老師，這樣做是否更簡(jiǎn)潔？
——一道立體幾何問(wèn)題的求解

福建省福清第三中學(xué)高二6班 (350315) 魏佳雪 何 燈(指導(dǎo)教師)

2021年10月初，我校高二年進(jìn)行了第一次的月考，數(shù)學(xué)單選的壓軸題是一道空間線面成角余弦值的取值范圍求解問(wèn)題.在評(píng)講試卷的時(shí)候，老師利用建系給出了該問(wèn)題的一個(gè)解法，本人覺(jué)得老師的解法雖然常規(guī)，但是運(yùn)算量較大，事實(shí)上，利用圖形之間存在的相關(guān)關(guān)聯(lián)，不需要太繁雜的計(jì)算，就能求解出該題.下面展示試題及其兩個(gè)解法.

試題已知E、F、O分別是正方形ABCD邊BC、AD及對(duì)角線AC的中點(diǎn)，將三角形ACD沿著AC進(jìn)行翻折構(gòu)成三棱錐，則在翻折過(guò)程中，直線EF與平面BOD所成角的余弦值的取值范圍為( ).

圖1

解法一(老師的解法)：由于OC⊥OB,OC⊥OD，且OB∩OD=O，所以O(shè)C⊥平面BOD，所以平面ABC⊥平面BOD.在平面BOD內(nèi)過(guò)O點(diǎn)作l⊥OB，因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BOD，且平面ABC∩平面BOD=OB，所以l⊥平面ABC.

解法二(本人的解法)：如圖2所示，分別取AD、AO、AB中點(diǎn)H、M、G，連接FH、FM、FG、HG、GE.由于HG//BO，所以HG//平面BOD，同理可證FG//平面BOD，又HG∩FG=G，所以平面GHF//平面BOD，則直線EF與平面GHF所成的角等于為直線EF與平面BOD所成的角.因?yàn)镺C⊥OB,OC⊥OD，且OB∩OD=O，所以O(shè)C⊥平面BOD，又平面GHF//平面BOD，所以O(shè)C⊥平面GHF，再結(jié)合GE//OC可得GE⊥平面GHF，所以∠EFG為直線EF與平面GHF所成的角.

圖2

解題感悟：王安石在《游褒禪山記》中有這樣的感悟：“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.對(duì)于我們的解題而言，在正確求解的前提下，如能勤反思、善總結(jié)，往往能夠獲得“非常之觀”，從而有利于我們水平的提升.

指導(dǎo)教師點(diǎn)評(píng)：魏佳雪同學(xué)的解法較常規(guī)解法(建系)來(lái)說(shuō)，思維量較大，需要構(gòu)造5條輔助線，但正因?yàn)樗嘞肓艘徊?，?duì)題中的圖形與數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了充分的理解，所以避免了繁雜的計(jì)算，簡(jiǎn)化了整個(gè)問(wèn)題求解過(guò)程.

在教學(xué)過(guò)程中，教師可以嘗試通過(guò)具體的問(wèn)題情境，讓學(xué)生充分經(jīng)歷問(wèn)題的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、尋找策略、形成計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃等認(rèn)知活動(dòng)和反思總結(jié)等元認(rèn)知活動(dòng)，在活動(dòng)中明晰算理、拓展思維、積累經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).