用Excel解決高中物理中的復(fù)雜問題

林輝慶

（杭州市余杭高級中學(xué) 浙江 杭州 311100）

高中物理研究的主要是可以通過簡單運算得出結(jié)果或能較方便地求出解析解的問題.對于復(fù)雜的很難甚至無法求出解析解的問題，一般是直接給出結(jié)論，或只作定性分析，或回避.學(xué)生具有強烈的求知欲，迫切希望了解這些復(fù)雜問題的答案以及答案是如何求出的.高一信息技術(shù)課程學(xué)習(xí)的Excel工具，具有函數(shù)功能、計算功能、圖表功能，以及由于單元格的關(guān)聯(lián)（即某個或某幾個單元格的計算結(jié)果可以作為別的單元格中的函數(shù)的自變量）具有的簡單編程功能，我們能用它編寫簡單程序，通過微元數(shù)值計算求得高中物理中某些復(fù)雜問題的數(shù)值解或圖像解.

1 示例一 單擺周期公式準確度的研究

高中教科書在證明擺角很小時單擺近似做簡諧運動后，直接給出周期公式.學(xué)生關(guān)心用這個公式計算出的單擺周期在不同擺角下的準確度如何.要回答這個問題，必須求出不同擺角時單擺的實際周期T′，與用公式計算出的周期T作比較.

由機械能守恒定律求得擺球從最大偏角θ0處運動到偏角θ處的速度為

從理論上講，求出了擺球在圓弧上各點的速度，就能進一步求得單擺的實際周期T′，但由于速度v與θ的關(guān)系較復(fù)雜，T′與θ0的關(guān)系不能用中學(xué)數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)表示.教科書曾直接給出θ0=15°時，T與T′的相對誤差約為0.5%［1］.下面用Ex cel工具設(shè)計一個微元數(shù)值計算的程序，求擺角為15°時T與T′之間的相對誤差.

將最大偏角θ0到豎直位置θ=0之間的弧分成很多圓心角為Δθ的微元.第一個微元中心的偏角，第二個微元中心的偏角θ2=θ1-Δθ，第n（n＞1）個微元中心的偏角

建立如圖1（a）的Excel工作表.在第一行的A1，B1，C1和D1單元格分別輸入θ，cosθ，x和Δy作為各列所代表的量.θ0=15°取Δθ=1°.在第二行的A2單元格輸入θ1的值14.5°，B2單元格為cosθ與A2單元格關(guān)聯(lián).由式（3），C2單元格與B2單元格關(guān)聯(lián)；由式（4），D2單元格與C2單元格關(guān)聯(lián).第二行的單元格分別為

A2=14.5°，B2=cos（A2*π／180），C2=SQRT（2*B2-2*cos 15°），D2=1／180／C2

接著，A列利用式（2），下一單元格與上一單元格關(guān)聯(lián)；B，C，D列的關(guān)聯(lián)關(guān)系同上.第三行的單元格分別為

A3=A2-1，B3=cos（A3*π／180），C3=SQRT（2*B3-2*cos 15°），D3=1／180／C3

此后各行單元格的關(guān)系重復(fù)前一行單元格的關(guān)系，形成了一個完整的計算程序.

選中第三行的全部單元格，將光標移到右下角，當光標呈實心“+”字狀時，按住鼠標左鍵向下拉到第16行，得到全部計算結(jié)果.選中Δy列的數(shù)據(jù)求和得到y(tǒng)≈0.466 9，如圖1（b）所示.

圖1 用Excel計算單擺周期

將Δθ取更小的值，擺球運動時間的計算值會更準確.取Δθ=0.1°，用同樣方法求得y≈0.491 0.取Δθ=0.02°，求得y≈0.497 2.取Δθ=0.015°，求得y≈0.497 7.可見，當Δθ小到0.015°，求得的y值到小數(shù)點后第三位都是準確的.將y≈0.497 7與0.5比較，相對誤差為0.46%.這正是教科書給出的數(shù)值.

2 示例二 在變化磁場中導(dǎo)體棒運動情況的研究

在學(xué)習(xí)電磁感應(yīng)時，學(xué)生經(jīng)常求解導(dǎo)體棒在恒定磁場中運動的問題，在這種問題中只有動生電動勢.常有好學(xué)的學(xué)生問，如果導(dǎo)體棒在隨時間變化的磁場中運動，電路中既有動生電動勢，又有感生電動勢，這種問題如何求解？例如下面的問題.

如圖2所示，水平光滑U形框架左邊接有R=1 Ω電阻，框架兩臂的距離為l=0.1 m，質(zhì)量m=0.01 kg的導(dǎo)體棒垂直框架兩臂，與左端的距離也為l.框架所在的空間在距離左端為2l的范圍內(nèi)（虛線左側(cè)）有豎直向上、磁感應(yīng)強度大小為B0=1 T的勻強磁場.除電阻R外，其他電阻不計.t=0時刻開始，磁感應(yīng)強度大小B隨時間以變化率為k=1 T／s均勻減小，減小到零后保持不變.試求導(dǎo)體棒的運動情況.

圖2 磁場、導(dǎo)體框架裝置

容易判斷出導(dǎo)體棒向右運動.設(shè)t時刻導(dǎo)體棒離開初始位置的距離為x，速度為v，此時回路中的感應(yīng)電動勢為E=kl（l+x）-Blv.由歐姆定律I=，安培力公式F=BIl和牛頓第二定律F=ma，得到棒的加速度

其中B與時間t的關(guān)系為

理論上，由式（5）和（6）兩式就能求出導(dǎo)體棒的運動情況，但由于x，v，B都是變化的，所以a也是變化的.而某時刻的x和v又是由此前各時刻的a決定的，所以這是一個復(fù)雜的非線性問題，很難求出它的解析解.下面用Excel工具設(shè)計一個微元數(shù)值計算的程序，求解導(dǎo)體棒運動情況的數(shù)值解，并作出運動圖像.

