基于深度學(xué)習(xí)理念下的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“三角形的初步認(rèn)識(shí)”為例

□杭州市之江實(shí)驗(yàn)中學(xué) 龐宇中

在深度學(xué)習(xí)的引領(lǐng)下，從單元整體結(jié)構(gòu)把握內(nèi)容的聯(lián)系，顯示數(shù)學(xué)教學(xué)本應(yīng)具有的研究?jī)r(jià)值，真正引發(fā)學(xué)生自主、有方向、有價(jià)值地完成學(xué)習(xí)任務(wù)，不僅符合數(shù)學(xué)學(xué)科特征，也對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、核心素養(yǎng)的提升大有裨益。所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生能掌握學(xué)科核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀，成為既具獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神、基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來社會(huì)歷史實(shí)踐的主人，這是教育部對(duì)深度學(xué)習(xí)的定義。

深度學(xué)習(xí)不是教學(xué)模式，而是教學(xué)思想、教學(xué)理念。它要求顯示出教學(xué)本來該有的樣子，能引發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，當(dāng)然這不等同于學(xué)生的自學(xué)，深度學(xué)習(xí)的前提是有教師引領(lǐng)，這其中教學(xué)必然是存在的，學(xué)習(xí)內(nèi)容是有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)單元，這個(gè)過程中每個(gè)學(xué)生都能沉浸在學(xué)習(xí)中，人人都能有所收獲，深度學(xué)習(xí)的任務(wù)是提高能力，形成優(yōu)良品格，就數(shù)學(xué)而言當(dāng)然包括核心素養(yǎng)的提升。如何讓教學(xué)有深度、有價(jià)值，關(guān)鍵在于對(duì)課例的整體把握。所以有意義的教學(xué)活動(dòng)，在建立聯(lián)系的基礎(chǔ)上，要形成結(jié)構(gòu)；通過問題引領(lǐng)，體驗(yàn)交流與頓悟，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生；利用單元整體教學(xué)，發(fā)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)點(diǎn)。筆者即以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)——“三角形的初步認(rèn)識(shí)”為例，談?wù)勛陨淼慕虒W(xué)主張。

一、單元整體構(gòu)建

在整體架構(gòu)的過程中，對(duì)研究對(duì)象來說，首先需要思考以下幾個(gè)問題：三角形的知識(shí)（內(nèi)容）是按照怎樣的邏輯展開教學(xué)的？理解什么叫“三角形的初步認(rèn)識(shí)”，初步之后干什么？又應(yīng)該如何展開教學(xué)？浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)——“三角形的初步認(rèn)識(shí)”的單元目錄主要包含以下內(nèi)容：1.1 認(rèn)識(shí)三角形，主要研究三角形概念及要素關(guān)系，一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)定理；1.2 和1.3 是命題證明等語言邏輯，暫且撇開不談；1.4 和1.5 是全等三角形的相關(guān)內(nèi)容；1.6 是尺規(guī)作圖，具體是操作層面上的問題。如果以現(xiàn)階段流行的大概念理念，可以將三角形初步梳理如下：

角三角形邊（線）聯(lián)系外角中線高線角平分線全等相似重心垂心內(nèi)心

其中大部分與教材相似，而相似三角形在研究難度上要大于全等三角形，部分學(xué)習(xí)方法是可以與全等三角形進(jìn)行類比的，因此將相似三角形內(nèi)容置后學(xué)習(xí)，也導(dǎo)致了重心的性質(zhì)延后。而內(nèi)心是圓相關(guān)的內(nèi)容，也是需要延后學(xué)習(xí)的，這也就確定了三角形初步學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

