初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)課的實(shí)踐與思考

鄢堅(jiān)

百度百科中的系統(tǒng)觀是指以系統(tǒng)的觀點(diǎn)看自然界，揭示了自然界物質(zhì)系統(tǒng)的整體性、關(guān)聯(lián)性、層次性、開(kāi)放性和動(dòng)態(tài)性、自組織性，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中談系統(tǒng)觀首先就是對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的整體性把握，如：函數(shù)是初中數(shù)學(xué)課程中“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，也是義務(wù)教育階段學(xué)生比較難以理解和掌握的課程內(nèi)容，所以在人教版的教材章節(jié)安排上體現(xiàn)整體性，在系統(tǒng)觀下注重突出核心內(nèi)容，重要數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想方法螺旋上升：第7章安排函數(shù)的起始章節(jié)——《平面直角坐標(biāo)系》，通過(guò)章節(jié)學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到點(diǎn)坐標(biāo)的功能：刻畫(huà)位置，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合、將幾何圖形數(shù)量化;第19章《 一次函數(shù)》的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)學(xué)習(xí)的路徑與方法，基于函數(shù)學(xué)習(xí)的已有經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)第22章《一次函數(shù)》，第26章《反比例函數(shù)》，第29章《銳角三角函數(shù)》的函數(shù)學(xué)習(xí)之旅，其次就是對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的關(guān)聯(lián)性、層次性、動(dòng)態(tài)性等的研究，如函數(shù)章節(jié)的學(xué)習(xí)又不同于別的章節(jié)學(xué)習(xí)一一這個(gè)知識(shí)板塊涵蓋了數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，如此豐富內(nèi)涵的教材安排也就決定其專題復(fù)習(xí)課的實(shí)施路徑：系統(tǒng)觀認(rèn)識(shí)“函數(shù)”，才能整體把握函數(shù)知識(shí)板塊，滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升關(guān)鍵能力，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，以下以“二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)一一字母系數(shù)再認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，談?wù)労瘮?shù)專題復(fù)習(xí)課的實(shí)踐與思考.

1 系統(tǒng)觀下章節(jié)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)——理解數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)

對(duì)《二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)——字母系數(shù)再認(rèn)識(shí)》可從核心知識(shí)、思維特征、思維載體、核心方法等方面展開(kāi)，緊緊圍繞字母系數(shù)a，b，c如何決定二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過(guò)課堂問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，用參數(shù)的眼光處理相關(guān)問(wèn)題一一參數(shù)中的“定與不定”來(lái)探究和解決含字母系數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題的思路與方法，整體把握知識(shí)、技能、思想方法、關(guān)鍵能力等，

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：一種意識(shí)——數(shù)字系數(shù)與字母系數(shù)的函數(shù)問(wèn)題的解題方法與策略是一樣的

問(wèn)題1判斷拋物線y= -x2 +2x+1的開(kāi)口方向，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，并判斷頂點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，

問(wèn)題2判斷拋物線y=-x2 +2mx+1的開(kāi)口方向，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，并判斷頂點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，

師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解題體會(huì)數(shù)字系數(shù)和字母系數(shù)的函數(shù)問(wèn)題的異同點(diǎn)：數(shù)字系數(shù)的函數(shù)問(wèn)題結(jié)果確定，容易計(jì)算;而字母系數(shù)的函數(shù)問(wèn)題結(jié)果可能出現(xiàn)多種情況且計(jì)算復(fù)雜度較高，能力要求高，相同點(diǎn)是解題方法與策略是一樣的，其數(shù)學(xué)本質(zhì)就是系數(shù)a，b，c決定函數(shù)圖象和性質(zhì)，系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小，系數(shù)b影響拋物線對(duì)稱軸的位置，系數(shù)c確定拋物線與y軸的位置.

設(shè)計(jì)意圖解題教學(xué)過(guò)程中借助問(wèn)題串，深化對(duì)字母系數(shù)的本質(zhì)理解.

