基于證據(jù)理論的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合

王金波 吳偉志

粒計(jì)算[1-4]是當(dāng)前人工智能領(lǐng)域中活躍的研究方向之一.它以粒為基本計(jì)算單位,強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多角度、多層次的分析與處理.目前,學(xué)者們已提出較多涉及具體應(yīng)用背景的粒計(jì)算模型與方法.在這些研究中,粗糙集理論[5]對(duì)粒計(jì)算研究的發(fā)展起到重要作用.

粗糙集理論中的典型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)稱為信息系統(tǒng)和決策系統(tǒng),又稱信息表和決策表.經(jīng)典粗糙集理論通過信息系統(tǒng)和決策系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)定義等價(jià)關(guān)系,用等價(jià)類描述粒度,進(jìn)而對(duì)信息系統(tǒng)或決策系統(tǒng)進(jìn)行知識(shí)約簡(jiǎn)和規(guī)則提取.

由于等價(jià)關(guān)系這個(gè)條件過于嚴(yán)格,限制粗糙集理論的應(yīng)用,因此,一些學(xué)者對(duì)粗糙集模型進(jìn)行推廣.一方面,將等價(jià)關(guān)系推廣為一般的二元關(guān)系，得到各種關(guān)系下的推廣粗糙集模型[6-8],并用于各種信息系統(tǒng)和決策系統(tǒng)的知識(shí)獲取; 另一方面,將等價(jià)關(guān)系生成的劃分推廣為一般的覆蓋,得到各種覆蓋粗糙集模型,并應(yīng)用于覆蓋信息(決策)系統(tǒng)的知識(shí)獲取[9-14].Zhu等[12]給出論域的單個(gè)覆蓋保持集合下近似和上近似不變的約簡(jiǎn)方法與近似算子的公理化刻畫.Couso等[13]建立不完備信息系統(tǒng)和覆蓋粗糙集理論之間的聯(lián)系.Yao等[14]在統(tǒng)一框架下研究基于覆蓋的粗糙近似算子.

然而,在傳統(tǒng)的粗糙集數(shù)據(jù)分析中,不論是Pawlak粗糙集及其應(yīng)用的信息(決策)系統(tǒng),還是覆蓋粗糙集及其應(yīng)用的信息(決策)系統(tǒng),每個(gè)對(duì)象在每個(gè)屬性下只能取單個(gè)尺度的屬性值.但現(xiàn)實(shí)生活中人們可能需要在不同的尺度下關(guān)于同一對(duì)象在同一屬性下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行觀察、分析,因此如何在這樣的數(shù)據(jù)集上發(fā)現(xiàn)知識(shí)成為重要問題.

針對(duì)這一問題,Wu等[15]提出多尺度決策系統(tǒng)的粗糙集數(shù)據(jù)分析模型,給出這類系統(tǒng)的信息粒表示和多尺度規(guī)則提取方法.Wu等[16]又進(jìn)一步給出不完備多尺度決策系統(tǒng)的知識(shí)獲取方法,這個(gè)數(shù)據(jù)處理模型又稱為Wu-Leung模型[17].多尺度粗糙集數(shù)據(jù)分析的主要思想是：根據(jù)決策目標(biāo)，對(duì)每個(gè)屬性選擇一個(gè)合適的尺度或粒度，構(gòu)成一個(gè)新的單尺度信息系統(tǒng),然后在保持相同目標(biāo)約束的前提下進(jìn)行屬性約簡(jiǎn)(特征選擇)、決策規(guī)則提取及不確定性分析.因此,保持某種性質(zhì)(可以是定性的也可以是定量的)不變意義下選擇最粗的尺度標(biāo)記(稱為最優(yōu)尺度選擇或最優(yōu)粒度選擇)成為多尺度決策數(shù)據(jù)中知識(shí)獲取的一個(gè)關(guān)鍵問題,是多尺度粗糙集數(shù)據(jù)分析研究的一個(gè)重要方向.Li等[17]針對(duì)Wu-Leung模型中要求所有不同屬性都有相同的尺度個(gè)數(shù)這一限制,提出廣義多尺度決策系統(tǒng)的概念，并給出補(bǔ)模型和格模型兩種方法用于分析此類數(shù)據(jù)的知識(shí)獲取問題.Li等[18]利用格模型中定義的最優(yōu)尺度組合概念進(jìn)一步研究不協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)中的6種最優(yōu)尺度組合.Wu等[19]在不協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)中定義7種最優(yōu)尺度組合,并研究各種最優(yōu)尺度組合之間的關(guān)系.Li等[20]將多尺度粗糙集數(shù)據(jù)分析的方法引入覆蓋粗糙集理論中,提出多尺度覆蓋的概念，并研究協(xié)調(diào)與不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.陳應(yīng)生等[21]使用矩陣方法研究廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.Chen等[22]研究基于信息熵的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.也有一些學(xué)者提出廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的概念,陳應(yīng)生等[23]定義廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.胡軍等[24]研究基于最小化不確定性和代價(jià)的廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合選擇方法.