另外，三角形初步之后的進(jìn)一步研究該如何進(jìn)行，思考這個(gè)問題，對(duì)整體把握、深度學(xué)習(xí)有著非常關(guān)鍵的作用，也是形成聯(lián)系架構(gòu)的規(guī)劃方向?？梢詮囊韵氯齻€(gè)方面進(jìn)一步研究，第一，是研究維度加深，例如研究完中線的性質(zhì)，很容易引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想三角形有幾條中線，三條中線可能產(chǎn)生何種特殊的位置關(guān)系或者數(shù)量關(guān)系，三條中線的交點(diǎn)又會(huì)和中線本身，和三角形的其他要素產(chǎn)生何種關(guān)系。以此類推，三條角平分線、三條高線等，持續(xù)深入地挖掘要素之間的關(guān)系；第二，將要素或者圖形特殊化進(jìn)行研究，也就是所謂的特例的研究，比如等腰三角形、等邊三角形等，在要素特殊化的過程中，要素關(guān)系也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)變化，使研究成果更加豐富；第三，關(guān)聯(lián)性的復(fù)雜化，也就是從聯(lián)系上入手，從全等的等量關(guān)系到相似的比例關(guān)系，可以看作一種復(fù)雜化，但也因此大大增加了研究的輻射面，使涵蓋面更加廣泛。

理解清楚前后關(guān)聯(lián)與知識(shí)定位，更有助于教師進(jìn)行單元整體構(gòu)建，讓每一個(gè)部分都變成有意圖、有邏輯體系、有育人價(jià)值的重要環(huán)節(jié)。

二、邏輯主線生成

在單元整體架構(gòu)下，不難發(fā)現(xiàn)，三角形初步的整個(gè)基調(diào)是先研究一個(gè)三角形，再研究?jī)蓚€(gè)三角形之間的關(guān)系。三角形作為第一個(gè)學(xué)習(xí)的封閉直線型，奠定了后續(xù)幾何學(xué)習(xí)的導(dǎo)向，依照概念（定義、分類、表示）——性質(zhì)——聯(lián)系（結(jié)構(gòu)）的研究方法確定了幾何研究的邏輯思路，以要素間的關(guān)系為切入點(diǎn)進(jìn)行性質(zhì)的探究。比如，在教材中可以以三角形的基本要素，即邊與角為例，在通過要素間的關(guān)系定義概念后，即可探究角與角之間有內(nèi)角和為180°的確定的數(shù)量關(guān)系，邊之間有任意兩邊之和大于第三邊的不等關(guān)系，角與邊之間有大邊對(duì)大角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)然某些更為具體的關(guān)系會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)中繼續(xù)探索。而兩個(gè)三角形之間的關(guān)系依照?qǐng)D形之間的形狀、大小、位置等特征進(jìn)行定義，初步學(xué)習(xí)中主要研究最特殊的全等關(guān)系，而在研究一個(gè)三角形后，即可通過對(duì)應(yīng)關(guān)系有效傳遞某些特質(zhì)，這就是三角形初步學(xué)習(xí)所要達(dá)到的效果，也就是教師需要有序呈現(xiàn)給學(xué)生的知識(shí)邏輯。這樣的認(rèn)知過程是可復(fù)制的，對(duì)后續(xù)特殊三角形或四邊形等其他幾何圖形的學(xué)習(xí)是具有提供類比模板的效果的，這也是對(duì)深度學(xué)習(xí)的一個(gè)重要導(dǎo)向。而知識(shí)邏輯生成的前提是必須符合學(xué)生的認(rèn)知邏輯，比如學(xué)生更習(xí)慣從單一靜態(tài)圖形到多樣的組合圖形，或者動(dòng)態(tài)圖形；從簡(jiǎn)單的問題上升到復(fù)雜問題；從一般到特殊（有時(shí)也會(huì)從特例先入手）等，在符合學(xué)生認(rèn)知邏輯的基礎(chǔ)上的整體架構(gòu)才更能實(shí)現(xiàn)其價(jià)值，與知識(shí)邏輯交相輝映，實(shí)現(xiàn)事半功倍的效果。

三、具體內(nèi)容設(shè)計(jì)

