兩周期激勵(lì)下Duffing-van der Pol振子的復(fù)雜簇發(fā)振蕩及其機(jī)理

張真真，馬新東

(1.江蘇大學(xué)京江學(xué)院，212013，江蘇，鎮(zhèn)江；2.江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，212013，江蘇，鎮(zhèn)江)

0 引言

多時(shí)間尺度耦合現(xiàn)象廣泛存在于各種動(dòng)力系統(tǒng)中，如物理系統(tǒng)中的van der Pol-Duffing系統(tǒng)[1]、生態(tài)系統(tǒng)的獵食者-食餌模型[2]、電路系統(tǒng)的BVP振蕩器[3]和神經(jīng)系統(tǒng)的細(xì)胞簇放電系統(tǒng)[4]等。多時(shí)間尺度的耦合效應(yīng)往往使系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性表現(xiàn)為大幅振動(dòng)和小幅振動(dòng)的耦合，這種有趣的動(dòng)力學(xué)行為稱為簇發(fā)，也可以叫做混合模式振蕩或張弛振蕩。大幅振動(dòng)通常指的是系統(tǒng)軌跡在大振幅極限環(huán)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)也稱為激發(fā)態(tài)，小幅振動(dòng)指的是軌跡在平衡點(diǎn)或小振幅極限環(huán)的運(yùn)動(dòng)，這樣的運(yùn)動(dòng)稱為沉寂態(tài)。連接激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)的可以是分岔[5]，也可以是其他引起吸引子轉(zhuǎn)遷的路徑，如脈沖爆炸(pulse-shaped explosion)[6]等。對(duì)于連接方式為分岔的情況，Izhikevich[7]給出了光滑系統(tǒng)與余維-1分岔相關(guān)的幾乎所有簇發(fā)類型，并提出了一種基于分岔的簇發(fā)分類方法。

在簇發(fā)動(dòng)力學(xué)研究中，由快慢變化頻率耦合誘發(fā)的簇發(fā)行為得到了人們的廣泛關(guān)注。如時(shí)培明等[8]研究了低頻參數(shù)周期激勵(lì)下旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)的簇發(fā)行為，并給出了快變參激和慢變參激分別對(duì)簇發(fā)現(xiàn)象的影響規(guī)律。孟盼等[9]利用穩(wěn)定性和分岔理論探討了低頻正弦激勵(lì)下前包欽格呼吸神經(jīng)元系統(tǒng)的“Hopf/Hopf”型簇發(fā)振蕩現(xiàn)象。吳丹和丁旺才[10]分析了一類干摩擦碰撞系統(tǒng)在低頻外激勵(lì)下的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象及其機(jī)理。最近，韓修靜等[11]報(bào)道了一種由2個(gè)低頻激勵(lì)耦合的滯后翻轉(zhuǎn)引起的復(fù)雜簇發(fā)行為，并給出了一種基于莫夫爾公式的相稱激勵(lì)頻率分析方法。在此方法基礎(chǔ)上，Zhou等[12]研究了2個(gè)慢參數(shù)激勵(lì)下的最小化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的4種復(fù)雜簇發(fā)模式及其快慢分析。Yu等[13]給出了兩低頻周期激勵(lì)下復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的由多S形流形(multiple-S-shaped)誘發(fā)的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象及其產(chǎn)生機(jī)制。由于2個(gè)激勵(lì)頻率之間存在不同的耦合關(guān)系，會(huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，因此，非常有必要對(duì)2個(gè)周期激勵(lì)下的復(fù)雜簇發(fā)行為及其產(chǎn)生機(jī)制進(jìn)行更為深入的研究。

本文考慮一類兩周期激勵(lì)下的Duffing-van der Pol系統(tǒng)[14]，該系統(tǒng)可以用于描述一個(gè)特定的非線性自激電路或一個(gè)在非線性粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的擺的動(dòng)力學(xué)特性，數(shù)學(xué)表示式為

(1)