證據(jù)理論[25]是另一種有效處理不確定性的數(shù)學(xué)工具,該理論的基本概念是由mass函數(shù)生成的信任結(jié)構(gòu)，根據(jù)信任結(jié)構(gòu)可導(dǎo)出一對(duì)對(duì)偶的測(cè)度,即信任函數(shù)和似然函數(shù)，以此度量知識(shí)的不確定性.學(xué)者們研究證據(jù)理論與粗糙集理論之間的關(guān)系.在理論方面,Yao等[26]給出有限論域中一般二元關(guān)系產(chǎn)生的粗糙集中的下近似與證據(jù)理論中的信任函數(shù)之間的關(guān)系,一方面,證明集合的下近似的概率是該集合的信任度,另一方面,給定一個(gè)信任結(jié)構(gòu)和信任函數(shù),則一定存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的近似空間,使該近似空間導(dǎo)出的信任函數(shù)就是給定的信任函數(shù).Wu等[27-29]研究模糊環(huán)境下粗糙集理論與證據(jù)理論之間的關(guān)系,給出無(wú)限論域中基于模糊蘊(yùn)含算子的粗糙近似空間導(dǎo)出的下近似算子與上近似算子和信任結(jié)構(gòu)及其生成的信任函數(shù)與似然函數(shù)的相互表示.在應(yīng)用發(fā)展方面,Chen等[9]對(duì)若干覆蓋粗糙集進(jìn)行分類,建立覆蓋粗糙集與證據(jù)理論的關(guān)系,并設(shè)計(jì)基于信任函數(shù)的屬性約簡(jiǎn)算法[10].Tan等[30]在不完備信息系統(tǒng)中使用證據(jù)理論定量刻畫多粒度粗糙集的上近似與下近似,設(shè)計(jì)基于證據(jù)理論的屬性約簡(jiǎn)算法.吳偉志等[31-32]使用證據(jù)理論給出不協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合和不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合的特征.車曉雅等[33]研究4種多粒度覆蓋粗糙集與證據(jù)理論之間的關(guān)系.這些研究表明,證據(jù)理論可定量刻畫各種系統(tǒng)中知識(shí)的不確定性,因此可使用證據(jù)理論分析信息(決策)系統(tǒng)中的知識(shí)獲取問題.

迄今尚未有用證據(jù)理論刻畫廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度組合的相關(guān)研究,本文在文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上,使用證據(jù)理論分別刻畫協(xié)調(diào)與不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合,給出各種最優(yōu)尺度組合概念之間的關(guān)系.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 覆蓋粗糙集

本節(jié)回顧一些覆蓋粗糙集的基本概念.

本文使用U表示一個(gè)非空有限集合,稱為論域.U的全體子集記為P(U).若C?P(U)，??C，且C中所有集合的并集為U(即∪C=U),則稱C為U上的一個(gè)覆蓋.U上的所有覆蓋全體表示為

C(U)={C?P(U)|(??C)∧(∪C=U)}.

一個(gè)二元組(U,)稱為一個(gè)覆蓋信息系統(tǒng),其中,={C1,C2,…,Cm}為U上的一族覆蓋,若D={D1,D2,…,Dr}為U上的一個(gè)劃分,則稱三元組(U,,D)為一個(gè)覆蓋決策系統(tǒng).

定義1[14]設(shè)C是論域U上的一個(gè)覆蓋,?x∈U,集族

mdC(x)={K∈C|x∈K∧

(?S∈C(x∈S∧S?K?K=S))},

MDC(x)={K∈C|x∈K∧

(?S∈C(x∈S∧S?K?K=S))},

分別稱為x關(guān)于C的極小描述和極大描述.

論域U上的一個(gè)映射N∶U→P(U)稱為U上的一個(gè)鄰域算子.基于鄰域算子N,集合X?U的下近似和上近似分別定義如下：

這里～X表示X關(guān)于U的補(bǔ)集,即

～X={x∈U|x?X}.

接下來(lái)給出覆蓋信息系統(tǒng)中4種鄰域算子的定義.

特別地,當(dāng)C為U上的一個(gè)劃分時(shí),則

且它們均為劃分C中元素x的等價(jià)類.

定義3[33]設(shè)(U,)為一個(gè)覆蓋信息系統(tǒng),其中={C1,C2,…,Cm}為U上的一族覆蓋.?x∈U,x關(guān)于的4種鄰域Ni(x)(i∈{1,2,3,4})定義如下：

Ni

根據(jù)上述4種鄰域,分別定義X?U關(guān)于覆蓋信息系統(tǒng)(U,)的4對(duì)上、下近似如下：

此外,還可定義U上4種誘導(dǎo)的覆蓋

Covi()={Ni(x)|x∈U}.

性質(zhì)1[7,14]設(shè)(U,)為一個(gè)覆蓋信息系統(tǒng),X?U,Y?U,i∈{1,2,3,4},則

4)X?Y?