整體架構(gòu)與邏輯主線的形成是大方向?qū)崿F(xiàn)的重要導(dǎo)向，但每一個(gè)課時(shí)環(huán)節(jié)也都是至關(guān)重要的，下面就如何教好某一個(gè)知識(shí)進(jìn)行深入研究。筆者以基本要素“三角形的重要線段”為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，重點(diǎn)解決以下問題：“三角形的重要線段”是如何教學(xué)的？一條線段的教學(xué)，整合起來要達(dá)成怎樣的教學(xué)目的？這個(gè)過程到底講述了怎樣的數(shù)學(xué)“故事”？揭示了三角形怎樣的空間結(jié)構(gòu)？在認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)幾何圖形的過程中，給將來學(xué)習(xí)，研究幾何圖形以怎樣的啟示？

（一）內(nèi)容與內(nèi)容解析

本節(jié)課選自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“1.1 認(rèn)識(shí)三角形”的第二課時(shí)。本章是初中階段學(xué)習(xí)的第一個(gè)直線型幾何圖形，也是初中第一個(gè)具體深入研究的幾何圖形。七年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾何初步以及相交線、平行線的基本內(nèi)容，對(duì)幾何已具備學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，針對(duì)幾何圖形的重要組成要素：點(diǎn)、線、角等進(jìn)行了較為深刻的認(rèn)識(shí)，尤其是它們之間的關(guān)系，如大小關(guān)系、位置關(guān)系等，有助于著手研究具體的幾何圖形。作為第一個(gè)具體學(xué)習(xí)的幾何圖形，三角形的學(xué)習(xí)對(duì)后續(xù)幾何學(xué)習(xí)有著至關(guān)重要的影響。它作為幾何學(xué)習(xí)標(biāo)志，為幾何學(xué)習(xí)提供了類比與轉(zhuǎn)化對(duì)象，形成了幾何學(xué)習(xí)的一般思路，為后續(xù)不論要素學(xué)習(xí)、特殊圖形學(xué)習(xí)，還是其他圖形學(xué)習(xí)提供了方法與理論基礎(chǔ)。三角形三線的學(xué)習(xí)是在三角形定義與基本性質(zhì)學(xué)習(xí)后深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容，三角形的基本性質(zhì)主要產(chǎn)生與角、邊等基本要素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果研究的視野僅僅聚焦于此，難免太過單調(diào)，也無法體現(xiàn)三角形反映的空間性質(zhì)，因此加入外角、高線、中線和角平分線等研究對(duì)象，能大大提高對(duì)三角形的認(rèn)知，使三角形的性質(zhì)變得更加豐富多彩。

對(duì)三線的定義，可以仿照三角形的定義，采用“屬+種差”的定義方式，實(shí)現(xiàn)研究方法的統(tǒng)一，性質(zhì)的探索依然可以利用三角形性質(zhì)研究時(shí)重點(diǎn)打造要素關(guān)系，三線的性質(zhì)反映了三線參與后與三角形本身的要素之間產(chǎn)生的定性、定量關(guān)系，為解決線段相等、角相等、比例相等、面積相等問題提供了新的方法和依據(jù)，更反映了大多數(shù)空間的基本性質(zhì)。因此本節(jié)課的內(nèi)容是平行線、三角形等知識(shí)的延續(xù)和深化，同時(shí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。筆者用如下框圖闡述了三角形三線的知識(shí)結(jié)構(gòu)：在具體研究過程中用到了推理的思想，具體體現(xiàn)在類比、歸納和演繹思想上。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：三角形三線的性質(zhì)及其應(yīng)用。

（二）目標(biāo)與目標(biāo)解析

本節(jié)課的目標(biāo)定位為：1.理解中線、高線、角平分線的概念；2.探索并發(fā)現(xiàn)三角形三線的性質(zhì)；3.嘗試證明三角形三線的部分性質(zhì)；4.能根據(jù)定義或性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。達(dá)成目標(biāo)1 的標(biāo)志是：學(xué)生能用文字語言、符號(hào)語言、圖形語言描述三線的定義，知道性質(zhì)的研究是以定義為出發(fā)點(diǎn)的。達(dá)成目標(biāo)2 的標(biāo)志是：學(xué)生能通過觀察、操作、測(cè)量、運(yùn)算等方法發(fā)現(xiàn)三角形三線的性質(zhì)，能用文字語言和符號(hào)語言準(zhǔn)確表示性質(zhì)的含義。達(dá)成目標(biāo)3 的標(biāo)志是：學(xué)生能利用已知的知識(shí)用符合數(shù)學(xué)邏輯的語言證明部分性質(zhì)成立。達(dá)成目標(biāo)4 的標(biāo)志是：學(xué)生能利用性質(zhì)進(jìn)行推理證明，解決相關(guān)問題。

