屬性權(quán)重信息未知下基于概率對偶猶豫模糊信息相關(guān)性系數(shù)的多屬性決策方法

宋 娟 倪志偉 武文穎 金飛飛 李 萍,4

作為決策理論的重要組成部分，多屬性決策在工程、管理和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[1-4].然而，決策環(huán)境的復(fù)雜性和人類認(rèn)知的局限性使決策專家難以利用精確值描述決策信息.自模糊集(Fuzzy Set, FS)的概念提出后，F(xiàn)S成為處理復(fù)雜多屬性決策問題的有力工具[5-10].隨著FS理論研究的發(fā)展，學(xué)者們提出FS的多種擴(kuò)展形式，例如：直覺模糊集[11-14]、單值中智集[15-18]和畢達(dá)哥拉斯模糊集[19-22].針對決策者表達(dá)決策信息時對幾個評價值猶豫不定的情形，Torra[23]提出FS的重要擴(kuò)展形式——猶豫模糊集.在猶豫模糊集的基礎(chǔ)上，Zhu等[24]考慮非隸屬度是猶豫的情形，提出對偶猶豫模糊集，但未考慮隸屬度和非隸屬度出現(xiàn)的不同可能性.朱斌[25]結(jié)合概率信息與猶豫模糊集，提出概率猶豫模糊集，但未考慮非隸屬度及其相應(yīng)的重要性.因此，如何結(jié)合隸屬度、非隸屬度與概率信息，進(jìn)而更好地解決多屬性決策問題有待于進(jìn)一步研究.

屬性權(quán)重確定和屬性信息融合是模糊決策領(lǐng)域的兩個重要研究課題.一方面，針對屬性權(quán)重確定問題的研究已取得許多成果.在雙層次猶豫模糊語言環(huán)境下，Krishankumar等[26]利用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型計(jì)算屬性權(quán)重，提出VIKOR的多屬性決策方法.Zheng等[27]利用熵權(quán)法計(jì)算屬性權(quán)重，并提出基于直覺梯形模糊逼近理想解排序法(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution, TOPSIS)的多屬性決策方法.Wan等[18]最大化每個備選方案的總體知識測度，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型以確定屬性權(quán)重，并提出畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)序關(guān)系，用于備選方案的排序.Wang等[28]利用最大離差法確定屬性權(quán)重，提出基于距離測度的概率語言多屬性決策方法.在屬性權(quán)重是決策專家主觀賦值的情形下，向南等[29]設(shè)計(jì)基于專家信任網(wǎng)絡(luò)的不完全猶豫模糊多屬性群決策方法.另一方面，針對屬性信息融合問題，學(xué)者們把相關(guān)性系數(shù)引入模糊多屬性決策中.Song等[30]給出概率猶豫模糊集之間的相關(guān)性系數(shù)和加權(quán)相關(guān)性系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上解決概率猶豫模糊環(huán)境下的多屬性決策問題.Meng等[31]定義對偶猶豫模糊加權(quán)相關(guān)性系數(shù)和Shapley相關(guān)性系數(shù)，并給出其在工程管理中的應(yīng)用.曾守楨等[32]給出基于改進(jìn)的概率語言類綜合Pearson相關(guān)性系數(shù)的多屬性決策方法.Li等[33]構(gòu)建屬于[-1,1]內(nèi)的猶豫模糊語言相關(guān)性系數(shù)，并通過算例驗(yàn)證其在多屬性決策中的有效性.Sun等[34]提出改進(jìn)的猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)，并用于醫(yī)學(xué)診斷和聚類分析.

考慮到結(jié)合隸屬度、非隸屬度與概率信息后，能更好地解決多屬性決策問題，Hao等[35]提出概率對偶猶豫模糊集(Probabilistic Dual Hesitant FS, PDHFS)和基于概率對偶猶豫模糊熵的可視化多屬性決策方法.基于PDHFS，文獻(xiàn)[36]～文獻(xiàn)[38]分別提出基于二部圖論、相關(guān)性系數(shù)和Maclaurin集成的概率對偶猶豫模糊多屬性決策方法.但是，文獻(xiàn)[35]～文獻(xiàn)[38]中的屬性權(quán)重是決策者主觀給出，容易造成決策結(jié)果帶有主觀隨意性.此外，Garg等[37]提出概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)，只能顯示PDHFS間的相關(guān)強(qiáng)度，不能反映相關(guān)的正負(fù)極性.Ren等[39]應(yīng)用層次分析法(Analytic Hierarchy Process, AHP)確定屬性權(quán)重，提出概率對偶猶豫模糊環(huán)境下的集成VIKOR-AHP多屬性決策方法.Garg等[40]利用最大離差法計(jì)算屬性權(quán)重，提出基于概率對偶猶豫模糊信息距離測度的多屬性決策方法.但是，文獻(xiàn)[39]和文獻(xiàn)[40]中的屬性權(quán)重是利用決策信息計(jì)算得到的客觀權(quán)重，決策結(jié)果容易忽視決策者的主觀經(jīng)驗(yàn).

