關(guān)于惠更斯對(duì)向心加速度證明方法的思考與應(yīng)用

魯 斌 馮子江

（浙江省余姚中學(xué) 浙江 寧波 315400）

在人教版高中物理教材“向心加速度”一節(jié)中［1］，編者利用加速度的定義對(duì)“向心加速度公式”進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，此推導(dǎo)過(guò)程充分體現(xiàn)了矢量和微分的思想.在課堂教學(xué)中，還可以提供荷蘭物理學(xué)家惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）當(dāng)年的推導(dǎo)方案，啟發(fā)學(xué)生對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行更加深入的思考.

1 引出推導(dǎo)方案

在人教版高中物理教材“向心力”這一節(jié)有這樣一段話：“運(yùn)動(dòng)軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運(yùn)動(dòng)，可以稱為一般的曲線運(yùn)動(dòng).盡管這時(shí)曲線各個(gè)位置的彎曲程度不一樣，但在研究時(shí)，可以把這條曲線分割為許多很短的小段，質(zhì)點(diǎn)在每小段的運(yùn)動(dòng)都可以看作圓周運(yùn)動(dòng)的一部分（圖1）.這樣，在分析質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)曲線上某位置的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可以采用圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法來(lái)處理了.”

圖1 一般曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡

這段文字表達(dá)了“曲率圓”的概念.反過(guò)來(lái)，我們也可以啟發(fā)學(xué)生思考：既然一般曲線運(yùn)動(dòng)的每一小段都看做圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，那么，圓周運(yùn)動(dòng)的每一小段是否也是一般曲線運(yùn)動(dòng)的一部分呢？

2 天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家惠更斯的工作再現(xiàn)

荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家惠更斯在1673年發(fā)表的《Horologium Oscillatorium》附錄中給出了離心力的完整計(jì)算方法［2］，由此可以大致總結(jié)其對(duì)向心加速度的推導(dǎo)方案.

如圖2所示，如果沒有加速度，質(zhì)點(diǎn)在短時(shí)間Δt內(nèi)從A以速度v勻速運(yùn)動(dòng)到B，實(shí)際上質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，在Δt時(shí)間內(nèi)從A運(yùn)動(dòng)到C，可以認(rèn)為這是由于質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了另一個(gè)由B到C的勻加速運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致的，所以有

圖2 向心加速度推導(dǎo)示意圖

圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r，由于△ABC∽△EDC有

可得a=，當(dāng)Δt→0時(shí)，方向指向圓心，故將這個(gè)加速度稱為向心加速度.

3 蘋果和月亮的思考

牛頓在鄉(xiāng)下故居躲避瘟疫的時(shí)候，開始認(rèn)真關(guān)注蘋果下落的問(wèn)題［3］.牛頓的沉思是：月球?yàn)槭裁床幌裉O果那樣，落到地面上來(lái)呢？經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的思考，牛頓明白了：月球不落到地面上來(lái)，是因?yàn)樗诶@地球旋轉(zhuǎn)；即使是蘋果，如果它以適當(dāng)?shù)乃俣冗\(yùn)動(dòng)，也照樣不會(huì)落到地面上來(lái)，同樣會(huì)繞地球旋轉(zhuǎn).月亮繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)際上也可以看成是種“下落”（圖3），只不過(guò)沒有落到地球上來(lái)，而是保持一定距離繞著地球轉(zhuǎn).如果月球不是不斷地“下落”，它就會(huì)離開地球，飛到浩瀚的宇宙深處.

圖3 月球“降落”的示意圖

圓周運(yùn)動(dòng)也是一種“降落”，讓我們對(duì)運(yùn)動(dòng)有了進(jìn)一步的理解.圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)并不是相互獨(dú)立的，而是彼此統(tǒng)一的.在課堂中，我們可以做如下的推導(dǎo).

如圖4所示，假設(shè)一人造衛(wèi)星在近地軌道做半徑為r，角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在t時(shí)間內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，掃過(guò)的圓心角θ=ωr.則有

圖4 圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是一種“降落”

月球在徑向做的是“自由落體運(yùn)動(dòng)”.

4 運(yùn)動(dòng)的疊加

由于圓周運(yùn)動(dòng)可以看做是勻速直線運(yùn)動(dòng)與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的疊加，在極短時(shí)間內(nèi)的速度變化如圖5所示.即

圖5 單次疊加

對(duì)于勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，由于疊加只引起速度方向的改變，則多次疊加過(guò)程如圖6所示.有

圖6 多次疊加

若將Δt→0，則整個(gè)速度變化的過(guò)程即為連續(xù)的（圖7）.