（三）教學(xué)問題診斷

小學(xué)已初步接觸過三角形的相關(guān)內(nèi)容，但小學(xué)階段對(duì)幾何的學(xué)習(xí)主要停留在實(shí)驗(yàn)幾何的范疇，進(jìn)入初中通過幾何初步以及平行線的學(xué)習(xí)，進(jìn)行了一些推理證明的訓(xùn)練，對(duì)論證幾何有了一定的認(rèn)識(shí)，但這種訓(xùn)練只是初步的，需要進(jìn)一步鞏固和提高。另外，對(duì)三角形三線的性質(zhì)，基于小學(xué)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)和幾何直觀，學(xué)生能猜想出一些，但要無序散漫地尋找，還是有序理性地求索，此乃關(guān)鍵。教學(xué)中要讓學(xué)生在以往經(jīng)驗(yàn)的引導(dǎo)下自主探索，從要素關(guān)系入手，在特殊條件的引領(lǐng)下進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，體會(huì)其對(duì)空間性質(zhì)的深刻影響。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：三角形三線性質(zhì)的探索與證明。

（四）教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：獲得對(duì)象。在紙片上任意畫一個(gè)三角形，觀察小組內(nèi)所畫三角形是否相同，并說出他們的共同點(diǎn)是什么？（教師將零散的知識(shí)塊，串聯(lián)成研究幾何圖形的一般思路）。設(shè)計(jì)意圖：通過繪制三角形的過程，重現(xiàn)要素關(guān)系定義幾何圖形的方法，回顧三角形的定義，通過交流共同點(diǎn)回顧三角形的性質(zhì)與分類，熟悉通過要素關(guān)系研究定理的過程，形成研究幾何圖形的一般思路。畫一條線段把所畫的三角形分成兩個(gè)三角形。問題一：相互觀察，所畫線段是否一樣？問題二：這樣的線段可以畫幾條？問題三：這些線段有什么共同特點(diǎn)？問題四：隨著點(diǎn)P 的改變，被分成的兩個(gè)三角形是否發(fā)生了變化？問題五：在變化過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化？設(shè)計(jì)意圖：中線、高線、角平分線一定不是憑空出現(xiàn)的，三線之間也必然會(huì)有內(nèi)在聯(lián)系，在整體設(shè)計(jì)、深入理解的前提下，給出引領(lǐng)三線的重要線段，將視角從基本要素邊上轉(zhuǎn)移到頂點(diǎn)與對(duì)邊一點(diǎn)的連線段上，為之后三線的生成提供母體。通過問題串的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生去確定研究對(duì)象，思考變化中的不變量，經(jīng)歷性質(zhì)的產(chǎn)生過程，例如三角形的面積之比等于底邊之比等，為后續(xù)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)提供了方法指導(dǎo)。

小組討論，當(dāng)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)到哪些特殊位置時(shí)，可以得到更為特殊的線段AP。設(shè)計(jì)意圖：秉承從一般到特殊的理念，引導(dǎo)學(xué)生從不等到相等，從一般的角到特殊角，從變化過程中的最長(zhǎng)或最短、最大或最小等角度，進(jìn)行要素的特殊化處理，在如此系統(tǒng)的操作過程的引領(lǐng)下，中線、高線、角平分線的產(chǎn)生不僅自然，而且統(tǒng)一。給出中線、高線、角平分線的定義。設(shè)計(jì)意圖：定義的給出以要素關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，由此可將三線的定義整合，中線是頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的連線；高線則可看作過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線所產(chǎn)生的垂足與此頂點(diǎn)的連線；同樣的，三角形的角平分線則是角的角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)與該角頂點(diǎn)的連線，如此定義也可幫助學(xué)生理解相應(yīng)線段出現(xiàn)的位置差異，如三角形的形外高，同時(shí)進(jìn)一步明確三角形的三線是從頂點(diǎn)出發(fā)的三條線段，也與后續(xù)如中垂線、中位線等概念進(jìn)行有效區(qū)分。