針對上述不足，本文結(jié)合屬性主觀權(quán)重和利用熵權(quán)法確定的屬性客觀權(quán)重，提出基于概率對偶猶豫模糊信息相關(guān)性系數(shù)的多屬性決策方法，并給出符合傳統(tǒng)相關(guān)性系數(shù)定義的改進(jìn)的概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)和加權(quán)相關(guān)性系數(shù).最后，利用本文方法實(shí)現(xiàn)霧霾治理措施的擇優(yōu)排序.

1 概率對偶猶豫模糊集相關(guān)知識

定義1[35]設(shè)X為一個非空集合，定義在X上的PDHFS為

T={(xi,a(xi)|p(xi),b(xi)|q(xi))|xi∈X},

其中，a(xi)、b(xi)為[0,1]區(qū)間內(nèi)幾個不同數(shù)的集合，分別表示xi屬于集合T的可能隸屬度和可能非隸屬度，p(xi)、q(xi)分別為相應(yīng)的概率.對于

滿足

注1t(xi)=(a(xi)|p(xi),b(xi)|q(xi))稱為概率對偶猶豫模糊元(Probabilistic Dual Hesitant Fuzzy Element, PDHFE)，為了方便起見，將PDHFE

t(xi)=(a(xi)|p(xi),b(xi)|q(xi))

記為

t=(a|p,b|q)，

則

定義2[35]設(shè)t=(a|p,b|q)為一個PDHFE，定義

為t的得分函數(shù)，

為t的偏差函數(shù)，其中，#a、#b分別表示集合a|p和b|q中所含元素的個數(shù).

記tk(k=1,2)為任意2個PDHFE，s(tk)和σ(tk)為相應(yīng)的得分函數(shù)和偏差函數(shù)，Hao等[35]給出如下PDHFE之間的比較法則：

1)若s(t1)>s(t2)，則t1優(yōu)于t2，記為t1?t2；類似地，若s(t1)

2)若s(t1)=s(t2)，則

(1)若σ(t1)>σ(t2)，則t1劣于t2，記為t1t2；

(2)若σ(t1)=σ(t2)，則t1等價于t2，記為t1～t2；

(3)若σ(t1)<σ(t2)，則t1優(yōu)于t2，記為t1?t2.

文獻(xiàn)[35]定義如下PDHFE之間的運(yùn)算法則：

令

為3個PDHFE，λ≥0，有

定義3[35]令

tk=(ak|pak,bk|qbk),k=1,2,…,n

為一列PDHFE，φ=(φ1,φ2,…,φn)T為相應(yīng)的權(quán)重向量，滿足

φk≥0，φ1+φ2+…+φn=1，

則概率對偶猶豫模糊加權(quán)平均算子為

當(dāng)

時，概率對偶猶豫模糊加權(quán)平均算子為概率對偶猶豫模糊平均(Probabilistic Dual Hesitant Fuzzy Ave-raging, PDHFA)算子.

定義4[35]對于任意的PDHFE

將每個隸屬度值與非隸屬度值之間的差異度和猶豫度分別定義為

?ε()=|τε()pτε()-υε()qυε()|,

ρε()=1-(τε()pτε()+υε()qυε())，

其中，τε()、υε()分別為隸屬度和非隸屬度中第小的元素，pτε()和qυε()分別為相應(yīng)的概率值，

L=max(#a,#b).

PDHFEt=(a|p,b|q)的熵I為關(guān)于?ε()和ρε()的函數(shù)，滿足如下條件：

1)0≤I(t)≤1；

2)I(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)?ε()=1,ρε()=0；

3)I(t)=1當(dāng)且僅當(dāng)?ε()=0,ρε()=1；

4)I(tc)=I(t)；

5)I為關(guān)于?ε()的單調(diào)遞減函數(shù)，同時，I為關(guān)于ρε()的單調(diào)遞增函數(shù).