海淀區(qū)東片數(shù)學(xué)區(qū)域教研組根據(jù)教師的實(shí)際教學(xué)情況及需求，對(duì)各個(gè)階段的教研活動(dòng)進(jìn)行了細(xì)致分析與精心設(shè)計(jì)。以上教研活動(dòng)各有特點(diǎn)和作用，各項(xiàng)活動(dòng)相輔相成。

圖7 連續(xù)疊加

速度矢量從v1到的過(guò)程，即為圖4中從最高點(diǎn)A到最低點(diǎn)E的過(guò)程.則

5 應(yīng)用

從上面的推導(dǎo)可以看出，在極短時(shí)間內(nèi)，圓周運(yùn)動(dòng)與拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是一樣的.在相同大小的力的作用下，物體可以做圓周運(yùn)動(dòng)，也可以做平拋運(yùn)動(dòng)，他們?cè)跇O短時(shí)間內(nèi)，看起來(lái)是同一種運(yùn)動(dòng).滿足相同的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律.我們可以將此思路應(yīng)用于浙江省2021年1月份選考試題壓軸題的解答［4］.

【試題】在芯片制造過(guò)程中，離子注入是其中一道重要的工序.如圖8所示是離子注入工作原理示意圖，離子經(jīng)加速后沿水平方向進(jìn)入速度選擇器，然后通過(guò)磁分析器，選擇出特定比荷的離子，經(jīng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)后注入處在水平面內(nèi)的晶圓（硅片）.速度選擇器、磁分析器和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向均垂直紙面向外；速度選擇器和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小均為E，方向分別為豎直向上和垂直紙面向外.磁分析器截面是內(nèi)外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)，其兩端中心位置M和N處各有一個(gè)小孔；偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的分布區(qū)域是同一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方體，其速度選擇器底面與晶圓所在水平面平行，間距也為L(zhǎng).當(dāng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)不加電場(chǎng)及磁場(chǎng)時(shí)，離子恰好豎直注入到晶圓上的O點(diǎn)（即圖中坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸垂直紙面向外）.整個(gè)系統(tǒng)置于真空中，不計(jì)離子重力，打在晶圓上的離子，經(jīng)過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的角度都很小.當(dāng)α很小時(shí)，有sinα≈tanα≈α，cosα≈1-.求：

圖8 離子注入工作原理示意圖

（1）離子通過(guò)速度選擇器后的速度大小v和磁分析器選擇出來(lái)離子的比荷；

（2）偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)僅加電場(chǎng)時(shí)離子注入晶圓的位置，用坐標(biāo)（x，y）表示；

（3）偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)僅加磁場(chǎng)時(shí)離子注入晶圓的位置，用坐標(biāo)（x，y）表示；

解：（1）通過(guò)速度選擇器離子的速度v=，從磁分析器中心孔N射出離子的運(yùn)動(dòng)半徑為

由牛頓第二定律

（2）經(jīng)過(guò)電場(chǎng)后，離子在x方向偏轉(zhuǎn)的距離

離開電場(chǎng)后，離子在x方向偏移的距離

（3）方法1：如圖9所示，離子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

圖9 磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)示意圖

方法2：由于物體所受到的電場(chǎng)力和洛倫茲力的大小一樣，雖然此時(shí)一個(gè)是圓周運(yùn)動(dòng)，但在極短時(shí)間內(nèi)，力的方向并沒有發(fā)生改變，可以當(dāng)做恒力處理，故在極短時(shí)間內(nèi)仍然與拋體平拋運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移變化、速度變化一致，則可直接寫出答案，即位置坐標(biāo)為

評(píng)析：本題的最大難點(diǎn)在于磁場(chǎng)運(yùn)算時(shí)的小量近似，由于近似過(guò)程比較陌生，學(xué)生答題的正確率并不高.可以從本文的角度進(jìn)行考查，在極短時(shí)間內(nèi)，曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡既可以當(dāng)做平拋運(yùn)動(dòng)來(lái)處理，又可以當(dāng)做圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)處理.所以，這兩者解答的結(jié)果必然是相同的.明白了這一點(diǎn)，只要做出第（1）、（2）小題，第（3）小題便可直接寫出答案，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，也可直接寫出第（4）小題的結(jié)果，節(jié)約了大量時(shí)間，并提高了解題的正確率.