定義4[20]設(shè)U為論域,C1∈C(U),C2∈C(U),若對(duì)?K1∈C1,?K2∈C2,使得K1?K2,則稱C1比C2細(xì),或C2比C1粗,記為C1C2.

定義5[20,33]設(shè)(U,,D)為一個(gè)覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},若

Covi()D,

則稱(U,,D)為第i型協(xié)調(diào)的.

1.2 證據(jù)理論

定義6[25]設(shè)U為非空有限論域,集函數(shù)

m∶P(U)→[0,1]

稱為U上的一個(gè)mass函數(shù),若滿足

1)m(?)=0,

稱A∈P(U)為m的焦元,若m(A)>0.記

M={A∈P(U)|m(A)>0},

則序?qū)?M,m)稱為U上的一個(gè)信任結(jié)構(gòu).

定義7[25]設(shè)(M,m)為U上的一個(gè)信任結(jié)構(gòu),集函數(shù)

Bel∶P(U)→[0,1]

稱為U上的信任函數(shù),若

集函數(shù)

Pl∶P(U)→[0,1]

稱為U上的似然函數(shù),若

由同一信任結(jié)構(gòu)導(dǎo)出的信任函數(shù)和似然函數(shù)是對(duì)偶的,即

Pl(X)=1-Bel(～X).

反之,信任結(jié)構(gòu)中的mass函數(shù)可通過M?bius變換用信任函數(shù)表示,即?X∈P(U),

信任函數(shù)和似然函數(shù)還可等價(jià)地用公理定義.集函數(shù)

Bel∶P(U)→[0,1]

為U上的一個(gè)信任函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下公理：

1)Bel(?)=0,

2)Bel(U)=1,

3)對(duì)?X1?U,X2?U,…,Xl?U,有

同樣地,集函數(shù)

Pl∶P(U)→[0,1]

為U上的一個(gè)似然函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下公理：

1)Pl(?)=0,

2)Pl(U)=1,

3)對(duì)?X1?U,X2?U,…,Xl?U,有

一些學(xué)者研究覆蓋粗糙集與證據(jù)理論之間的關(guān)系[9,33],為了在統(tǒng)一框架下研究本文的廣義多尺度覆蓋粗糙集模型在各種多尺度系統(tǒng)中的應(yīng)用,給出如下定理1與定理2.

定理1[9,33]設(shè)(U,)為一個(gè)覆蓋信息系統(tǒng),其中為U上的一族覆蓋,i∈{1,2,3,4},定義關(guān)系劃分函數(shù)ji∶Covi()→P(U),

ji(X)={x∈U|X=Ni(x)},

則{ji(X)|X∈Covi()}構(gòu)成U上的一個(gè)劃分.

設(shè)U為一個(gè)非空有限論域,本文使用P表示均勻概率分布,即?X?U,

P(X)=|X|/|U|,

|X|表示集合X的基數(shù).

定理2[9,33]設(shè)(U,)為一個(gè)覆蓋信息系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},?X?U,記

2 廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)

在覆蓋決策系統(tǒng)(U,,D)中,={C1,C2,…,Cm}為U上的一族覆蓋,若中每個(gè)覆蓋都有多個(gè)尺度,則稱(U,,D)為一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng).下面結(jié)合文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[22]給出具體的定義.首先,定義8給出兩個(gè)覆蓋之間的尺度關(guān)系.

定義8[22]設(shè)U為論域,C′∈C(U),C″∈C(U),若存在一個(gè)滿射f∶C′→C″滿足對(duì)?K″∈C″,

則稱C″為基于C′的粒度變換覆蓋,f為粒度變換函數(shù).

本文使用C′?C″表示C″為基于C′的粒度變換覆蓋.

性質(zhì)2[20]設(shè)U為論域,則?滿足如下性質(zhì)：

1)自反性.C1?C1,?C1∈C(U);

2)傳遞性.對(duì)于?C1∈C(U),C2∈C(U),C3∈C(U),若C1?C2,C2?C3,則C1?C3.

性質(zhì)3[20]?C′∈C(U),C″∈C(U),若C′?C″,則對(duì)?x∈U,X?U,i∈{1,2,3,4},有

1)NiC′(x)?NiC″(x),

定義9[20]稱

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中

3)D={D1,D2,…,Dr}為U上的劃分.

在一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

中,若覆蓋Cj∈取第lj個(gè)尺度,

1≤lj≤Ij,j∈{1,2,…,m},

記L=(l1,l2,…,lm),則稱L為S的一個(gè)尺度組合.顯然,每個(gè)尺度組合對(duì)應(yīng)一個(gè)單尺度的覆蓋決策系統(tǒng)

SL=(U,

記S的尺度組合全體為L(zhǎng).設(shè)

L′=(l′1,l′2,…,l′m)∈L,L″=(l″1,l″2,…,l″m)∈L.