2 屬性權(quán)重確定方法及改進(jìn)的概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)

2.1 屬性權(quán)重確定方法

本節(jié)提出綜合屬性主觀權(quán)重和屬性客觀權(quán)重的屬性權(quán)重確定方法，得到合理、全面的屬性權(quán)重信息.決策專家根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和自身的知識水平給出屬性主觀權(quán)重，記為

下面利用熵權(quán)法計(jì)算屬性客觀權(quán)重.

PDHFS的信息熵是度量PDHFS的不確定程度的有效工具，但是文獻(xiàn)[35]提出的概率對偶猶豫模糊信息熵要求隸屬度和非隸屬度中的元素個數(shù)相同，在實(shí)際的決策問題中，隸屬度和非隸屬度中的元素個數(shù)通常是不同的，而給隸屬度或非隸屬度添加元素會破壞原始的評價信息.

為此，本文給出改進(jìn)的概率對偶猶豫模糊信息熵.對于任意的PDHFEt=(a|p,b|q)，將t的隸屬度與非隸屬度的平均差異度?和平均猶豫度ρ定義為

則t=(a|p,b|q)的熵I是關(guān)于?和ρ的函數(shù).本文將t=(a|p,b|q)的信息熵定義為

(1)

不難看出，本文定義的信息熵不需要隸屬度和非隸屬度中的元素個數(shù)相同.

熵權(quán)法是根據(jù)屬性指標(biāo)包含信息量的多少以確定屬性權(quán)重的客觀賦值法.屬性的概率對偶猶豫模糊熵值越大，說明該屬性提供的信息量越小，在方案評價中的作用越小，應(yīng)賦予該屬性較小的權(quán)重；否則，應(yīng)賦予該屬性較大的權(quán)重.

設(shè)PDHFEtij=(aij|pij,bij|qij)表示決策專家對第i個備選方案在第j個屬性上的評價值，利用熵權(quán)法確定屬性客觀權(quán)重的計(jì)算過程如下.

1)計(jì)算第j個屬性的熵值.由式(1)得到

tij=(aij|pij,bij|qij)

的熵為

其中

pτij為τij的關(guān)聯(lián)概率，qυij?為υij?的關(guān)聯(lián)概率，

在本文中，令

根據(jù)決策專家的評價值計(jì)算第j個屬性的熵值為

(2)

2)計(jì)算第j個屬性的客觀權(quán)重.基于第j個屬性的熵值(式(2))，第j個屬性的客觀權(quán)重為

(3)

然后，決策專家根據(jù)決策問題的具體情況設(shè)定參數(shù)δ(0≤δ≤1)對屬性的主客觀權(quán)重進(jìn)行集結(jié)，得到屬性權(quán)重為

(4)

其中δ(0≤δ≤1)反映決策者的主觀偏好.當(dāng)δ<0.5時，表明決策者更關(guān)注評價信息中屬性指標(biāo)包含信息量；當(dāng)δ>0.5時，表明決策者更重視決策專家的經(jīng)驗(yàn).

2.2 改進(jìn)的概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)

針對概率對偶猶豫模糊環(huán)境下的相關(guān)性分析，Garg等[37]提出如下概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)公式.

設(shè)

X={x1,x2,…,xn}

為一個非空集合，

A={(xi,aA(xi)|pA(xi),bA(xi)|qA(xi))|xi∈X}，

B={(xi,aB(xi)|pB(xi),bB(xi)|qB(xi))|xi∈X}

為定義在X上的2個PDHFS，則A、B之間的相關(guān)性系數(shù)為

(5)

其中

pAj(xi)、pBm(xi)、qAh(xi)、qBz(xi)分別為τAj(xi)、τBm(xi)、υAh(xi)、υBz(xi)的關(guān)聯(lián)概率，

pAjBm(xi)為利用西北角法則得到的τAj(xi)和τBm(xi)的聯(lián)合概率，qAhBz(xi)為利用西北角法則得到的υAh(xi)和υBz(xi)的聯(lián)合概率.#aA(xi)、#aB(xi)、#bA(xi)、#bB(xi)分別為集合aA(xi)、aB(xi)、bA(xi)、bB(xi)中的元素個數(shù).

