一道高考模擬題解題教學(xué)設(shè)計研究
——突破“觀念性疑難”與“技術(shù)性疑難”的視點

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (235000) 張 昆 李嘉揚

在文[1]中，筆者提出數(shù)學(xué)解題中的兩種不同性質(zhì)的疑難：“觀念性疑難”與“技術(shù)性疑難”.眾所周知，探究數(shù)學(xué)解題思路是一種有預(yù)謀的行為活動，任何一種有預(yù)謀的行為活動都需要在具體的觀念指令下進(jìn)行，因此，所謂“觀念性疑難”就是解題主體在探究解題思路時，萌生不出合適的數(shù)學(xué)觀念指令所導(dǎo)致的疑難；所謂“技術(shù)性疑難”，指的是當(dāng)解題主體通過分析具體數(shù)學(xué)問題信息的特點，萌生出了合適的數(shù)學(xué)觀念，形成了指導(dǎo)行為活動指令，但在使用這種行為活動指令操作具體的數(shù)學(xué)問題信息時，在某些具體的環(huán)節(jié)上，操作行為活動得不到具體的執(zhí)行所出現(xiàn)的疑難，就是說，合適的數(shù)學(xué)觀念不同通過執(zhí)行操作性技術(shù)手段得以實現(xiàn)的疑難.

在對具有一定疑難的數(shù)學(xué)問題的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施中，“觀念性疑難”與“技術(shù)性疑難”是兩種不同性質(zhì)、不同層次的疑難.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該依據(jù)具體數(shù)學(xué)問題的特點，找出這個具體問題的“觀念性疑難”與“技術(shù)性疑難”，理解這兩項疑難之間的關(guān)系，然后，以突破這兩項不同性質(zhì)的疑難為教學(xué)目標(biāo)，幫助高三復(fù)習(xí)應(yīng)考的學(xué)生突破這兩項疑難.這里，舉一個例子加以必要的說明.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

在關(guān)于這道題的教學(xué)設(shè)計的教材分析(即探究證明不等式②盡可能多的思路)中，筆者經(jīng)由較長時間的思考，猜想到不等式②的成立，可能無須依賴函數(shù)①這一條件，也就是說，這個不等式②可能是一個絕對不等式，解題主體能夠找到相應(yīng)的途徑，證明不等式②成立.萌生這一猜想，就為探究證明不等式②的新思路打開了一扇窗.

下面的教學(xué)設(shè)計預(yù)案就是基于這種想法產(chǎn)生的，在課堂上實施教學(xué)設(shè)計預(yù)案時，筆者啟發(fā)學(xué)生利用“對稱美”審美意向所作成的心理內(nèi)驅(qū)力，據(jù)此鼓勵與啟發(fā)學(xué)生萌生具體的數(shù)學(xué)觀念指令，即“將不等式②的右邊的一項打開成某個具體數(shù)列的前n項和的形式表達(dá)式的數(shù)學(xué)觀念指令”.這項數(shù)學(xué)觀念指令是不容易萌生出來的，這就是“觀念性疑難”；然而，在這一數(shù)學(xué)觀念指令下，操作數(shù)學(xué)問題的具體信息時，又出現(xiàn)了困難，這就是“技術(shù)性疑難”.因此，關(guān)于這道題的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施應(yīng)該分為兩個關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，這里實錄筆者的課堂教學(xué)活動過程：

一、教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)一：突破“觀念性疑難”

師：利用大家自己過去解題的經(jīng)驗，在一般的情況下，大家希望選擇怎樣的途徑證明這個具體的不等式②？

生1：從過去解題經(jīng)驗中能夠認(rèn)識到要想證明不等式②成立，一般情況下要使用函數(shù)解析式①的條件，但是，通過探究發(fā)現(xiàn)，①②這兩者聯(lián)系仿佛有點遠(yuǎn).目前，這個問題我解決不了.

師：對于證明不等式②大家還產(chǎn)生了哪些想法？

生2：我想，依據(jù)不等式②的形式特點，證明不等式②無須使用條件①.由于這是一個與正整數(shù)n相關(guān)聯(lián)的不等式，于是，考慮使用數(shù)學(xué)歸納法證明.但可惜的是，在尋找“傳遞步”這個環(huán)節(jié)的計算上，我沒有得到清晰可行的具體運算操作步驟.