L′∧L″=(l′1∧l″1,l′2∧l″2,…,l′m∧l″m),

L′∨L″=(l′1∨l″1,l′2∨l″2,…,l′m∨l″m),

則(L,?，∧，∨)為一個(gè)有界格,也是一個(gè)完備格,最小元L1=(1,1,…,1),最大元為(I1,I2,…,Im).

性質(zhì)4[20]設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L′∈L,L″∈L,X?U,i∈{1,2,3,4},若L′?L″,則

1)Ni(x)?Ni(x),

定義10[20]設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4}.若SL1為第i型協(xié)調(diào)的,即

Covi(L1)D,

則稱S為第i型協(xié)調(diào)的,否則稱S為第i型不協(xié)調(diào)的.設(shè)S為第i型協(xié)調(diào)的,L′∈L,若SL′為第i型協(xié)調(diào)的,但對(duì)?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個(gè)第i型最優(yōu)尺度組合.

3 協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度組合

本節(jié)使用證據(jù)理論刻畫協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.

定理3在廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

中,L′∈L,L″∈L,X?U,i∈{1,2,3,4},若L′?L″,則

證明由定理2、性質(zhì)1和性質(zhì)4可得.

證畢.

定理4設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D={D1,D2,…,Dr})

為一個(gè)第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L∈L,i∈{1,2,3,4},若SL為第i型協(xié)調(diào)的,則

證明1)一方面,對(duì)?Dj∈D,根據(jù)性質(zhì)1,有

另一方面,對(duì)?x∈Dj,有x∈Ni(x),又根據(jù)協(xié)調(diào)性及D={D1,D2,…,Dr}為U上的劃分,有

Ni(x)?Dj,

2)一方面,對(duì)?Dj∈D,根據(jù)性質(zhì)1,有

Ni(x)∩Dj≠?.

設(shè)

y∈Ni(x)∩Dj,

從而

{x,y}?Ni(x),y∈Dj,

又根據(jù)協(xié)調(diào)性及D={D1,D2,…,Dr}為U上的劃分,有Ni(x)?Dj,從而{x,y}?Dj,故x∈Dj,于是

因此

證畢.

定理5設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為一個(gè)第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L=(l1,l2,…,lm)∈L,i∈{1,2,3,4},則如下條件等價(jià)：

1)SL=(U,為第i型協(xié)調(diào)的,

證明1)?2).若SL為第i型協(xié)調(diào)的,則對(duì)?Dj∈D,根據(jù)定理4,有

而D為U上的一個(gè)劃分,從而

2)?1).由于S為第i型協(xié)調(diào)的,故

若

則

即

(1)

由于L1?L,根據(jù)性質(zhì)4,對(duì)?Dj∈D,有

再根據(jù)式(1),可得

下證對(duì)?x∈U,有

Ni(x)?[x]D,

[x]D表示劃分D中包含元素x的等價(jià)類.由于

故

再根據(jù)下近似的定義,有

Ni(x)?[x]D,

從而SL為第i型協(xié)調(diào)的.

1)?3).若SL為第i型協(xié)調(diào)的,對(duì)?Dj∈D,根據(jù)定理4,有

而D為U上的一個(gè)劃分,從而

3)?1).反證法,若SL不是第i型協(xié)調(diào)的,則?x∈U,使得

Ni(x)[x]D,

即?y∈Ni(x)且y?[x]D.根據(jù)性質(zhì)1,

由于

Ni(x)∩[y]D≠?,

再結(jié)合定理3可得

這與

矛盾,于是SL為第i型協(xié)調(diào)的.

證畢.

由定理5可知,可通過決策類的信任度和似然度定量刻畫第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合,根據(jù)證據(jù)理論刻畫的最優(yōu)尺度組合和通過覆蓋粗糙集理論定義的最優(yōu)尺度組合可看作對(duì)系統(tǒng)保持協(xié)調(diào)性不變的最粗的尺度組合特征的定量刻畫與定性刻畫.在定理5的基礎(chǔ)上可進(jìn)一步得到定理6.

定理6設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L∈L,i∈{1,2,3,4},則如下條件等價(jià)：

1)L為S的一個(gè)第i型最優(yōu)尺度組合.

證明由定義10、定理3和定理5可證.

證畢.

4 不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的尺度組合

本節(jié)在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上,討論不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的各種最優(yōu)尺度組合和它們之間的關(guān)系.

設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L∈L,X?U,Y?U,Y≠?,定義

可證明

記

定義11設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L′∈L,i∈{1,2,3,4},則

1)若

則稱SL′為第i型下近似協(xié)調(diào)的.若SL′是第i型下近似協(xié)調(diào)的,而對(duì)?L″∈L,滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型下近似協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個(gè)第i型下近似最優(yōu)尺度組合.

2)若

Hi(D)=Hi(D),

則稱SL′為第i型上近似協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型上近似協(xié)調(diào)的,而對(duì)?L″∈L,滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型上近似協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個(gè)第i型上近似最優(yōu)尺度組合.

3)若?x∈U,

則稱SL′為第i型分布協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型分布協(xié)調(diào)的,而對(duì)?L″∈L，滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型分布協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個(gè)第i型分布最優(yōu)尺度組合.