例1給定集合X={x1,x2}上的3個PDHFS,

A={(x1,({0.1|1},{0.4|0.2,0.6|0.8})),(x2,({0.2|0.9,0.8|0.1},{0.2|1}))},

B={(x1,({0.3|0.9,0.7|0.1},{0.25|1})),(x2,({0.06|1},{0.1|0.4,0.9|0.6}))},

D={(x1,({0|1},{0.4903|0.8312,1|0.1688})),

(x2,({0.4943|0.5672,0.6084|0.4328},{0.3916|1}))},

則根據(jù)K1計(jì)算相關(guān)性系數(shù),

C*(A,B)=0.1×0.3×0.9+0.1×0.7×0.1+0.4×0.25×0.2+0.6×0.8×0.25+0.2×0.9×0.06+

0.06×0.8×0.1+0.1×0.2×0.4+0.2×0.9×0.6=0.3056,

C*(B,D)=0.25×0.4903×0.8312+0.25×0.1688+0.06×0.4943×0.5672+0.06×0.6084×0.4328+

0.3916×0.1×0.4+0.3916×0.9×0.6=0.4038,

F(A)=0.12×1+0.42×0.2+0.62×0.8+0.22×0.9+0.82×0.1+0.22×1=0.47,

F(B)=0.32×0.9+0.72×0.1+0.252×1+0.062×1+0.12×0.4+0.92×0.6=0.6861,

F(D)=0.49032×0.8312+1×0.1688+0.49432×0.5672+0.60842×0.4328+0.39162×1=0.8208,

則K1(A,B)=K1(B,D)=0.5382.

例1中的A、D是2個完全不同的PDHFS，A和D與B的相關(guān)性系數(shù)卻相同，這與直覺違背.此外，0≤K1≤1，也就是說，Garg等[37]提出的相關(guān)性系數(shù)只能顯示概率對偶猶豫模糊信息間的相關(guān)強(qiáng)度，不能反映相關(guān)的極性.鑒于此種情況，本文提出改進(jìn)的概率對偶猶豫模糊信息相關(guān)性系數(shù)定義.

定義5設(shè)X={x1,x2,…,xn}為一個非空集合，

A={(xi,aA(xi)|pA(xi),bA(xi)|qA(xi))|xi∈X}，

B={(xi,aB(xi)|pB(xi),bB(xi)|qB(xi))|xi∈X}

為定義在X上的2個PDHFS，將A、B之間的相關(guān)性測度定義為

(6)

其中,

定理1設(shè)

X={x1,x2,…,xn}

為一個非空集合，

A={(xi,aA(xi)|pA(xi),bA(xi)|qA(xi))|xi∈X}，

B={(xi,aB(xi)|pB(xi),bB(xi)|qB(xi))|xi∈X}

為定義在X上的2個PDHFS，則A、B之間的相關(guān)性測度C(A,B)滿足如下性質(zhì)：

1)C(A,B)=C(B,A);

證明根據(jù)式(6)可知，性質(zhì)1)顯然成立，

下面證明性質(zhì)2).由式(6)可得

(NA1(xi)+NA2(xi)+…+NA#bA(xi)(xi))(NA1(xi)+NA2(xi)+…+NA#bA(xi)(xi)))=

基于定義5提出的概率對偶猶豫模糊信息相關(guān)性測度，下面給出改進(jìn)的概率對偶猶豫模糊信息相關(guān)性系數(shù)公式.

定義6設(shè)

X={x1,x2,…,xn}

為一個非空集合，

A={(xi,aA(xi)|pA(xi),bA(xi)|qA(xi))|xi∈X}，

B={(xi,aB(xi)|pB(xi),bB(xi)|qB(xi))|xi∈X}

為定義在X上的2個PDHFS，A、B之間的相關(guān)性系數(shù)為

(7)

例2對于例1中的3個PDHFSA、B、D，根據(jù)ρ計(jì)算相關(guān)性系數(shù)如下：

根據(jù)式(7)可得

ρ(A,B)=-0.6468,ρ(B,D)=-0.7486.

通過例2看出：對于2個完全不同的PDHFSA、D，根據(jù)ρ計(jì)算的相關(guān)性系數(shù)

ρ(A,B)≠ρ(B,D)，

符合直覺.此外，

ρ(A,B)<0，ρ(B,D)<0.

因此，本文提出的相關(guān)性系數(shù)能反映相關(guān)的極性，與傳統(tǒng)相關(guān)系數(shù)的定義符合.

定理2設(shè)

X={x1,x2,…,xn}

為一個非空集合，

A={(xi,aA(xi)|pA(xi),bA(xi)|qA(xi))|xi∈X}，

B={(xi,aB(xi)|pB(xi),bB(xi)|qB(xi))|xi∈X}

為定義在X上的2個PDHFS，A、B之間的相關(guān)性系數(shù)ρ(A,B)滿足如下性質(zhì)：

1)ρ(A,A)=1，

2)ρ(A,B)=ρ(B,A)，

3)-1≤ρ(A,B)≤1.