師：生2提供了一種很好的想法，只要解決了計算上遇到的技術(shù)性問題環(huán)節(jié)，是可以達(dá)到解決問題目的的，大家可以自己去完成數(shù)學(xué)歸納法這種方法的證明.現(xiàn)在的問題是，既然使用數(shù)學(xué)歸納法存在計算上的疑難，那么可否繞過數(shù)學(xué)歸納法這種證明方法呢？

注：通過這種設(shè)計活動過程，學(xué)生復(fù)習(xí)自己經(jīng)驗中已經(jīng)積累了不等式證明的幾種常用方法，但這兩種方法的構(gòu)造活動或計算活動都比較復(fù)雜，難以探究出解決問題的清晰的思路.因此，在教學(xué)設(shè)計及其課堂實施中，筆者認(rèn)識到，必須要啟發(fā)學(xué)生萌生新的探究思路的方法.這是設(shè)計這一步的目的所在.

生3：不等式②左邊為一個n項和的算式，其右邊卻只有一項，依據(jù)這樣的特點，我想如果不等式②的左邊通過計算得到一項，那么就容易與右邊的一項進(jìn)行比較了，遺憾的是，這是辦不到的.

師：雖然生3的想法沒有得到有效的結(jié)果，但是這種想法應(yīng)該具有價值.這種想法的來源在于，不等式②中的不等號所連結(jié)的兩邊應(yīng)該具有相似的形式結(jié)構(gòu)，即不等式②的右邊是一項，那么左邊也應(yīng)該是一項，這就萌生了將不等式②的左邊這n項經(jīng)由加法運算合并為一項的操作指令，經(jīng)由試探，這是辦不到的.同學(xué)們從生3的這種想法中能夠獲得怎樣的啟示呢？

生4：由于不等式②中的不等號所連結(jié)的兩邊應(yīng)該具有相似的形式結(jié)構(gòu)，這種特點既可以形成將不等式②的左邊的n項通過具體加法運算，合成為一項的指令，也可以形成將不等式②的右邊的一項打開成某個具體數(shù)列的前n項和的形式表達(dá)式的指令，可能有利于問題的解決.具體步驟我沒有想好.

注：關(guān)于這種教學(xué)設(shè)計的意圖，筆者經(jīng)由很長時間的思考與實驗，所形成的過程體現(xiàn)于下面的三方面：

1.學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中已經(jīng)清楚地認(rèn)識到，不等式的不等號(等號也一樣)所連結(jié)的兩邊的形式表達(dá)式具有相似性，這種觀念的最初來源于審美活動，它其實是解題主體的“對稱美”審美意向所產(chǎn)生的心理內(nèi)驅(qū)力的作用.生3就是在“對稱美”審美意向心理內(nèi)驅(qū)力作用下，已經(jīng)意識到了這一點，但是由于在技術(shù)處理上受到“求簡”消極思維定勢的作用，只知道將不等式②的左邊進(jìn)行化簡變形，而沒有實現(xiàn)其逆向的操作，即將不等式②的一項打開成一個數(shù)列的前n項的求和形式.更深入地探究，可以認(rèn)識到，這種“求簡”消極思維定勢是如何干擾了思維活動的方向，它將主體的思維活動步入了固定的軌道，而蒙蔽了思維展開的其他可能更為有利的方向.

2.在教學(xué)設(shè)計及其課堂實施中，數(shù)學(xué)教師必須要軟化“求簡”固化而產(chǎn)生的消極思維定勢的結(jié)果，其途徑之一，就是“懸置”學(xué)生“求簡”思維定勢.試想，如果學(xué)生根本就沒有過去的代數(shù)式“求簡”這種數(shù)學(xué)觀念，那么，他們對于“將不等式②的左邊的n項合并為一項”與對于“不等式②的右邊的一項打開成某個具體數(shù)理的前n項和”的心理內(nèi)驅(qū)力運動方向具有同等的機(jī)會，而不僅僅是“求簡”這一固定的方向.如此，在整個班級的教學(xué)過程中，就不會出現(xiàn)這種對于具體信息進(jìn)行“求簡”操作的“一邊倒”的現(xiàn)象，部分學(xué)生會萌生出“將不等式②的右邊的一項打開成某個具體數(shù)列的前n項和的表達(dá)式形式”這種數(shù)學(xué)觀念指令，在這種數(shù)學(xué)觀念指令下對于信息的操作行為活動，能夠比較簡便地探究出證明這個不等式的解題思路.