4)若?x∈U,

則稱SL′為第i型最大分布協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型最大分布協(xié)調(diào)的,而對(duì)?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型最大分布協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個(gè)第i型最大分布最優(yōu)尺度組合.

5)若

Beli(D)=Beli(D),

則稱SL′為第i型信任分布協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型信任分布協(xié)調(diào)的,而對(duì)?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型信任分布協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個(gè)第i型信任分布最優(yōu)尺度組合.

6)若

則稱SL′為第i型似然分布協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型似然分布協(xié)調(diào)的,而對(duì)?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型似然分布協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個(gè)第i型似然分布最優(yōu)尺度組合.

7)若?x∈U,

則稱SL′為第i型廣義決策協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型廣義決策協(xié)調(diào)的,而對(duì)?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型廣義決策協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個(gè)第i型廣義決策最優(yōu)尺度組合.

下面討論這7種最優(yōu)尺度組合之間的關(guān)系.

定理7設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,若對(duì)?x∈U,

則

2)Hi(D)=Hi(D),

證明1)一方面,由于L1?L,根據(jù)性質(zhì)4,對(duì)?Dj∈D,有

另一方面,對(duì)?Dj∈D,?xk∈U,若

即Ni(xk)?Dj,有

P(Dj|Ni(xk))=1,

根據(jù)

得

P(Dj|Ni(xk))=P(Dj|Ni(xk))=1,

即Ni(xk)?Dj,從而所以

因此,對(duì)?Dj∈D,

即

2)一方面,由于L1?L,根據(jù)性質(zhì)4,對(duì)?Dj∈D,有

即

Ni(xk)∩Dj≠?,

有

P(Dj|Ni(xk))>0,

根據(jù)

得

P(Dj|Ni(xk))=P(Dj|Ni(xk))>0,

即

Ni(xk)∩Dj≠?,

因此,對(duì)?Dj∈D,

即

Hi(D)=Hi(D).

3)顯然可證.

證畢.

但定理7的逆命題不成立,下面用例1和例2說(shuō)明.

例1設(shè)

S=(U,={C1,C2},D)

為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中U={x1,x2,…,x6},C1有2個(gè)尺度,C2有1個(gè)尺度,分別表示如下：

于是S共有2個(gè)尺度組合(1,1)與(2,1).容易驗(yàn)證,S為第1、2、3、4型不協(xié)調(diào)的,計(jì)算可得，(1,1)是唯一的第1、2、3、4型分布最優(yōu)尺度組合和最大分布最優(yōu)尺度組合,(2,1)是唯一的第1、2、3、4型上近似最優(yōu)尺度組合和下近似最優(yōu)尺度組合.

結(jié)合定理7和例1可得，由SL為第i型分布協(xié)調(diào)的可推出SL為第i型上近似協(xié)調(diào)、第i型下近似協(xié)調(diào)的.

例2設(shè)

S=(U,={C1,C2},D)

為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中U={x1,x2,…,x6},C1有2個(gè)尺度,C2有1個(gè)尺度,分別表示如下：

于是S共有2個(gè)尺度組合(1,1)與(2,1).容易驗(yàn)證,S為第1、2、3、4型不協(xié)調(diào)的,計(jì)算可得,(1,1)是唯一的第1、2、3、4型分布最優(yōu)尺度組合、上近似最優(yōu)尺度組合和下近似最優(yōu)尺度組合,(2,1)是唯一的第1、2、3、4型最大分布最優(yōu)尺度組合.

結(jié)合定理7和例2可得，由SL為第i型分布協(xié)調(diào)的可推出SL為第i型最大分布協(xié)調(diào)的.結(jié)合例1和例2可知,在第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中,第i型最大分布最優(yōu)尺度組合與第i型上近似最優(yōu)尺度組合、第i型下近似最優(yōu)尺度組合之間無(wú)必然關(guān)系.

文獻(xiàn)[21]證明第1型上近似最優(yōu)尺度組合和第1型廣義決策最優(yōu)尺度組合是等價(jià)的,下面定理8統(tǒng)一證明第i型上近似最優(yōu)尺度組合和第i型廣義決策最優(yōu)尺度組合也是等價(jià)的.

定理8設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,則下述等價(jià)：

1)Hi(D)=Hi(D),

證明1)?2).若

Hi(D)=Hi(D),

則對(duì)?Dj∈D,有

從而?x∈U,

Ni(x)∩Dj≠??Ni(x)∩Dj≠?,

所以

j∈?i(x)?j∈?i(x),

故對(duì)?x∈U,

2)?1).若?x∈U,

則對(duì)?Dj∈D,

即

Ni(x)∩Dj≠??Ni(x)∩Dj≠?,

因此對(duì)?Dj∈D，

所以

Hi(D)=Hi(D).

證畢.

由定理8可知，SL為第i型上近似協(xié)調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)SL為第i型廣義決策協(xié)調(diào)的.

