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    讓數(shù)學(xué)教學(xué)自然生成

    2022-05-08 04:22:46福建省長汀一中366300付禮福
    關(guān)鍵詞:通項變式單調(diào)

    福建省長汀一中 (366300) 付禮福

    許多學(xué)生到高中后就感到數(shù)學(xué)更難學(xué),更加抽象,知識更嚴謹,更加深奧難懂.數(shù)學(xué)給人以冷冰冰的、枯燥無味的感覺.事實上,高中數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),只有鉆進去了才能感受到它是冰冷的美麗.它有簡單美、對稱美、曲線美、和諧美、自然美.數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)展示數(shù)學(xué)自然、精彩、美麗的本來面目,讓數(shù)學(xué)來得更自然一些.只有在符合認知規(guī)律的自然生態(tài)下,學(xué)生的素養(yǎng)才能得到有效發(fā)展.

    一、知識的產(chǎn)生要自然

    數(shù)學(xué)來源于生活實際,又應(yīng)用于生活.數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展都是自然的與合理的.完美的數(shù)學(xué)符號、概念、法則、定理,是數(shù)學(xué)界長期自然、合理進化的結(jié)果.

    學(xué)習(xí)的目的是運用、創(chuàng)新,建立知識結(jié)構(gòu)框架,是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)概念、公式、法則是學(xué)好數(shù)學(xué),解決數(shù)學(xué)問題的前提和基礎(chǔ).自然合理的才容易讓人接受、理解,強塞硬灌的東西會被排斥.教學(xué)時,要注重概念的形成過程,公式的推導(dǎo)過程,讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)的必要性和意義,并且要抓住知識間的內(nèi)在聯(lián)系,讓抽象知識直觀化、具體化,自然而然地生成.

    比如,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)概念之后學(xué)習(xí)的第一個重要性質(zhì),是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念.這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變,對高一學(xué)生來說是難點.我通過提出下列問題,讓學(xué)生思考,體驗函數(shù)單調(diào)性概念的自然生成.

    問題1 怎樣用數(shù)學(xué)符號語言刻畫“y隨x的增大而增大”,“y隨x的增大而減小”這個特征?

    答:當(dāng)x1y2.

    問題2 為什么要在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)x1、x2?

    答:體現(xiàn)數(shù)的增大,至少要兩個值,設(shè)為x1、x2,且x1

    問題3 在給定區(qū)間內(nèi)僅取兩個數(shù)x1、x2能足夠說明“x增大,y也隨之增大” 這個特征嗎?

    答:舉一反例y=x2,取x1=-1,x2=2,由x1

    學(xué)生通過足夠的時間思考、辨析,舉反例等,對概念本質(zhì)的理解更加深入,函數(shù)的單調(diào)性概念基本成型.乘勢追問:

    問題4 如果在給定的某個區(qū)間內(nèi),函數(shù)的圖象從左到右一直是上升的,我們就說該函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù).你能否敘述單調(diào)增函數(shù)的定義?

    至此,函數(shù)的單調(diào)性概念算是水到渠成了,再通過應(yīng)用加以鞏固、深化和提高.再如人教A版(2019)三角函數(shù)一章,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,之間隔了一個三角恒等變換,這給圖象學(xué)習(xí)帶來不便,不自然,應(yīng)調(diào)整順序.

    二、思維過程要自然

    思維的產(chǎn)生源于問題,對問題進行觀察、分析、綜合、判斷、推理等認識活動過程就是思維,是一種習(xí)慣性的思考方式.思維要靈活、嚴密、完整、有序,思維過程要自然,合情合理,不能詭異、突然的,大跨度的跳躍會讓人莫名奇妙,就象變魔術(shù),無法接受和理解.解決問題的一般思維程序是“審題→聯(lián)想→嘗試→反思”,明確目標(biāo),“由已知想可知”的正向推理,或“由未知想需知”的逆向思考,或“兩面夾攻”,不斷嘗試,調(diào)整思路,直至思維貫通.若思路不通或麻煩,則可嘗試把問題等價轉(zhuǎn)化,換一種形式再思考.如AB中點為M,AB=2OM,意即OA⊥OB.

    教學(xué)中,必須暴露“怎么想,為什么會這樣想的”,思維自然形成的過程,包括嘗試、碰壁、再嘗試的過程,引導(dǎo)學(xué)生思考探索,啟發(fā)思維.老師的包辦代替會扼殺學(xué)生思維,強塞硬灌只會增加學(xué)生思維惰性.要讓學(xué)生有饑餓感,迫切感,如饑似渴的學(xué)習(xí).讓學(xué)生限時訓(xùn)練,增強緊迫感,思維才會有效果.課堂教學(xué)的過程要精心“預(yù)設(shè)”,更要關(guān)注動態(tài)“生成”.適時引導(dǎo)、點撥、追問、解惑.課堂上要注意師生、生生的交流互動,互教互學(xué),互相啟發(fā),讓思維碰撞,迸發(fā)出智慧的火花,從而“站在巨人肩膀上攀登”,實現(xiàn)合作共贏,共同發(fā)展.