證明根據(jù)定義5和定義6可知，性質(zhì)1)、2)顯然成立.下面證明性質(zhì)3).

由式(6)可得

利用Cauchy-Schwarz不等式，得

因此，

下面根據(jù)元素xi∈X(i=1,2,…,n)的相對重要性給出相關(guān)性測度C(A,B)和相關(guān)性系數(shù)ρ(A,B)的加權(quán)形式.

定義7設(shè)X={x1,x2,…,xn}為一個非空集合，

A={(xi,aA(xi)|pA(xi),bA(xi)|qA(xi))|xi∈X}，

B={(xi,aB(xi)|pB(xi),bB(xi)|qB(xi))|xi∈X}

為定義在X上的2個PDHFS，元素xi∈X(i=1,2,…,n)的權(quán)重為ωi，滿足

則A、B之間的加權(quán)相關(guān)性測度為

(8)

其中,

定義8設(shè)X={x1,x2,…,xn}為一個非空集合，

A={(xi,aA(xi)|pA(xi),bA(xi)|qA(xi))|xi∈X}，

B={(xi,aB(xi)|pB(xi),bB(xi)|qB(xi))|xi∈X}

為定義在X上的2個PDHFS，元素xi∈X(i=1,2,…,n)的權(quán)重為ωi，滿足

則A、B之間的加權(quán)相關(guān)性系數(shù)為

(9)

其中,

Cω(A,A)=

Cω(B,B)=

定理3設(shè)X={x1,x2,…,xn}為一個非空集合，

A={(xi,aA(xi)|pA(xi),bA(xi)|qA(xi))|xi∈X}，

B={(xi,aB(xi)|pB(xi),bB(xi)|qB(xi))|xi∈X}

為定義在X上的2個PDHFS，A、B之間的加權(quán)相關(guān)性系數(shù)為ρω(A,B)，滿足如下性質(zhì)：

1)ρω(A,A)=1，

2)ρω(A,B)=ρω(B,A)，

3)-1≤ρω(A,B)≤1.

證明根據(jù)定義7和定義8可知，性質(zhì)1)、2)顯然成立.下面證明性質(zhì)3).

由式(8)可得

利用Cauchy-Schwarz不等式，得

因此

3 基于概率對偶猶豫模糊信息相關(guān)性系數(shù)的多屬性決策方法

設(shè)

E={E1,E2,…,El}

表示l個決策者，

N={N1,N2,…,No}

表示o個備選方案，

S={S1,S2,…,Sn}

表示n個屬性，屬性

Si∈S,i=1,2,…,n

的權(quán)重為ωi，滿足

一般來說，屬性分為效益型屬性和成本型屬性兩種，且

S=Sbe∪Sco,Sbe∩Sco=?，

其中，Sbe表示效益型屬性組成的集合，Sco表示成本型屬性組成的集合.

決策專家利用PDHFS表示評價信息，記

基于改進(jìn)的PDHFS的相關(guān)性系數(shù)，本節(jié)提出概率對偶猶豫模糊多屬性決策方法，整體流程如圖1所示.

圖1 本文方法流程圖Fig.1 Flow chart of the proposed method

方法具體步驟如下.

1)標(biāo)準(zhǔn)化概率對偶猶豫模糊決策矩陣.無特殊說明，本文以效益型屬性為準(zhǔn)，根據(jù)Zhao等[41]的方法統(tǒng)一所有屬性的評估值，將決策專家Es的評價信息

標(biāo)準(zhǔn)化為

其中

2)利用定義3的PDHFA算子集結(jié)標(biāo)準(zhǔn)化后的概率對偶猶豫模糊決策矩陣

得到綜合決策矩陣

其中

3)由決策專家設(shè)定參數(shù)δ(0≤δ≤1)，運(yùn)用式(4)確定屬性權(quán)重.

5)利用式(9)計(jì)算備選方案Ni與虛擬理想方案N*的加權(quán)相關(guān)性系數(shù)ρω(Ni,N*).

6)根據(jù)相關(guān)性系數(shù)ρω(Ni,N*)的大小對方案進(jìn)行排序，進(jìn)而得到最優(yōu)方案.

4 案例分析

近年來，我國工業(yè)化與城鎮(zhèn)化的發(fā)展舉世矚目.但是，長期的粗放式發(fā)展模式也付出巨大的環(huán)境代價.2021年初，我國東部地區(qū)出現(xiàn)大面積霧霾天氣.