2 課堂抓手的自然展示——滲透數(shù)學(xué)思想方法

函數(shù)的表示法之一是圖象法，即通過(guò)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)反映變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種表示方法把數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，因此恩格斯說(shuō)過(guò)：“笛卡爾變數(shù)的出現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從此運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，”數(shù)學(xué)的發(fā)展說(shuō)明，函數(shù)與數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)發(fā)展中具有重要地位，數(shù)形結(jié)合在函數(shù)這個(gè)知識(shí)板塊顯得尤其重要，數(shù)與形的互補(bǔ)作用，體現(xiàn)兩者的聯(lián)系，突出兩者間的轉(zhuǎn)化對(duì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的特殊作用，所以數(shù)形結(jié)合思想方法自然而然成為課堂抓手之一，發(fā)展學(xué)生的圖形直觀能力.

在解決含字母系數(shù)的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，消元思想的應(yīng)用能使得“參數(shù)”化多為少，由繁入簡(jiǎn)，各個(gè)擊破，解決了“引參”后的“消參問(wèn)題”，成為課堂教學(xué)的另一抓手，在此過(guò)程中，消元法中的代入消元、加減消元、乘除消元的合理使用不僅帶來(lái)解題上一錘定音的魅力，且能逐步積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、優(yōu)化解題策略，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，

專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)不能僅僅著眼于具體題目的具體解題過(guò)程，而應(yīng)不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)，從整體上認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法的滲透是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)載體來(lái)體現(xiàn)的，對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)需要一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，既需要教師的點(diǎn)撥，還需要學(xué)生自身的感悟和理解;既需要教材的滲透，也需要對(duì)教材理解后的專題復(fù)習(xí)課的強(qiáng)化，才能使學(xué)生能夠順勢(shì)自然的理解，并能夠靈活應(yīng)用，

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：兩大抓手——數(shù)形結(jié)合、消元思想

問(wèn)題3當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=-（x - m）2+m2+1有最大值為4，則實(shí)數(shù)m的值是____.

變式1當(dāng)m+1≤x≤m+2時(shí)，二次函數(shù)y=-（x—m）2+ m2+1有最大值為4，求實(shí)數(shù)m的值是____;

變式2當(dāng)m+1≤x≤m+2時(shí)，二次函數(shù)y= -（x-1）2+ m2+1有最大值為4，求實(shí)數(shù)m的值是________________.

師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解題體會(huì)函數(shù)的思維載體——圖形語(yǔ)言，符號(hào)化語(yǔ)言，描述性語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，有圖識(shí)圖、無(wú)圖畫(huà)圖，有圖走遍天下，特別是含字母系數(shù)的二次函數(shù)增減性問(wèn)題，需關(guān)注拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸及自變量的取值范圍，而對(duì)稱軸的“定與不定”或自變量取值范圍的“定與不定”，可以由“形”的直觀和“數(shù)”的運(yùn)算進(jìn)行判斷，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合帶來(lái)解題事半功倍的魅力，在這過(guò)程中，教師需幫助學(xué)生完成好“對(duì)圖象的描述”到“對(duì)函數(shù)變化情況的描述”的轉(zhuǎn)換，發(fā)揮好圖形直觀的作用來(lái)突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，

設(shè)計(jì)意圖解題教學(xué)過(guò)程中借助問(wèn)題串，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，

問(wèn)題4已知拋物線y= -（x- m）2 +m2 +1.探究：無(wú)論m為何值時(shí)，其頂點(diǎn)都在函數(shù) ____的圖象上，

解該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2+1），

設(shè)

把①代入②消去m，得y= x2 +1.

無(wú)論t為何值，其頂點(diǎn)總在拋物線y= x2+1上，

師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解題體會(huì)消元法在解決含字母系數(shù)的函數(shù)問(wèn)題中至關(guān)重要.一錘定音，但這之前的“引參”則必須建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生如何“引參”——基于建立含參的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系出發(fā)（這是此題的難點(diǎn)所在），做好從一參到二參以及多參的過(guò)渡，強(qiáng)調(diào)未知向己知轉(zhuǎn)化的程序化思想，再用“消參”來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，

設(shè)計(jì)意圖解題教學(xué)過(guò)程中借助問(wèn)題串，滲透消元法.