環(huán)節(jié)二：探索性質(zhì)。接下去分別就三條特殊的線段進(jìn)行性質(zhì)探索。以高線為例：?jiǎn)栴}一：若AP 為高線，此時(shí)被分成的兩個(gè)三角形變成何種三角形？問題二：這些三角形的邊、角較一般情況會(huì)產(chǎn)生何種新的特征？問題三：對(duì)高線你還有其他能想到的嗎？問題四：除了以上的定性關(guān)系，從定量上來看高線還有別的特點(diǎn)嗎？設(shè)計(jì)意圖：探索要素關(guān)系是研究性質(zhì)的基本方法，在前面的活動(dòng)中讓學(xué)生聚焦于被分割的兩個(gè)三角形以及它們的要素。在高線的特殊條件加入后，引導(dǎo)學(xué)生觀察要素經(jīng)過條件感染后產(chǎn)生的明顯變化，學(xué)會(huì)從邊、角等方面有序羅列，從而發(fā)現(xiàn)如直角三角形、銳角三角形之間的互余關(guān)系，邊之間的定量關(guān)系等。隨后的追問將問題引到更加深沉的地步，比如高線是頂點(diǎn)與對(duì)邊交點(diǎn)連線中最短的，引出其重要的度量屬性，而談到面積又會(huì)產(chǎn)生化斜為正的重要思想，這樣的發(fā)現(xiàn)過程學(xué)生必然是沉浸其中的。

以中線為例：?jiǎn)栴}一：若AP 為中線，此時(shí)被分成的兩個(gè)三角形有何特征？問題二：這些三角形的邊、角、周長(zhǎng)、面積之間較一般情況會(huì)產(chǎn)生何種新的特征？問題三：對(duì)中線你還有其他能想到的嗎？設(shè)計(jì)意圖：三線性質(zhì)的探索過程是可以相互借鑒的，當(dāng)然除了聯(lián)系之外，也需要體會(huì)三者之間存在的差異，相較于高線分成的兩個(gè)直角三角形，中線所分的三角形不是特殊三角形，而需要通過中線帶來的直觀的線段相等入手，引導(dǎo)學(xué)生從一般情況發(fā)現(xiàn)的結(jié)論入手，得出并證明三角形之間面積相等的重要結(jié)論，自然的，周長(zhǎng)之間的關(guān)系也是容易一并生成的，后續(xù)的追問能讓學(xué)生體會(huì)類似中線所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的重要作用。

以角平分線為例：?jiǎn)栴}一：若AP 為角平分線，此時(shí)被分成的兩個(gè)三角形之間會(huì)產(chǎn)生何種聯(lián)系？問題二：除了角度相等以外，邊之間是否也存在特殊的關(guān)系呢？問題三：除了研究數(shù)本身以外，還可以從它們的和、差、積、商去研究他們的數(shù)量關(guān)系（展示和差積商，總結(jié)規(guī)律）。設(shè)計(jì)意圖：角平分線對(duì)三角形的影響是重要，但是生澀的，許多的性質(zhì)定理需要通過后面的知識(shí)方可證明，但對(duì)定理的發(fā)現(xiàn)，可以為學(xué)生提供思想方法與技術(shù)支持，在幾何畫板展示變化過程中的不變量，更容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)角平分線對(duì)邊之間比例關(guān)系的影響，提高學(xué)生的探索欲望，也堅(jiān)定其嘗試證明的決心，真正實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