定理9設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,則下述等價(jià)：

2)Beli(D)=Beli(D),

證明1)?2).若

則對(duì)?Dj∈D,有

從而

故

Beli(D)=Beli(D).

2)?3).顯然可證.

3)?1).若

則

(2)

又根據(jù)性質(zhì)4,

(3)

即

再結(jié)合式(2)可得，?Dj∈D,

根據(jù)式(3)可得,對(duì)?Dj∈D,有

所以

證畢.

由定理9可知,L為S的一個(gè)第i型下近似最優(yōu)尺度組合當(dāng)且僅當(dāng)L為S的一個(gè)第i型信任分布最優(yōu)尺度組合.S的一個(gè)尺度組合對(duì)應(yīng)一個(gè)單尺度的覆蓋決策系統(tǒng),也對(duì)應(yīng)一個(gè)信任結(jié)構(gòu),根據(jù)覆蓋粗糙集理論定義的下近似最優(yōu)尺度組合與根據(jù)證據(jù)理論定義的信任分布最優(yōu)尺度組合可視為系統(tǒng)對(duì)保持確定性知識(shí)不變的最粗的尺度組合特征的定性與定量刻畫.

定理10設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,則下述等價(jià)：

1)Hi(D)=Hi(D),

證明與定理9證明類似.

證畢.

由定理10可知,L為S的一個(gè)第i型上近似最優(yōu)尺度組合當(dāng)且僅當(dāng)L為S的一個(gè)第i型似然分布最優(yōu)尺度組合.類似地,根據(jù)覆蓋粗糙集理論定義的上近似最優(yōu)尺度組合與根據(jù)證據(jù)理論定義的似然分布最優(yōu)尺度組合可視為系統(tǒng)保持可能性知識(shí)不變的最粗的尺度組合特征的定性與定量刻畫.

定理11設(shè)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,則

證明一方面,由于L1?L,根據(jù)性質(zhì)4,對(duì)?Dj∈D,有

另一方面,若

H(D)=H(D),

則對(duì)?Dj∈D,有

即對(duì)?x∈U,

Ni(x)∩Dj≠??Ni(x)∩Dj≠?.

(4)

Ni(y)∩Dj≠?,

且

Ni(y)∩Dk=?.

再根據(jù)式(4)可得,?k≠j,

Ni(y)∩Dj≠?,

且

Ni(y)∩Dk=?.

因此Ni(y)?Dj,即因此

綜上所述,對(duì)?Dj∈D,有

因此

證畢.

例3說(shuō)明定理11的逆命題不成立.

例3設(shè)

S=(U,={C1,C2},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中U={x1,x2,…,x6},C1有2個(gè)尺度,C2有1個(gè)尺度,分別表示如下：

于是S共有2個(gè)尺度組合(1,1)與(2,1).計(jì)算可得,(2,1)是唯一的第1、2、3、4型下近似最優(yōu)尺度組合,而(1,1)是唯一的第1、2、3、4型上近似最優(yōu)尺度組合.

結(jié)合定理11和例3可知，由SL為第i型上近似協(xié)調(diào)的可推出SL為第i型下近似協(xié)調(diào)的.

通過本節(jié)的討論，可得到在第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中7種協(xié)調(diào)性之間的關(guān)系，直觀表示如圖1所示.由圖可知,在第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中實(shí)際有4種不同的最優(yōu)尺度組合,這一結(jié)果與文獻(xiàn)[19]中討論的不協(xié)調(diào)完備廣義多尺度決策系統(tǒng)中7種最優(yōu)尺度組合之間的關(guān)系類似.

圖1 不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中7種協(xié)調(diào)性之間的關(guān)系Fig.1 Relationships among 7 types of consistencies in inconsistent generalized multi-scale covering decision systems

需要指出的是,在第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)S中,第i型下近似最優(yōu)尺度組合、第i型上近似最優(yōu)尺度組合、第i型分布最優(yōu)尺度組合、第i型信任分布最優(yōu)尺度組合、第i型似然分布最優(yōu)尺度組合和第i廣義決策最優(yōu)尺度組合都是等價(jià)的且它們都與定義10定義的第i型最優(yōu)尺度組合等價(jià)(結(jié)合圖1、定理4和定理5易證).此外,由SL為第i型分布協(xié)調(diào)的可推出SL為第i型最大分布協(xié)調(diào)(根據(jù)定理7易證),但反之不成立,下面用例4說(shuō)明.

例4設(shè)S=(U,={C1,C2},D)為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中U={x1,x2,…,x7},C1有2個(gè)尺度,C2有1個(gè)尺度,分別表示如下：

于是S共有2個(gè)尺度組合(1,1)與(2,1).容易驗(yàn)證,S為第1、2、3、4型協(xié)調(diào)的.計(jì)算可得,(1,1)是唯一的第1、2、3、4型最優(yōu)尺度組合和分布最優(yōu)尺度組合,而(2,1)是唯一的第1、2、3、4型最大分布最優(yōu)尺度組合.

