小議流體情境中的相互作用和功率問題

段寶維 張燕怡

（中國人民大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100080）

1 背景介紹

2020年《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》特別重視問題“情境”，一共有67處提到“情境”問題，強(qiáng)調(diào)問題、任務(wù)、試題情境，并把學(xué)生將“情境與知識(shí)相聯(lián)系的水平”作為學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)的高階要求，具體又細(xì)化為：將情境中的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為物理探究過程、將情境中的故事情節(jié)轉(zhuǎn)化為物理現(xiàn)象、將描述情境的文字轉(zhuǎn)化為物理表述、將情境中需要完成的工作轉(zhuǎn)化為相應(yīng)物理問題［1］.

我們常說某個(gè)問題出得很“活”，其“活”的本質(zhì)之一在于情境的轉(zhuǎn)化，能否把問題中的實(shí)際情境轉(zhuǎn)化成解決問題的物理情境，建立相應(yīng)的物理模型，這是應(yīng)用物理觀念思考問題、應(yīng)用物理知識(shí)分析解決問題的關(guān)鍵.在物理教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生獲得在實(shí)際情境中解決物理問題的大量經(jīng)驗(yàn)，形成把情境與知識(shí)相關(guān)聯(lián)的意識(shí).

流體問題，如高壓水槍沖擊、噴泉托舉物體、氣體壓強(qiáng)微觀解釋、離子發(fā)動(dòng)機(jī)反沖、自動(dòng)稱米機(jī)的爭(zhēng)議……取材于生活實(shí)際，現(xiàn)象常見而富有一定趣味性，是將情境與物理模型結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用力學(xué)工具解決具體問題的良好素材［2～5］，屬于綜合性強(qiáng)、難度較大、對(duì)能力要求較高的題目，多見于高考和各類高三模擬測(cè)試中.

流體情境的常見問題分為兩類：（1）討論流體與環(huán)境的相互作用，常規(guī)方法是微元思想配合動(dòng)量定理求解；（2）討論流體噴射的功率，常規(guī)方法是應(yīng)用能量轉(zhuǎn)化關(guān)系.學(xué)生在具體思考的過程中常有質(zhì)疑，為何對(duì)于同一問題，不同方法討論的結(jié)果經(jīng)常不自洽：如用能量觀點(diǎn)求流體作用力，或基于相互作用和功的定義計(jì)算流體功率，往往與正確答案不符.究其原因，在于沒能建立合適的理想化模型，對(duì)物理規(guī)律的適用條件、研究對(duì)象范圍把握得不夠清晰準(zhǔn)確.

本文試圖回顧流體情境中的經(jīng)典問題，從概念、規(guī)律的深入理解角度，厘清學(xué)生們的常見誤區(qū)，并基于中學(xué)物理的常見模型，做一些拓展討論.

2 問題回顧

如下是流體情境中涉及相互作用的經(jīng)典例題.

【例1】水流射向墻壁，會(huì)對(duì)墻壁產(chǎn)生沖擊力.假設(shè)水槍噴水口的橫截面積為S，噴出水流的流速為v，水流垂直射向豎直墻壁后速度變?yōu)榱?已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g，求墻壁受到的平均沖擊力F.

此題的傳統(tǒng)解法如下：

取Δt時(shí)間內(nèi)入射到墻面上的一小段水柱為研究對(duì)象，水柱質(zhì)量Δm=ρSvΔt，受到墻壁反作用力F′，動(dòng)量由Δmv變?yōu)榱?，設(shè)水柱入射方向?yàn)檎较?，由?dòng)量定理

解得

但如果用動(dòng)能定理求解，認(rèn)為墻壁對(duì)水做功

于是由動(dòng)能定理

就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果

以下是流體情境中涉及功率的經(jīng)典例題.

【例2】（人教社2019版《物理·必修2》教材P94練習(xí)6）：圖1是某城市廣場(chǎng)噴泉噴出水柱的場(chǎng)景.從遠(yuǎn)處看，噴泉噴出的水柱超過了40層樓的高度；靠近看，噴管的直徑約為10 cm.請(qǐng)你據(jù)此估計(jì)用于給噴管噴水的電動(dòng)機(jī)的輸出功率至少有多大？

圖1 城市廣場(chǎng)噴泉場(chǎng)景

根據(jù)功能關(guān)系，噴泉噴水功率應(yīng)等于水在單位時(shí)間內(nèi)獲得的動(dòng)能，通過噴水高度估算水流出口時(shí)的速度v，通過噴管直徑d和出口速度v估算單位時(shí)間噴出的水量，有

代入實(shí)際數(shù)據(jù)，不難求得數(shù)值解.