環(huán)節(jié)三：應(yīng)用新知

1.在△ABC 中，D 是BC 邊上的一點(diǎn)，若S△ABD=S△ADC，則AD 是△ABC 的（ ）。

A.高線 B.中線 C.角平分線 D.垂直平分線

2.如圖，ΔABC 中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，AD平分線∠BAC。過點(diǎn)D 作DE⊥AB 于點(diǎn)E，則∠ADE 的度數(shù)是（ ）。

3.已知△ABC 中，AC=5cm，中線AD 把△ABC 分成兩個(gè)小三角形，且△ABD 的周長(zhǎng)比△ADC 的周長(zhǎng)大2cm，你能求出AB 的長(zhǎng)嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過性質(zhì)的應(yīng)用及時(shí)鞏固性質(zhì)，讓發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)成功著陸，進(jìn)一步體會(huì)三角形三線對(duì)三角形的特殊作用。

環(huán)節(jié)四：梳理小結(jié)。問題一：研究對(duì)象（三角形的三線）是如何獲得的？問題二：我們是如何研究三線性質(zhì)的？問題三：三線的性質(zhì)有哪些應(yīng)用之處，在應(yīng)用時(shí)需要注意哪些要點(diǎn)？問題四：你還可以從哪些角度進(jìn)一步研究三線的性質(zhì)？設(shè)計(jì)意圖：小結(jié)的過程往往就是方法總結(jié)的過程，也是我們進(jìn)行練習(xí)和架構(gòu)的重要環(huán)節(jié)，回顧整個(gè)研究思路，能進(jìn)一步鞏固研究幾何的一般套路，在整體統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)與學(xué)習(xí)后進(jìn)一步體會(huì)三角形章節(jié)的整體框架，真正做到心中有底，又不失熱情。隨后的追問為學(xué)生提供了新的研究線索，可以從一條到三條之間的聯(lián)系，可以著手于特殊三角形的三線等方面，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情不會(huì)隨著課時(shí)結(jié)束而終止。

（五）教學(xué)反思

深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵遠(yuǎn)不止于此，除了課內(nèi)要教給學(xué)生的內(nèi)容以外，教師仍需不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情、素養(yǎng)等許多方面，激發(fā)其自主探索的動(dòng)力，潛移默化中使之領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的魅力。比如，三角形三線的學(xué)習(xí)中，希望學(xué)生能從中線：面積相等；角平分線：邊的“對(duì)稱”比例關(guān)系；高線：距離（最短通路）等方面，體會(huì)到研究對(duì)象的根本屬性：對(duì)象具有對(duì)稱性，對(duì)象構(gòu)成距離空間，對(duì)象的度量特征。這恰恰反映了空間的本質(zhì)，后續(xù)的研究將永遠(yuǎn)圍繞三件事展開，在點(diǎn)滴中或許就形成了學(xué)生對(duì)幾何研究的整體性了。

四、幾點(diǎn)思考感悟

數(shù)學(xué)知識(shí)不是零散的、碎片式、雜亂無章的信息，而是有邏輯、有體系、有結(jié)構(gòu)的知識(shí)，基于深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)，要充分考慮學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，統(tǒng)觀整體的知識(shí)架構(gòu)，在教師的引導(dǎo)下，根據(jù)當(dāng)前的學(xué)習(xí)活動(dòng)區(qū)聯(lián)想、調(diào)動(dòng)、激活以往學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)開展當(dāng)下的學(xué)習(xí)。整體觀念的視角下，三角形三線的學(xué)習(xí)理應(yīng)是一氣呵成的，不是獨(dú)立分散的，所以教師不能局限于教材中簡(jiǎn)單的性質(zhì)，如今這種大膽的嘗試使獲得的性質(zhì)更具有整體性，能更完整地反映空間本質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。性質(zhì)發(fā)現(xiàn)的過程是學(xué)生自主交流、思維碰撞的過程，實(shí)現(xiàn)了從直觀到演繹推理的過程，有助于增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力和語言表達(dá)能力，提高學(xué)習(xí)興趣，沉浸于環(huán)環(huán)相扣的問題解決中，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。