積為定值”到“直線AC和直線AD的斜率的積為定值”,最終化歸為基本類型的問題，從而使問題得到解決.

圓錐曲線問題成為難點(diǎn)的一個(gè)重要原因是學(xué)生過不了“運(yùn)算關(guān)”，造成這一現(xiàn)象不外乎以下兩方面的原因，其一是運(yùn)算能力，特別是字母演算能力有待提高；其二是由于方法選擇不恰當(dāng)，把簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化，陷入繁雜的運(yùn)算而不能自拔.所以在提高運(yùn)算能力的基礎(chǔ)上，掌握一些簡(jiǎn)化運(yùn)算的招式,縮短解題的“長(zhǎng)度”顯得很有必要,上述介紹的構(gòu)造齊次方程、利用坐標(biāo)平移是簡(jiǎn)化運(yùn)算重要手段之一.