受固定約束物體運動情境分析的策略

安徽 邵 永 侯朝陽

受固定約束的運動是一種常見的運動，對于典型的受約束的運動，例如輕繩、輕桿約束下的圓周運動等是教學的重點內容，已經(jīng)有較為豐富的分析和總結，學生對此的理解也比較深刻，而對于一些非典型的受固定約束的物體運動，學生的認識往往不深刻、把握不準確，分析問題、解決問題時較為困難。實際上無論是典型的還是非典型的受約束運動的分析都要抓住受約束這個特點。

一、對安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2021年秋季聯(lián)賽第13題的思考

圖1

圖2

如果甲、乙球與圓環(huán)間有作用力，兩小球的質量是否還是相等的關系呢？由于圓環(huán)對小球的作用力屬于外力，如果還使用上述的這兩種分析方法都需要先分析支持力，由于受到圓軌道的約束，我們不妨根據(jù)受約束的特點，從切線方向用力的分解試試。

二、約束軌道固定不動模型兩例

【例2】如圖3所示，一顆珠子穿在一個固定在豎直平面、半徑為R的圓環(huán)上，可以沿著圓環(huán)自由滑動?，F(xiàn)用一個輕質橡皮筋連接圓環(huán)最高點和珠子，初始時刻珠子靜止于圓環(huán)最低點，此時圓環(huán)作用在珠子上的力為其重量的兩倍。輕輕撥動珠子，珠子開始沿著圓環(huán)向上滑動，當它滑過三分之一圓周時動能達到最大。試求完全放松后橡皮筋的長度。

圖3

【例3】如圖4所示，一光滑絕緣斜面ABC，斜面長為L(∠BAC=90°)，D為BC上的點，BC與AD垂直。A處固定一帶電荷量為+q、質量為m的小球，另一同樣帶電小球自B點由靜止釋放，球能沿斜面從B點運動到斜面底端C處，則小球從B點運動到C點的過程中速度如何變化。

圖4

【解法一】數(shù)學不等式在極值問題中的應用

【解法二】導數(shù)在極值問題中的應用

【解法三】約束條件在分方向中的應用

【點撥】臨界和極值問題是物理試題中的重點也是難點，常用的求極值方法有配方法、三角函數(shù)法、不等式法、Δ判別式法、求導法等等，由于在初始運動階段庫侖力變大，夾角的余弦值變小，庫侖力沿斜面的分力不易判斷，所以通過物理情境的分析，求出其解析式，通過數(shù)學方法討論其極值，這是符合理性思維的，這樣討論能解決問題，但對學生的數(shù)學能力的要求太高，由于這是約束性的運動，所以一定要滿足約束性的條件，才能從約束條件入手，快速分析問題。

三、約束軌道運動模型兩例

(1)帶電小球從管底到飛出管口時所用的時間是多少；

(2)帶電小球離開磁場時的位置到坐標原點的距離是多少。

圖6

【點撥】由于小球隨玻璃管一起向右運動的同時還沿管運動，所以其速度的大小和方向均是不斷變化的，小球所受洛倫茲力的大小和方向也是不斷變化的，因此小球的運動是復雜的。如果把洛倫茲力分解為沿管方向的分力和沿x軸方向的分力，由于小球在x軸方向做的是勻速運動，所以洛倫茲力沿管的分力大小恒定不變，根據(jù)獨立性，可得小球沿管方向做勻加速運動；沿管的速度增大引起洛倫茲力向左的分力變大，通過逐漸增大的外力的作用保證管在水平方向做勻速運動。

【例5】如圖7所示，半徑R=0.3 m、質量M=1 kg的半圓形滑槽，靜止放置在水平地面上，一質量m=0.5 kg的小球從滑槽的右邊緣與圓心等高處由靜止滑下。不計一切摩擦，小球可看成質點，重力加速度大小g=10 m/s2，求小球滑至最低點時滑槽對它的支持力？

圖7

【點撥】當小球下滑至最低點時，由于圓形滑槽在運動，所以小球相對于地面不是做圓周運動，相對于滑槽才是圓周運動，支持力和重力的合力改變小球的方向，使之未做離心運動，所以在圓周運動的向心力公式中必須使用相對于滑槽的速度。

四、總結

受約束的運動是一種常見類型，它具有特殊性，從約束特點入手，利用分運動中力和運動的關系或兩個分方向間的聯(lián)系，往往可以使運動情境更清晰，問題的把握更準確、問題的解決更簡便，是一種因地制宜、行之有效的研究策略。