綜上可知，在第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中,本節(jié)定義的7種最優(yōu)尺度組合之間的關(guān)系可用圖2表示,這一結(jié)果與文獻(xiàn)[19]討論的協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)中的結(jié)論不同.

圖2 協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中7種協(xié)調(diào)性之間的關(guān)系Figure.2 Relationships among 7 types of consistencies in consistent generalized multi-scale covering decision systems

5 廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的應(yīng)用

本節(jié)給出廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度選擇模型在不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)和廣義多尺度集值決策系統(tǒng)中的應(yīng)用.

5.1 在不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)中的應(yīng)用

定義12[32]一個(gè)廣義多尺度決策系統(tǒng)為一個(gè)二元組(U,AT∪j5i0abt0b),其中，U={x1,x2,…,xn}為非空有限論域,d為決策屬性,d∶U→Vd,Vd為決策屬性的值域,由d導(dǎo)出的決策劃分為

即

在廣義多尺度決策系統(tǒng)中,若某個(gè)對(duì)象在某個(gè)屬性上的取值未知,則稱該系統(tǒng)為不完備廣義多尺度決策系統(tǒng),用*表示缺省值,即若ak(x)=*,則認(rèn)為x在屬性ak上的取值未知.此時(shí)不同尺度之間的屬性值變換為

其中,k∈{1,2,…,Ij-1},j∈{1,2,…,m},x∈U.

在對(duì)不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)進(jìn)行知識(shí)獲取時(shí),通常的方法是定義一個(gè)相似關(guān)系[32],得到每個(gè)對(duì)象的相似類,進(jìn)而定義相關(guān)的協(xié)調(diào)性和最優(yōu)尺度組合等概念.根據(jù)文獻(xiàn)[20],一個(gè)不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng).

顯然,對(duì)?j∈{1,2,…,m},k∈{1,2,…,Ij},

為U上的一個(gè)覆蓋.易證[20],對(duì)

從而由一個(gè)不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)

導(dǎo)出一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)

(U,{a-1(V1),a-1(V2),…,a-1(Vm)},D),

其中

將一個(gè)不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,可根據(jù)第3節(jié)和第4節(jié)的討論,計(jì)算該系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.文獻(xiàn)[20]已證明按照本文討論的第4型鄰域計(jì)算得到的最優(yōu)尺度組合與按照定義一個(gè)相似關(guān)系得到的最優(yōu)尺度組合是等價(jià)的,具體見文獻(xiàn)[20],這里不再詳細(xì)討論,下面使用例5進(jìn)行說(shuō)明.

例5[16]表1給出一個(gè)不協(xié)調(diào)的不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)(U,AT∪j5i0abt0b),其中

表1 不協(xié)調(diào)的不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)Table 1 An inconsistent incomplete generalized multi-scale decision system

U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10},

AT={a1,a2,a3},

a1、a2、a3都有3個(gè)尺度,S、M、L、E、G、Y和N分別表示小、中、大、優(yōu)、良、是和否，d為單尺度決策屬性.

計(jì)算可得

{x5,x6,x7},{x5,x6,x8}，{x5,x6,x9,x10}},

{x5,x6,x7,x8,x9,x10}},

{{x1,x2,x3,x4,x5,x6},{x5,x6,x7,x8,x9,x10}},

{{x1,x2},{x3,x6,x8,x10},{x4,x5,x7,x9}},

{x7,x8,x9,x10}},

{x7,x8,x9,x10}},

D={D1,D2},

其中

D1={x1,x2,x3,x4,x5,x6},D2={x7,x8,x9,x10}.

令

從而

S=(U,

為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng).所有的尺度組合為

L={(l1,l2,l3)|l1,l2,l3∈{1,2,3}},

因此S共有27個(gè)尺度組合.

經(jīng)計(jì)算可得

N4(x1)={x1},N4(x2)={x2},

N4(x3)={x3,x6},N4(x4)={x4,x5},

N4(x5)={x4,x5,x7},N4(x6)={x3,x6,x8},

N4(x7)={x5,x7},N4(x8)={x6,x8},

N4(x9)={x9},N4(x10)={x10}.

由于

N4(x5)={x4,x5,x7}D1,

且

N4(x5)={x4,x5,x7}D2,

所以S為第4型不協(xié)調(diào)的,根據(jù)第4節(jié)中的討論,計(jì)算可得

Bel4(D)=(Bel4(D1),Bel4(D2))=

Bel4(D)=(Bel4(D1),Bel4(D2))=

Bel4(D)=(Bel4(D1),Bel4(D2))=

所以(3,3,2)為S的一個(gè)第4型信任分布最優(yōu)尺度組合,也是原不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的一個(gè)信任分布最優(yōu)尺度組合.同時(shí),計(jì)算可得

所以(3,3,2)為S的一個(gè)第4型似然分布最優(yōu)尺度組合,也是原不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的一個(gè)似然分布最優(yōu)尺度組合.并且,可得到論域中的對(duì)象在不同尺度組合下的分布,如表2所示.