3 核心方法的講解——提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

專題復(fù)習(xí)需引導(dǎo)學(xué)生把本知識(shí)板塊的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)連接成線，形成網(wǎng)狀的知識(shí)體系，另一方面運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，注重理性思維，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以專題復(fù)習(xí)課上綜合題為例，通過(guò)解題教學(xué)三部曲：求什么，己知什么，怎么求？讓學(xué)生意識(shí)到可以利用函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)，同樣可以利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)，綜合運(yùn)用函數(shù)的解析式，圖象等知識(shí)分析具有實(shí)踐性、綜合性、探究性、趣味性的問(wèn)題，能突出函數(shù)問(wèn)題本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，發(fā)展理性思維，

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：三大關(guān)注—一核心方法+運(yùn)算技巧+圖形變換

問(wèn)題5己知點(diǎn)A是二次函數(shù)y= x2 -2（m+2）x+2m+1圖象的頂點(diǎn).

（1）請(qǐng)判斷該二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù);

（2）無(wú)論m為何值，點(diǎn)A是否始終在某個(gè)固定的函數(shù)圖象上？如果是，求此函數(shù)的解析式;如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）以A為一個(gè)頂點(diǎn)能作該拋物線的內(nèi)接正AABC（B，C兩點(diǎn)在拋物線上），請(qǐng)問(wèn)：AABC的面積是與m無(wú)關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，

師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解題體會(huì)研究函數(shù)的核心方法：①利用解析式研究函數(shù)性質(zhì);②利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)，而伴隨而來(lái)的是運(yùn)算技巧和圖形變換，特別注意的是第（3）問(wèn)中既然拋物線中以頂點(diǎn)O為頂點(diǎn)的內(nèi)接等邊三角形只與拋物線的開(kāi)口有關(guān)，那么不平移到原點(diǎn)而是直接把拋物線移到任何位置，都能通過(guò)設(shè)參及消參來(lái)解決該問(wèn)題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)一題多解，多解歸一，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、幾何直觀、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，

設(shè)計(jì)意圖解題教學(xué)過(guò)程借助問(wèn)題串，提升關(guān)鍵能力，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重理性思維.

4 思維導(dǎo)圖的應(yīng)用——反思、歸納、總結(jié)、提升

思維導(dǎo)圖在初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題課中對(duì)回歸概念，理解本質(zhì)，在系統(tǒng)觀和核心素養(yǎng)引領(lǐng)下，圍繞內(nèi)容的功能，知識(shí)的結(jié)構(gòu)、普適性的思想方法、解決問(wèn)題的路徑等函數(shù)章節(jié)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)作用極大;通過(guò)“一種意識(shí)”到“兩大抓手”再到“三大關(guān)注”等教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，揭示含字母系數(shù)的函數(shù)問(wèn)題內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)值得研究的問(wèn)題，尋找求解問(wèn)題的路徑與方法，形成良好的問(wèn)題意識(shí)和解題策略，發(fā)展關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：課堂小結(jié)

師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)兩張思維導(dǎo)圖（圖5，圖6），反思，歸納，總結(jié)，提升：《一次函數(shù)專題復(fù)習(xí)一一字母系數(shù)再認(rèn)識(shí)》在問(wèn)題解決中培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的整體性把握，與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、幾何圖形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合解決問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合和消元法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，

設(shè)計(jì)意圖借助思維導(dǎo)圖回歸概念，理解本質(zhì)，

結(jié)語(yǔ)從數(shù)學(xué)育人的出發(fā)點(diǎn)和歸宿看，思維的教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，發(fā)展學(xué)生的理性精神，作為專題復(fù)習(xí)課，其功能在于提升學(xué)生在知識(shí)、技能、思維層面上體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以教學(xué)內(nèi)容的整體性為載體，重在梳理整合知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想和方法;重在發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力，提升核心素養(yǎng)，

參考文獻(xiàn)

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

[2]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018

[3]郭慧利.思維導(dǎo)圖在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬），2017 （2）：5-6

[4]涂愛(ài)玲.“一題一專題”中考專題復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)——以“探究二次函數(shù)中三角形面積問(wèn)題”為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019 （16）：24-26