霧霾天氣不僅威脅人們的健康，而且對經(jīng)濟(jì)、社會產(chǎn)生消極影響.霧霾天氣成為21世紀(jì)以來我國最大的環(huán)境污染問題之一.頻發(fā)的霧霾天氣已引起國家的高度關(guān)注，2019年3月全國政協(xié)十三屆二次會議指出，環(huán)境治理的任務(wù)還很艱巨，霧霾天氣會有反復(fù)，但是環(huán)境治理必須堅(jiān)定地往前走.因此，在霧霾污染事件頻發(fā)的局勢下，亟需對霧霾進(jìn)行有效的治理.

利用本文方法，由來自環(huán)境保護(hù)相關(guān)部門的3位專家E={E1,E2,E3}組成決策群體,對4個霧霾治理措施N={N1,N2,N3,N4}，在如下4個指標(biāo)下進(jìn)行選優(yōu)和評價，即S1表示治理措施對二次顆粒物(氣溶膠)形成的影響，S2表示治理措施對顆粒物的“吸濕作用”的影響，S3表示治理措施對PM2.5排放水平的影響和，S4表示治理措施對揚(yáng)塵與顆粒物區(qū)域傳輸?shù)挠绊?3名決策專家的評估矩陣如表1～表3所示.

表1 專家E1給出的概率對偶猶豫模糊評估信息Table 1 Probabilistic dual hesitant fuzzy evaluation information provided by decision-maker E1

表2 專家E2給出的概率對偶猶豫模糊評估信息Table 2 Probabilistic dual hesitant fuzzy evaluation information provided by decision-maker E2

表3 專家E3給出的概率對偶猶豫模糊評估信息Table 3 Probabilistic dual hesitant fuzzy evaluation information provided by decision-maker E3

4.1 霧霾治理方案的效果排序

利用本文方法對霧霾治理方案的效果排序，下面給出具體的決策步驟.

1)由于所有考慮的屬性都是效益型屬性，因此，不需要對概率對偶猶豫模糊決策矩陣

進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.

2)利用PDHFA算子集結(jié)每位決策者的評價值，得到綜合決策矩陣

3)確定屬性權(quán)重.首先，決策專家給出屬性主觀權(quán)重ω1=(0.23,0.19,0.35,0.23).其次，根據(jù)式(2)計(jì)算4個屬性的熵值：

I1=0.4692,I2=0.3942,

I3=0.4865,I4=0.3085.

根據(jù)式(3)得到屬性客觀權(quán)重：

最后，令δ=0.5，根據(jù)式(4)得到屬性權(quán)重：

ω1=0.2283,ω2=0.2243,

ω3=0.2847,ω4=0.2627.

4)基于定義2確定虛擬理想方案：

N*={({0.3927|0.5,0.4333|0.5},{0.126|0.6,0.2|0.2,0.1|0.15,0.1587|0.05}),

({0.5238|0.25,0.584|0.25,0.5519|0.25,0.6085|0.25},{0.2823|0.8,0.2381|0.2}),

({0.1857|0.25,0.2511|0.25,0.2211|0.25,0.2837|0.25},{0.2154|1}),

({0.5727|0.05,0.6609|0.05,0.6609|0.45,0.7308|0.45},{0.1442|1})}.

5)利用式(9)得到霧霾治理方案Ni(i=1,2,3,4)與虛擬理想方案N*的加權(quán)相關(guān)性系數(shù)ρω(Ni,N*)：

ρω(N1,N*)=0.2822,ρω(N2,N*)=0.3060,

ρω(N3,N*)=0.3680,ρω(N4,N*)=0.7975.

6)根據(jù)相關(guān)系數(shù)ρω(Ni,N*)的大小得到霧霾治理方案的排序結(jié)果：

N4>N3>N2>N1，

進(jìn)而確定最優(yōu)的霧霾治理方案是N4.

4.2 敏感性分析

參數(shù)δ(0≤δ≤1)反映決策者的主觀偏好.當(dāng)δ<0.5時，表明決策者更關(guān)注評價信息中屬性指標(biāo)包含的信息量；當(dāng)δ=0.5時，表明決策者按照協(xié)商共識機(jī)制進(jìn)行決策；當(dāng)δ>0.5時，表明決策者更重視決策專家的經(jīng)驗(yàn).