3.筆者針對學(xué)生思維所展現(xiàn)的心理內(nèi)驅(qū)力所步入“求簡”的消極定勢方向，認(rèn)識到必須要“懸置”這種“求簡”數(shù)學(xué)觀念指令及其操作活動，而不能把“不等式②的右邊的一項打開成n項和”這樣的數(shù)學(xué)觀念指令，直接地奉送于學(xué)生.于是，幫助學(xué)生萌生這種的“操作信息的數(shù)學(xué)觀念指令”，構(gòu)成了筆者在教學(xué)設(shè)計時，想方設(shè)法解決這個問題的一項非常重要的任務(wù).于是，通過設(shè)計相應(yīng)的鋪墊內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生萌生出將不等式②的右邊打開成某個具體數(shù)列的前n項和形式，果然生4實現(xiàn)了目的.據(jù)此可以清晰地認(rèn)識到，教師對于學(xué)生思維活動的心理環(huán)節(jié)的準(zhǔn)確把握，和對于教學(xué)設(shè)計及其課堂實施具有極其重要的作用.到此發(fā)現(xiàn)，生4萌生出了這樣的操作信息的數(shù)學(xué)觀念指令后，剩下的問題就是經(jīng)由計算驗證這一指令的正確性了，這已經(jīng)不再是“觀念性疑難”，而只是“技術(shù)性疑難”了.

教學(xué)設(shè)計的第一個環(huán)節(jié)重在幫助學(xué)生突破“觀念性疑難”，筆者利用“對稱美”的審美意向，幫助學(xué)生消除了“求簡”的消極思維定勢，從中萌生出了“將不等式②的右邊的一項打開成某個具體數(shù)列的前n項和的形式表達(dá)式的數(shù)學(xué)觀念指令”，幫助學(xué)生萌生這種數(shù)學(xué)觀念成為關(guān)于這道題教學(xué)設(shè)計中的重中之重.

二、教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)二：突破“技術(shù)性疑難”

師：生4的“將不等式②的右邊的一項打開成某個具體數(shù)列的前n項和的形式表達(dá)式的指令”，是一種非常好想法.我們試一試在這種指令下的操作活動，可否得到解決問題的具體思路呢？

師：在“將不等式②的右邊的一項打開成某個具體數(shù)列的前n項和的形式表達(dá)式的指令”下，生5做了一系列的技術(shù)性工作，可惜沒有達(dá)到最終目的.怎么辦？

注：這一環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計主要是幫助學(xué)生突破“技術(shù)性疑難”，盡管學(xué)生對于使用“放縮”途徑證明不等式已經(jīng)積累起來不少解題經(jīng)驗，但是對于這道題的特點，選擇兩次使用具體的“放縮”方法加強(qiáng)不等式，學(xué)生也會感到極其困難.正是在圍繞這種學(xué)生在使用具體操作信息的技術(shù)上，如所知，這兩次“放縮”，雖然只是“技術(shù)性疑難”，但是筆者也在自己的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施中，下足了功夫.

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)解題具有重要的教學(xué)價值，諸如，鞏固數(shù)學(xué)知識、訓(xùn)練數(shù)學(xué)技能、開拓數(shù)學(xué)方法、萌生與定型相應(yīng)的數(shù)學(xué)觀念等.在解題主體面臨具有相當(dāng)難度的數(shù)學(xué)題(例如，數(shù)學(xué)高考壓軸題)時，必須要突破兩項不同性質(zhì)的“觀念性疑難”與“技術(shù)性疑難”，其中“觀念性疑難”決定了“技術(shù)性疑難”，“技術(shù)性疑難”反作用于“觀念性疑難”.數(shù)學(xué)教師在自己的解題教學(xué)設(shè)計中，要在這兩項疑難及其相互關(guān)系中下足功夫.