其中fcosυt和gcosωt表示2個(gè)低頻外激勵(lì)，頻率滿足0<υ<ω<<1，u是滿足某些混沌動(dòng)力學(xué)特性增加的控制項(xiàng)。由于0<υ<ω<<1，在周期T時(shí)間內(nèi)，fcosυt和gcosωt都變化緩慢，按照快慢分析法，可以令cosυt=δ、cosωt=γ，那么方程(1)轉(zhuǎn)化為廣義自治方程如下

(2)

本文旨在揭示兩周期激勵(lì)下由滯后翻轉(zhuǎn)引起的復(fù)雜簇發(fā)行為。本文組織結(jié)構(gòu)如下：在第1節(jié)中，分析了單個(gè)周期激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔及其臨界條件；第2節(jié)中給出了單個(gè)激勵(lì)下的復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)及其產(chǎn)生機(jī)理；借助改進(jìn)型快慢分析方法；第3節(jié)研究了2個(gè)激勵(lì)下滯后翻轉(zhuǎn)型復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)；最后，總結(jié)全文。

1 單個(gè)周期激勵(lì)下的系統(tǒng)穩(wěn)定性和分岔分析

(3)

另一方面，將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E處線性化，可以得到雅克比矩陣

(4)

固定參數(shù)f=4，υ=0.01，λ0=1，ω0=1，μ=1，系統(tǒng)關(guān)于δ=cos0.01t的分岔圖如圖1所示。在區(qū)域(δLPC2,δLPC1)中，存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)LC1。在區(qū)域(δH2,δH1)中，平衡點(diǎn)E是不穩(wěn)定的。當(dāng)參數(shù)δ穿越亞臨界Hopf分岔點(diǎn)H1和H2后，在左右兩側(cè)出現(xiàn)2個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E+和E-，同時(shí)出現(xiàn)2個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán)LC2和LC3。通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，LC2和LC3的振動(dòng)幅值逐漸增大。因此區(qū)域(δH1,δLPC1)和(δLPC2,δH2)是雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域，同時(shí)存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)和一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。隨著δ穿越極限環(huán)的fold分岔LPC1和LPC2時(shí)，LC2和LC3與LC1碰撞消失，在LPC1右側(cè)和LPC2左側(cè)只剩下2個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E+和E-。

圖1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔

2 復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)振蕩

這部分分析單個(gè)激勵(lì)下的復(fù)合式subHopf/fold cycle簇發(fā)行為。圖2給出了系統(tǒng)在(x,y)平面的相圖和時(shí)間歷程圖。顯然，從圖中可以看到這種簇發(fā)模式是關(guān)于穩(wěn)定平衡點(diǎn)E±和穩(wěn)定極限環(huán)LC1的。

圖2 復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)振蕩

這種簇發(fā)行為的產(chǎn)生機(jī)理可以通過將(δ,x)上的慢流形疊加到分岔圖上進(jìn)行揭示，如圖3所示。假設(shè)軌跡在δ的最大值1處開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定吸引子為E+，軌跡在E+的向量場(chǎng)內(nèi)做平滑的沉寂態(tài)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)δ減小到亞臨界Hopf分岔點(diǎn)δH1處，E+失穩(wěn)，變成不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。但軌跡并未立即轉(zhuǎn)到穩(wěn)定極限環(huán)LC1運(yùn)動(dòng)，而是繼續(xù)沿著不穩(wěn)定平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，直到亞臨界Hopf分岔滯后點(diǎn)(delayed H1)出現(xiàn)，軌跡才進(jìn)入LC1中做大幅激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)δ變化到亞臨界Hopf分岔點(diǎn)δH2時(shí)，穩(wěn)定平衡點(diǎn)E-出現(xiàn)，同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán)LC3(見圖1)。隨著δ繼續(xù)減小至極限環(huán)的fold分岔點(diǎn)δLPC2，LC1與圖1中的不穩(wěn)定極限環(huán)LC3碰撞消失，軌跡轉(zhuǎn)而進(jìn)入E-的向量場(chǎng)中做沉寂態(tài)運(yùn)動(dòng)，直至δ減小至其最小值-1。然后δ開始增大，這個(gè)過程與上面類似。

