“活潑”的追擊問(wèn)題
——對(duì)第33屆全國(guó)物理競(jìng)賽預(yù)賽題的思考

駱興高

（杭州第十四中學(xué) 浙江 杭州 310006）

倪國(guó)富

（浙江省柯橋中學(xué) 浙江 紹興 312030）

【題目】一足球運(yùn)動(dòng)員甲自A點(diǎn)向球門的B點(diǎn)踢出球，已知A和B之間的距離為s，球自A向B的運(yùn)動(dòng)可視為水平地面上的勻速直線運(yùn)動(dòng)，速率為u.另一足球運(yùn)動(dòng)員乙到AB連線的距離為l，到A，B兩點(diǎn)的距離相等.運(yùn)動(dòng)員甲踢出球后，運(yùn)動(dòng)員乙以勻速v沿直線去攔截該球.設(shè)運(yùn)動(dòng)員乙開(kāi)始出發(fā)去攔截球的時(shí)刻與球被運(yùn)動(dòng)員甲踢出的時(shí)刻相同.

（1）如果運(yùn)動(dòng)員乙能攔截到球，求運(yùn)動(dòng)員乙開(kāi)始出發(fā)去攔截球直至攔截到球的時(shí)間間隔、球被攔截時(shí)球到A點(diǎn)的距離、球到運(yùn)動(dòng)員乙出發(fā)點(diǎn)的距離和運(yùn)動(dòng)員乙運(yùn)動(dòng)的方向與A和B連線的夾角；

（2）求為了使運(yùn)動(dòng)員乙能攔截到球，u，v，s和l應(yīng)當(dāng)滿足的條件.

評(píng)卷時(shí)競(jìng)賽委員會(huì)提供的參考答案如下：

（1）記運(yùn)動(dòng)員甲踢出球的時(shí)刻為零時(shí)刻.設(shè)運(yùn)動(dòng)員乙沿著與A和B連線夾角為θ的方向運(yùn)動(dòng)，球在時(shí)刻t被運(yùn)動(dòng)員乙攔截.令球被攔截時(shí)球到A點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)員乙到出發(fā)點(diǎn)的距離分別為s1和s2，則

由幾何關(guān)系有

從式（3）、（4）消去θ，并利用式（1）、（2）得

這是關(guān)于t的一元二次方程.解為

由式（1）、（2）、（7）得

由式（4）、（9）得

（2）方程（6）有實(shí)數(shù)解的條件是

它是自動(dòng)滿足的.綜上所述，式（12）、（14）、（15）即運(yùn)動(dòng)員乙攔截到球的條件.

當(dāng)式（12）中大于號(hào)成立時(shí)，運(yùn)動(dòng)員乙可在兩處攔截到球；當(dāng)式（12）中等號(hào)成立時(shí)

運(yùn)動(dòng)員乙只能在一處攔截到球.

參考答案流程看下來(lái)類似于代數(shù)運(yùn)算，并且解答過(guò)程不僅不完整且有誤區(qū)，題目的本身是開(kāi)放的，球運(yùn)動(dòng)速率u和足球運(yùn)動(dòng)員追擊速率v之間的大小關(guān)系題中并沒(méi)有明確，應(yīng)考慮各種可能性，事實(shí)上筆者閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)參賽學(xué)生幾乎沒(méi)有按以上解題思路，閱卷老師對(duì)參考答案也提出了不少質(zhì)疑，筆者認(rèn)為完整的解答應(yīng)按如下幾種情形討論：

如果以球?yàn)閰⒖枷?，那么球是靜止的，運(yùn)動(dòng)員乙在向球運(yùn)動(dòng)，乙在球的參考系中，既有向左的速度u，又有對(duì)地參考系中的速度v，u和v的合速度v21指向A.

如圖1所示，圖中α為運(yùn)動(dòng)員乙在初始位置時(shí)與運(yùn)動(dòng)員甲連線和AB之間的夾角，θ為運(yùn)動(dòng)員乙運(yùn)動(dòng)方向與運(yùn)動(dòng)員乙在初始位置時(shí)與運(yùn)動(dòng)員甲連線之間的夾角.

圖1 以球?yàn)閰⒖枷禃r(shí)，運(yùn)動(dòng)員乙的運(yùn)動(dòng)

第1種情形如圖2所示，當(dāng)v＞u時(shí)，usinα=vsinθ，sinθ=，令球被攔截所需時(shí)間為t，則

圖2 v＞u時(shí)情形

題中明確要求運(yùn)動(dòng)員乙運(yùn)動(dòng)方向和AB之間的夾角，即圖中的β.因此原參考解答中僅用θ表示方向值得商榷的，應(yīng)表述為

第2種情形如圖3所示，當(dāng)v=u時(shí)，θ=α

圖3 v=u時(shí)情形

第3種情形如圖4所示，當(dāng)usinα＜v＜u時(shí)

圖4 u sinα＜v＜u時(shí)情形

第4種情形如圖5所示.

圖5 v=u sinα?xí)r情形

當(dāng)v=usinα?xí)r，即

第5種情形v＜usinα，如圖6所示，無(wú)解.

圖6 v＜u sinα?xí)r情形

分類討論是一種重要的物理思想，如果面臨的問(wèn)題不能以統(tǒng)一的同一種方法處理或同一種形式表述、概括，那么就需要把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題按一定的標(biāo)準(zhǔn)分割成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題（本文中的標(biāo)準(zhǔn)能攔截到球），再逐一分析解決，得出每一類的相應(yīng)結(jié)果，再綜合各結(jié)果，得到最終答案的一種思想方法，也是近幾年物理競(jìng)賽考題的一大熱點(diǎn)［1，2］.