改變δ的取值，計(jì)算霧霾治理方案Ni(i=1,2,3,4)與虛擬理想方案N*的加權(quán)相關(guān)性系數(shù)ρω(Ni,N*)，分析霧霾治理方案優(yōu)先序的變化情況.以0.25為間隔，依次取δ=0,0.25,0.5,0.75,1，進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

敏感性分析結(jié)果如圖2所示.由圖可看出:當(dāng)δ<0.5時，得到的排序結(jié)果為

圖2 參數(shù)δ的敏感性分析結(jié)果Fig.2 Sensitivity analysis results of parameters δ

N4>N2>N3>N1；

當(dāng)δ=0.5時，得到的排序結(jié)果為

N4>N3>N2>N1；

當(dāng)δ>0.5時，得到的排序結(jié)果為

N4>N3>N1>N2.

因此，本文方法能根據(jù)決策者的不同主觀偏好得到不同的排序結(jié)果，體現(xiàn)本文方法的靈活性和可用性.此外無論δ怎樣變化，方案N4均是決策過程中的最優(yōu)方案，體現(xiàn)本文方法的魯棒性.

4.3 對比分析

為了說明本文方法的可行性和有效性，將本文方法與文獻(xiàn)[31]和文獻(xiàn)[37]中的多屬性決策方法進(jìn)行對比分析.

文獻(xiàn)[37]提出基于PDHFS的相關(guān)性系數(shù)的多屬性決策方法.運(yùn)用文獻(xiàn)[37]中的多屬性決策方法處理霧霾治理方案排序問題，相應(yīng)步驟如下.

1)利用文獻(xiàn)[37]中算法1獲得綜合決策矩陣

T=(tij)4×4=(aij|pij,bij|qij)4×4.

由于空間有限，僅列出T中的部分元素：

2)利用文獻(xiàn)[38]中式(15)確定理想方案：

3)利用文獻(xiàn)[37]中的相關(guān)性系數(shù)式(10)和式(11)，計(jì)算霧霾治理方案Ni(i=1,2,3,4)與虛擬理想方案N*的相關(guān)性系數(shù)K1(Ni,N*)和K2(Ni,N*)，計(jì)算結(jié)果見表4.

同時，文獻(xiàn)[37]中的屬性權(quán)重是決策者主觀給出的，為了便于與本文方法進(jìn)行對比，令文獻(xiàn)[38]中的屬性權(quán)重為

ω1=0.2283,ω2=0.2243,

ω3=0.2847,ω4=0.2627.

利用文獻(xiàn)[37]中的加權(quán)相關(guān)性系數(shù)式(12)和式(13)計(jì)算治理方案Ni與虛擬理想方案N*的加權(quán)相關(guān)性系數(shù)K3(Ni,N*)和K4(Ni,N*)，計(jì)算結(jié)果見表4.

表4 霧霾治理方案與理想方案之間的不同相關(guān)性系數(shù)值Table 4 Different correlation coefficient values between alternatives of haze governance and ideal alternative

4)利用文獻(xiàn)[37]中式(10)計(jì)算概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)K1，得到4個霧霾治理方案的排序?yàn)?/p>

N2>N3>N4>N1.

利用文獻(xiàn)[37]中式(11)和式(12)計(jì)算概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)K2和K3，得到4個霧霾治理方案的排序?yàn)?/p>

N3>N2>N4>N1.

利用文獻(xiàn)[37]中式(13)計(jì)算概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)K4，得到4個霧霾治理方案的排序?yàn)?/p>

N3>N4>N2>N1.

當(dāng)PDHFE的隸屬度和非隸屬度的概率值相同時，PDHFE退化為對偶猶豫模糊元，將文獻(xiàn)[31]的決策方法用于霧霾治理方案的排序，相應(yīng)步驟如下.

1)將決策專家給出的概率對偶猶豫模糊評估矩陣

轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的對偶猶豫模糊評估矩陣

由于所有考慮的屬性都是效益型屬性，因此不需要對Ds進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.

2)利用對偶猶豫模糊平均算子集結(jié)每位決策者的評價值，得到綜合決策矩陣

由于空間有限，僅列出D*中的部分元素：

3)為了便于與本文方法進(jìn)行對比，令文獻(xiàn)[32]中的屬性權(quán)重為

ω1=0.2283,ω2=0.2243,

ω3=0.2847,ω4=0.2627.

利用文獻(xiàn)[31]中式(16)和式(17)計(jì)算霧霾治理方案Ni與虛擬理想方案

N+= {({1},{0}),({1},{0}),({1},{0}),

({1},{0})}

根據(jù)表4和表5的決策結(jié)果，本文方法具有如下優(yōu)點(diǎn).