但是，按照例1動(dòng)量定理求解的正確思路，同樣可以求得，出口處噴管對(duì)水流作用力為

則有功率

3 誤區(qū)分析

在例題1所代表的流體（我們先局限于不可壓縮的理想流體）沖擊問題中，動(dòng)能定理并不是適合的物理規(guī)律，原因如下：

（1）中學(xué)物理中的動(dòng)能定理，實(shí)際上是單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，而題目中的研究對(duì)象——“一小段”水柱，即使再短，也不可以看作質(zhì)點(diǎn)，因?yàn)樗仨毩鲃?dòng)、必須形變，應(yīng)看作質(zhì)點(diǎn)組，內(nèi)力做功引起的動(dòng)能變化不可無視；

（2）若將水柱看作質(zhì)點(diǎn)組，嚴(yán)格意義上說，墻壁外力的作用點(diǎn)并沒有移動(dòng)，因此，對(duì)水柱并沒有做功，自然也不能利用W=-F（vΔt）的公式.否則，根據(jù)“功是能量轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的量度”，墻壁的能量應(yīng)有所減少，與實(shí)際情況矛盾（類似2006年高考題“人從地面起跳、地面對(duì)人不做功”的情境）；

（3）如果改變題目條件，讓水柱原速反彈或水流以相等速率沿墻壁散開，則水柱動(dòng)能不變，自然也無法運(yùn)用動(dòng)能定理，但用動(dòng)量定理依然可以得到正確的結(jié)果.

在例題2的情境中，題目強(qiáng)調(diào)求“最小功率”，也就是沒有損耗或浪費(fèi)的情況，此時(shí)，認(rèn)為噴泉做功全部轉(zhuǎn)化為噴出水的能量，無疑是正確的.而如果用功率公式P=Fv求解，則需明確，該公式描述的，依然是某個(gè)外力F對(duì)某個(gè)速度為v的質(zhì)點(diǎn)的做功快慢情況.參考例題1的解法，若此處代入F=ρSv2，則F應(yīng)該是“如果在噴口垂直水流方向放置一個(gè)擋板，并且水流沖擊擋板后不反濺，只是順著擋板平面流走時(shí)，水流對(duì)擋板的沖擊力”，而并非是“將噴口處一小截水柱看作質(zhì)點(diǎn)，該水柱從零加速到出射速度v受到的力”.

利用如圖2所示的理想裝置，可以從“力×速度”角度解釋例題2所要求的最小功率.以不可壓縮理想流體定常流動(dòng)時(shí)的一組流管為輪廓，構(gòu)造如圖2所示的剛性容器，則在很短時(shí)間內(nèi)，忽略一切摩擦損耗，活塞端所受壓力F所做功，將幾乎全部轉(zhuǎn)化為噴出液體的動(dòng)能.此時(shí)噴射器功率滿足

圖2 不可壓縮流體定常流動(dòng)示意圖

但顯然，此時(shí)F為活塞處受力，并非噴口處的沖擊力ρSv2，而速度部分也應(yīng)代入活塞被推進(jìn)的速度v0，而非噴口處水的出射速度v.

參考伯努利原理的證明過程，在活塞處壓力做功=水獲得的動(dòng)能增量，在極短時(shí)間Δt內(nèi)，有

根據(jù)連續(xù)性原理

與能量角度的計(jì)算結(jié)果一致.

4 對(duì)流體作用力的拓展討論

為了徹底厘清動(dòng)能定理不能簡(jiǎn)單應(yīng)用于流體作用力求解的疑惑，我們?cè)倏聪旅胬}.

【例3】（由2018年北京市昌平區(qū)高三期末統(tǒng)測(cè)改編）離子發(fā)動(dòng)機(jī)是利用電能加速工質(zhì)（工作介質(zhì)）形成高速射流而產(chǎn)生推力的航天器發(fā)動(dòng)機(jī).其原理如圖3所示：首先電子槍發(fā)射出的高速電子將中性推進(jìn)劑離子化（即電離出正離子），正離子被正、負(fù)極柵板間的電場(chǎng)（可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)）加速后從噴口噴出，從而使飛船獲得推進(jìn)或姿態(tài)調(diào)整的反沖動(dòng)力.這種發(fā)動(dòng)機(jī)壽命長(zhǎng)，適用于航天器的姿態(tài)控制、位置保持等.已知從噴口噴出的正離子速度大小為v，發(fā)動(dòng)機(jī)功率為P，求該發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的平均推力大小F.

圖3 離子發(fā)動(dòng)機(jī)原理示意圖

解析：我們先用傳統(tǒng)的動(dòng)量定理方法求解.設(shè)在任意極短時(shí)間Δt內(nèi)，噴出的離子總質(zhì)量為Δm，這些離子獲得的動(dòng)量為Δmv，因此有

另一方面，考慮到飛船質(zhì)量遠(yuǎn)大于離子質(zhì)量，發(fā)動(dòng)機(jī)輸出的能量幾乎全部轉(zhuǎn)化為離子的動(dòng)能，因此有

此處為何不能直接運(yùn)用公式P=Fv得到F=我們?cè)購奈⒂^粒子受力的角度來深入分析一下.

將離子在電場(chǎng)中的加速過程簡(jiǎn)化為如圖4的模型，可以看到，由正負(fù)極板（負(fù)極為金屬網(wǎng)且忽略打在金屬網(wǎng)上的離子）、絕緣容器代表飛船發(fā)動(dòng)機(jī)，其所受推力F的大小等于所有離子在電場(chǎng)中受力的矢量和F′（牛頓第三定律），而不僅僅是剛好離開容器的那些離子的受力.