    圖1

    圖2

    例2 (2021新高考全國Ⅰ卷)如圖2,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點.

    (1)證明:AO⊥CD;

    (2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形,點E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

    分析:(1)逆向思考方便,要證線線垂直,只需證線面垂直,那么證哪條線與哪個平面垂直好呢?觀察圖形,結(jié)合已知,易知應(yīng)去證AO⊥平面BCD,轉(zhuǎn)化為只要證AO垂直于兩個垂直平面的交線BD,而這易得,從而問題得證.

    圖3

    三、解法思路要自然

    教師的作用是啟思導(dǎo)學(xué),“授人以漁”,進行激勵、喚醒、引領(lǐng).學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題,解題的目的是鞏固和加深對數(shù)學(xué)知識的理解,提高思維能力.在解決問題過程中,要引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位、多層次的思考,尋找解決的線索或路徑,并注意整理思路,使“條理清楚,邏輯嚴密,步步有據(jù),思路清晰,規(guī)范簡潔”.

    教學(xué)是師生的共同活動,“教學(xué)做合一”,教學(xué)生學(xué),在做中教,在做中學(xué),在做中感悟.“做”是核心,在做中融會貫通,靈活運用.解題思路要自然而然地展開,把復(fù)雜的東西簡單化,難理解的東西通俗化,弄懂“為什么這樣想”,找到更適合學(xué)生的自然解法,從而實現(xiàn)模仿到創(chuàng)新.

    例3 (2016全國Ⅰ卷理)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

    (1)求a的取值范圍;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2.

    (1)解法1:(對參數(shù)分類討論)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

    (i)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點x=2,不符合題意.

    (ii)設(shè)a>0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.又f(1)=-e<0,f(2)=a>0,當(dāng)x→-∞時,f(x)→+∞,此時f(x)存在兩個零點,符合題意.

    圖4

    (2)證法1:由解法1知f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,由(1)結(jié)果不妨設(shè)x1<1f(2-x2),∵f(x1)=f(x2),即證f(x2)>f(2-x2).設(shè)h(x)=f(x)-f(2-x),x>1,則問題等價于證h(x)>0.∵h(x)=(x-2)ex+xe2-x,∴h′(x)=(x-1)(ex-e2-x).∴當(dāng)x>1時,ex-e2-x>0,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,h(x)>h(1)=0,從而原問題得證.

    四、問題變式要自然

    教學(xué)不僅是傳授學(xué)生知識,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,進行思想引領(lǐng).在課堂教學(xué)中,應(yīng)抓住思維訓(xùn)練這條主線,進行變式教學(xué),通過問題驅(qū)動,激發(fā)學(xué)生去思考、創(chuàng)新.變式就是改變問題的條件或結(jié)論,變換問題的形式或內(nèi)容,一般化或特殊化,得到新問題,激勵學(xué)生進行重新思考,會從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)或規(guī)律,加深對知識的理解,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力,切實從題海中走出來,實現(xiàn)真正的減負與增效.

    變式要有針對性,要適度讓學(xué)生參與.可以通過一些過渡性的語言,比如“還能求什么呢”“如果把這些條件稍微改一下,還能得到這個結(jié)果嗎”,變式自然地生成,讓學(xué)生清楚的認識到教師是怎樣進行變式的,培養(yǎng)思維的靈活性、發(fā)散性,提高思維能力.

    例4 已知數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=an+2n,求數(shù)列{an}的通項an.

    目的是讓學(xué)生掌握累加法求數(shù)列的通項,條件改為下面時呢?

    變式1 已知數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=an+2,求數(shù)列{an}的通項an.

    就是用公式法求數(shù)列的通項,條件改為下面時呢?

    變式2 已知數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=3an+2,求數(shù)列{an}的通項an.

    就是要會用構(gòu)造法求數(shù)列的通項,條件改為下面時呢?

    變式3 已知數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=3an+2n,求數(shù)列{an}的通項an.

    這也是用構(gòu)造法求通項,還有別的方法嗎?

    法3:已知兩邊同加2n+1,變?yōu)閍n+1+2n+1=3(an+2n)形式,化為等比數(shù)列,再做.

    總之?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)抓住一切機會和環(huán)節(jié),努力創(chuàng)造更自然、更合理、更有效的數(shù)學(xué)教學(xué),確實提高學(xué)生思維的主動性、深刻性和流暢性.在教學(xué)過程中,不失時機地滲透思想教育,使學(xué)生在學(xué)習(xí)時有勇于嘗試探索,敢拼敢闖的精神;懂得取其精華,去其糟粕,批判地繼承;會辯證地分析問題,不唯師,不唯書,不迷信盲從,學(xué)會理性思維,靈活創(chuàng)新運用所學(xué).

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