表5 運(yùn)用不同的相關(guān)性系數(shù)公式得到的決策結(jié)果Table 5 Decision results with different correlation coefficient formulas

1)在本文方法中，霧霾治理方案的排序與決策者的主觀偏好程度δ(0≤δ≤1)相關(guān).此外，決策者的主觀偏好程度δ(0≤δ≤1)并未影響霧霾治理最佳方案的選擇.這說明本文的概率對偶猶豫模糊決策方法具有較好的靈活性和魯棒性.

2)與文獻(xiàn)[37]中的多屬性決策方法對比發(fā)現(xiàn)：首先，利用文獻(xiàn)[37]中算法1，獲得綜合決策矩陣

T=(tij)4×4=(aij|pij,bij|qij)4×4,

其中，

max{0.3,0.4,0.6,0.8}+

max{0.1,0.15,0.2,0.3,0.4}=1.2>1.

因此，PDHFEt34不滿足定義1，利用文獻(xiàn)[37]中算法1獲得綜合決策矩陣是不合理的，進(jìn)而使得最終的決策結(jié)果缺乏可信度，而本文方法中的綜合決策偏好信息值都滿足定義1.其次，文獻(xiàn)[37]中的多屬性決策方法只能處理屬性權(quán)重已知情形，而本文方法考慮決策者的主觀偏好程度，給出主/客觀屬性權(quán)重結(jié)合的屬性權(quán)重確定方法，能有效處理屬性權(quán)重未知的決策情形.最后，文獻(xiàn)[37]提出的概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)介于0和1之間，此相關(guān)性系數(shù)只能顯示概率對偶猶豫模糊信息間的相關(guān)強(qiáng)度，不能反映相關(guān)的極性，而本文提出改進(jìn)的概率對偶猶豫模糊信息相關(guān)性系數(shù)屬于[-1,1]區(qū)間.綜上所述，本文提出的決策方法比文獻(xiàn)[37]的決策方法更可靠.

3)利用文獻(xiàn)[31]中的多屬性決策方法得到的方案排序與利用本文方法得到的排序結(jié)果不同.造成這種不同的主要原因在于：一方面，運(yùn)用文獻(xiàn)[31]中的多屬性決策方法，需要將原始的概率對偶猶豫模糊信息轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的對偶猶豫模糊信息，造成原始信息的丟失，而本文方法是直接運(yùn)用原始的概率對偶猶豫模糊信息進(jìn)行計(jì)算，能更充分體現(xiàn)決策者的原始決策偏好.另一方面，文獻(xiàn)[31]中的多屬性決策方法只能針對單個決策者的決策情形，而本文方法可解決多個決策者的群體決策問題，從而克服單個決策者自身知識能力與主觀經(jīng)驗(yàn)的局限性.綜上所述，本文方法比文獻(xiàn)[31]的決策方法更有效.

5 結(jié) 束 語

本文在屬性權(quán)重未知情形下，提出基于概率對偶猶豫模糊信息相關(guān)性系數(shù)的多屬性決策方法.首先，構(gòu)建同時考慮PDHFS的平均差異度和平均猶豫度的概率對偶猶豫模糊信息熵，并提出屬性主觀權(quán)重和利用熵權(quán)法確定的屬性客觀權(quán)重結(jié)合的屬性權(quán)重確定方法，得到合理、全面的屬性權(quán)重信息.其次，針對現(xiàn)有概率對偶猶豫模糊相關(guān)性系數(shù)的局限性，定義概率對偶猶豫模糊環(huán)境下一種相關(guān)性系數(shù)和加權(quán)相關(guān)性系數(shù)，并探討該相關(guān)性系數(shù)具有的優(yōu)良性質(zhì).最后，基于提出的屬性權(quán)重確定方法和相關(guān)性系數(shù),設(shè)計(jì)一種概率對偶猶豫模糊環(huán)境下的多屬性決策方法，并將提出的決策方法用于霧霾治理方案的選擇.實(shí)驗(yàn)表明本文方法的魯棒性和有效性.

本文研究的多屬性決策方法僅考慮決策專家給出的概率對偶猶豫模糊信息是完全可知的情況.針對專家難以給出PDHFE發(fā)生概率的情形未進(jìn)行研究，即如何解決概率未知的概率對偶猶豫模糊決策問題尚有待進(jìn)一步研究.