圖4 離子發(fā)動(dòng)機(jī)簡(jiǎn)化模型

從能量關(guān)系入手考查，離子發(fā)動(dòng)機(jī)總功率，可以看做是加速電場(chǎng)對(duì)每個(gè)離子電場(chǎng)力的功率之和，設(shè)第i個(gè)離子受力為Fi，某時(shí)刻速度為vi，則有

正、負(fù)柵極間電場(chǎng)被簡(jiǎn)化為勻強(qiáng)電場(chǎng)，顯然，每個(gè)離子都受到等大的電場(chǎng)力

其中，N為某時(shí)刻電場(chǎng)中離子的總個(gè)數(shù)，v-i為N個(gè)離子瞬時(shí)速度的平均值.由于每個(gè)離子從正柵極到負(fù)柵極的受力-運(yùn)動(dòng)過程相同，v-i可以看作一個(gè)離子運(yùn)動(dòng)全過程的平均速度，離子都做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，于是有

此時(shí)可發(fā)現(xiàn)，發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小與功率關(guān)系為

每一個(gè)Δt內(nèi)，雖然電場(chǎng)中各個(gè)離子都得到加速，但等效看來，都相當(dāng)于有一個(gè)薄層的質(zhì)量為Δm、總電荷量為q的離子穿越電場(chǎng)，發(fā)生了位移L（L為兩極板間距離），電場(chǎng)力對(duì)它做功

同理，圖2中流管容器中的一小塊液體，也可認(rèn)為是穿越了整個(gè)流速場(chǎng)，直接到達(dá)噴口，從而將外力F做的功轉(zhuǎn)化成了自身動(dòng)能.

5 對(duì)流體噴射功率的拓展討論

前面關(guān)于例2的分析，我們默認(rèn)流體的噴射功率，嚴(yán)格等于流體單位時(shí)間增加的動(dòng)能，即噴射器轉(zhuǎn)化效率是100%，但實(shí)際情景未必如此.在實(shí)際噴水過程中，考慮到粘滯阻力、流體與管壁摩擦等因素，噴射器的功率，應(yīng)等于將水從靜止加速度到噴射速度v所做的總功.

我們以“傳送帶”傳輸?shù)V粉的例子作為類比進(jìn)行說明.

【例4】如圖5所示，水平傳送帶以速率v=2 m／s的速率勻速運(yùn)行，上方料斗每秒將40 kg的礦粉豎直放落到傳送帶上，然后一起隨傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)，如果要使傳送帶保持原來的速率勻速運(yùn)行，則皮帶機(jī)應(yīng)增加的功率為多少？

圖5 傳送帶運(yùn)送礦粉示意圖

解析：設(shè)Δt時(shí)間內(nèi)有質(zhì)量為Δm的礦粉被投放到傳送帶上，對(duì)于傳送帶上的礦粉整體，Δt時(shí)間內(nèi)總動(dòng)量增加了Δmv（注意，礦粉從靜止加速至與傳送帶共速的時(shí)間不一定是Δt）.

處于加速狀態(tài)的礦粉受摩擦力f，根據(jù)動(dòng)量定理fΔt=Δmv，傳送帶受礦粉反作用力

結(jié)合前面分析可知，這個(gè)f′是所有礦粉對(duì)傳送帶的摩擦力.

傳送帶保持勻速v運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)需額外克服f′提供能量，因此需額外增加的功率P，等于電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶增加的拉力，再乘以傳送帶速度

另一方面，礦粉在單位時(shí)間內(nèi)獲得的動(dòng)能僅僅為

根本原因在于，礦粉加速過程中與傳送帶有相對(duì)滑動(dòng)，存在摩擦生熱引起的損耗（參考2003年高考全國壓軸題）.不難得到本情境中，如果礦粉離開傳送帶時(shí)已經(jīng)與傳送帶共速，發(fā)熱功率和發(fā)動(dòng)機(jī)為礦粉提供動(dòng)能的功率相等，各為.而如果傳送帶速度很大，以至于礦粉離開傳送帶時(shí)無法加速到v，摩擦生熱損耗的能量將大于礦粉得到的動(dòng)能.

對(duì)于噴射器噴水求功率的問題，如果我們只考慮水增加的動(dòng)能，則可以按照發(fā)動(dòng)機(jī)模型處理，得

但為了嚴(yán)謹(jǐn)起見，題目最好采用求“噴水最小功率”這樣的描述，例題2（課本題）的表述就比較妥當(dāng).

6 總結(jié)

本文較深入地探討了流體情境中的兩個(gè)基本問題（相互作用力、噴射功率），對(duì)學(xué)生解題過程中的常見誤區(qū)及錯(cuò)因進(jìn)行了分析澄清，說明了從動(dòng)量、能量不同角度解決同一問題時(shí)應(yīng)如何更準(zhǔn)確地確定研究對(duì)象、理解概念含義、把握規(guī)律應(yīng)用范圍并更合理地構(gòu)建模型等，從多方位、多角度提供了正確理解流體情境的思路.