建立如圖3所示的Excel工作表.

圖3 導(dǎo)體棒運動數(shù)值解

在A1，B1，C1，D1和E1單元格分別輸入t，B，x，v和a作為各列所代表的物理量.在第二行的A2，B2，C2，D2和E2單元格分別輸入初始值0，1，0，0和0.1.利用式（7）～（11）將有關(guān)的單元格相關(guān)聯(lián).第三行的單元格分別為

此后各行單元格的關(guān)系重復(fù)前一行單元格的關(guān)系，形成了一個完整的計算程序.

選中第三行的全部單元格，將光標移到右下角，當光標呈實心“+”字狀時，按住鼠標左鍵向下拉到第22行，得到全部計算結(jié)果，如圖3所示.由“插入”中的“散點作圖”功能，作出導(dǎo)體棒的x-t圖像和vt圖像如圖4所示.

圖4 導(dǎo)體棒的運動關(guān)系圖

3 用Excel解決物理中的復(fù)雜問題的基本步驟

通過上述兩個例子，可以總結(jié)出用Excel解決高中物理中的復(fù)雜問題的基本步驟如下.

第一，分析原理列出方程.分析物理過程或現(xiàn)象，根據(jù)有關(guān)的物理規(guī)律寫出方程，由這些方程從理論上就可以求出這個復(fù)雜問題的解.示例一中，由式（1）求出擺球在各個位置的速度，在理論上就能算出周期；示例二中，由式（5）和（6）兩式在理論上就能解出導(dǎo)體棒的運動情況.

第二，設(shè)計微元計算程序.將物理過程或現(xiàn)象中的自變量分成很多等大的微元.微元的大小需要根據(jù)問題的精確度要求確定.在微元內(nèi)，將某個描述狀態(tài)變化的物理量看作不變，然后根據(jù)第一步列出的方程和與看作不變的物理量有關(guān)的公式，寫出由微元的初始狀態(tài)量或過程量計算微元的末狀態(tài)量或下一個微元過程量的關(guān)系式.示例一為式（2）～（4）這3式，示例二為式（7）～（11）.這一步需要考慮假設(shè)哪個量不變和如何計算能減小誤差.在示例一中，計算對應(yīng)微元Δθ的時間Δt，取速度保持圓弧中點時的值不變，比取速度保持圓弧起點時的值不變，所得結(jié)果的誤差要小.在示例二中，計算導(dǎo)體棒在微元Δt內(nèi)的位移Δx，認為加速度不變用勻加速運動的公式計算，比認為速度不變用勻速運動計算，所得結(jié)果的誤差要小.

第三，輸入微元計算程序.建立Excel工作表，在第一行各單元格輸入有關(guān)物理量的符號.物理量從左到右的排列順序，需要考慮由各單元格的關(guān)聯(lián)關(guān)系；一般地說，前一單元格的計算結(jié)果為后一單元格計算所需要，上一行單元格的計算結(jié)果為下一行單元格的計算所需要.在第二和第三行各單元格輸入初始狀態(tài)物理量的數(shù)值和由第二步中設(shè)計的計算微元中各物理量的關(guān)系式，形成一個完整的計算程序.

第四，運行程序得到結(jié)果.選中第三行的全部單元格，將光標移至右下角，當光標呈“+”狀時，按下鼠標左鍵向下拖動，得到計算結(jié)果.這就是問題的數(shù)值解，如果需要某兩個物理量之間關(guān)系的圖像，選中這兩列物理量，用“插入”中的“散點作圖”功能，可在屏幕上得到需要的圖像.

高中物理中，天體的運動軌跡［2］、拋體受與速度成正比或與速度平方成正比的阻力作用時的運動軌跡、電容器的充電電流和放電電流、LC振蕩電路中的電流等問題，都可以用Excel工具設(shè)計微元數(shù)值計算程序，得到數(shù)值解或有關(guān)圖像.

4 讓學(xué)生用Excel解決物理中的復(fù)雜問題的意義

4.1 有利于培養(yǎng)學(xué)生運用信息技術(shù)的意識和能力

當今社會，信息技術(shù)越來越多地應(yīng)用于我們的生產(chǎn)生活.運用信息技術(shù)解決問題的能力，是學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的重要部分［3］.讓學(xué)生用Excel解決高中物理中的復(fù)雜問題，能有效培養(yǎng)他們在生產(chǎn)生活中運用信息技術(shù)工具解決問題的意識和能力.

4.2 有利于增強學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣

學(xué)生通過自己分析、設(shè)計，用Ex cel演算出復(fù)雜問題的數(shù)值解，能使求知欲得到極大的滿足，能體驗到輕松愉悅的心情，感受到物理理論的威力，從而增強學(xué)習(xí)物理的興趣.

4.3 有利于發(fā)展學(xué)生解決實際問題的能力

真實的現(xiàn)象總是復(fù)雜的，絕大多數(shù)不能用函數(shù)解析式描述.對這些問題的研究，都需要用微元數(shù)值計算法求得有關(guān)量的一系列數(shù)值，或描繪出不同量之間的變化圖像.因此，引導(dǎo)學(xué)生用Excel解決高中物理中的復(fù)雜問題，能提高學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.