表2 例5中的對(duì)象在不同尺度組合下的分布Table 2 Distribution of objects under different scale combinations in Example 5

易見,(1,1,2)為S的一個(gè)第4型分布最優(yōu)尺度組合,也是原不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的一個(gè)分布最優(yōu)尺度組合,(1,1,2)為S的一個(gè)第4型最大分布最優(yōu)尺度組合,也是原不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的一個(gè)最大分布最優(yōu)尺度組合.

結(jié)合例5和本節(jié)的討論,將一個(gè)不協(xié)調(diào)的不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,可用本文第4節(jié)的方法計(jì)算該系統(tǒng)的4種最優(yōu)尺度組合,因此本文第4節(jié)中的結(jié)論可視為文獻(xiàn)[19]中討論的不協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合之間的關(guān)系在不完備情形下的推廣.

5.2 在廣義多尺度集值決策系統(tǒng)中的應(yīng)用

在一個(gè)決策系統(tǒng)中,若某個(gè)對(duì)象的某個(gè)屬性有多個(gè)取值,稱這樣的系統(tǒng)為集值決策系統(tǒng).以往關(guān)于集值決策系統(tǒng)的研究中,每個(gè)屬性只有一個(gè)尺度,文獻(xiàn)[22]～文獻(xiàn)[24]定義廣義多尺度集值決策系統(tǒng),并討論廣義多尺度集值決策系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度選擇問題,但這些研究均未使用證據(jù)理論刻畫最優(yōu)尺度組合.下面討論將一個(gè)廣義多尺度集值決策系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,結(jié)合第3節(jié)和第4節(jié)中的結(jié)論，使用證據(jù)理論刻畫相關(guān)的最優(yōu)尺度組合.

定義13[22]稱(U,AT∪j5i0abt0b)為廣義多尺度集值決策系統(tǒng),其中，U={x1,x2,…,xn}為非空有限論域,d為決策屬性,d∶U→Vd,Vd為決策屬性的值域,由d導(dǎo)出的決策劃分為

為非空有限屬性集,

使

即

下面討論廣義多尺度集值決策系統(tǒng)與廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)之間的關(guān)系.

定義集合類

其中

將一個(gè)廣義多尺度集值決策系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,可根據(jù)第3節(jié)和第4節(jié)中的討論,計(jì)算協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合,下面用例6簡(jiǎn)單描述協(xié)調(diào)廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合的計(jì)算方法.

注將一個(gè)廣義多尺度集值決策系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,可采用本文定義的4種鄰域中的一種用于計(jì)算系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合,有些研究[22-23]采用第1型鄰域,也有一些研究[24]采用第4型鄰域,例6采用第1型鄰域.

例6[22]表3為廣義多尺度集值決策系統(tǒng)

表3 一個(gè)廣義多尺度集值決策系統(tǒng)Table 3 A generalized multi-scale set-valued decision system

不同尺度間的信息粒度變換為

根據(jù)本節(jié)的討論,由它導(dǎo)出的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)為

其中

{x2,x5,x6},{x3,x4,x6},{x2,x3,x4}},

{x2,x5,x6},{x2,x3,x4,x6}},

{x1,x2,x3,x6},{x5,x6,x7,x8},{x5,x6,x8}},

{x5,x6,x7,x8}},

D={D1,D2,D3,D4},

其中

D1={x1,x2},D2={x3,x4},

D3={x5,x6},D4={x7,x8}.

S共有9個(gè)尺度組合.由于

N1(x1)={x1},N1(x2)={x2},

N1(x3)={x3},N1(x4)={x4},

N1(x5)={x5},N1(x6)={x6},

N1(x7)={x7},N1(x8)={x8},

從而S是第1型協(xié)調(diào)的,計(jì)算可得

根據(jù)第3節(jié)中的討論可知,(2,2)為S的一個(gè)第1型最優(yōu)尺度組合,也是原廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的一個(gè)最優(yōu)尺度組合.

6 結(jié) 束 語(yǔ)

證據(jù)理論和粗糙集理論都是處理數(shù)據(jù)的不確定性問題的有效方法,本文結(jié)合證據(jù)理論和粗糙集理論,定量、定性地研究廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度組合的選擇問題.在協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋系統(tǒng)中,使用證據(jù)理論中的信任函數(shù)和似然函數(shù)刻畫最優(yōu)尺度組合的數(shù)值特征.在不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中,定義7種最優(yōu)尺度組合概念,并給出它們之間的關(guān)系.將本文方法應(yīng)用于不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)和廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合的選擇問題,闡明可在統(tǒng)一框架下研究這些多尺度系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合選擇問題.在后續(xù)的研究中,一方面可用證據(jù)理論研究廣義多尺度覆蓋系統(tǒng)的局部最優(yōu)尺度組合的選擇問題,另一方面可進(jìn)一步研究相應(yīng)的知識(shí)約簡(jiǎn)與規(guī)則提取問題.