圖3 (δ,x)上的慢流形與分岔圖的疊加

從圖3可以看出，在一個(gè)周期簇發(fā)內(nèi)存在2個(gè)激發(fā)態(tài)，第1個(gè)開始于亞臨界Hopf分岔滯后(delayed subHopf)，結(jié)束于極限環(huán)的fold分岔。第2個(gè)同樣開始于亞臨界Hopf分岔滯后，結(jié)束于極限環(huán)的fold分岔。按照Izhikevich[7]的分類方式，這種簇發(fā)可以命名為復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)。

3 激勵(lì)gcosωt對(duì)復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)的影響

上節(jié)揭示了單個(gè)激勵(lì)下的復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)的產(chǎn)生機(jī)制。這部分研究另一個(gè)激勵(lì)gcosωt對(duì)這種簇發(fā)模式的影響。

3.1 研究方法

對(duì)于2個(gè)激勵(lì)下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為研究，可以采用韓等[14]提出的改進(jìn)型快慢分析方法。這里只討論ω=nυ，n為正整數(shù)的情況。這樣方程(2)就可以轉(zhuǎn)化為含一個(gè)慢變量的二維方程(5)，如下：

(5)

(6)

獲得，其中m是不大于n的最大偶數(shù)，i是虛數(shù)單位。

3.2 滯后翻轉(zhuǎn)型復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)

下面研究當(dāng)n取不同值時(shí)，ω對(duì)復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)的影響。固定參數(shù)g=3，其他參數(shù)取值與圖1相同。圖4給出了n分別取1、2、3、4時(shí)的(δ,x)平面上的慢流形與分岔圖的疊加。

(a)n=1; (b)n=2; (c)n=3; (d)n=4

從圖4可以看出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為一直都與穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定的極限環(huán)有關(guān)，軌跡在這2種吸引子之間通過亞臨界Hopf分岔和極限環(huán)的fold分岔相互切換。當(dāng)n=1時(shí)，2個(gè)激勵(lì)與單個(gè)激勵(lì)相比，可以發(fā)現(xiàn)2個(gè)Hopf分岔滯后點(diǎn)之間的距離逐漸靠近，但仍然表現(xiàn)為復(fù)合式delayed subHopf/fold cycle簇發(fā)。當(dāng)n=2時(shí)，第3個(gè)亞臨界Hopf分岔點(diǎn)H3和第2個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)LC5出現(xiàn)，由于分岔滯后的影響，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為沒有受到這2種分岔的影響，但系統(tǒng)主要的動(dòng)力學(xué)行為右移，從圖4(b)可以看出，此時(shí)系統(tǒng)仍是復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)。當(dāng)n=3時(shí)，亞臨界Hopf分岔的數(shù)目又減到2，2個(gè)Hopf分岔滯后點(diǎn)之間的距離增大，系統(tǒng)激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)占據(jù)了主要地位，此時(shí)系統(tǒng)行為還是表現(xiàn)為復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)。當(dāng)n=4時(shí)，亞臨界Hopf分岔的數(shù)目變?yōu)?，并且在一個(gè)簇發(fā)周期內(nèi)出現(xiàn)了4個(gè)激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)，每一個(gè)激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)都是以Hopf分岔滯后開始，以極限環(huán)的fold分岔結(jié)束，這種簇發(fā)其實(shí)是2個(gè)復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)的組合。同時(shí)可以看到n=4時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為其實(shí)是n=2和n=3時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為的耦合，隨著n的增大，亞臨界Hopf分岔的數(shù)目將會(huì)繼續(xù)增加，n=2和n=3時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為的耦合數(shù)目也增加。同時(shí)在一個(gè)簇發(fā)周期內(nèi)，復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)的數(shù)目也越來越多，這種現(xiàn)象的本質(zhì)是平衡滯回曲線的扭曲造成的，因此將這種復(fù)合的復(fù)合式簇發(fā)稱為滯后翻轉(zhuǎn)型復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)。

4 結(jié)論

本文研究了2個(gè)周期激勵(lì)下Duffing-van der Pol系統(tǒng)的復(fù)雜簇發(fā)行為。當(dāng)2個(gè)周期激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率存在量級(jí)差異時(shí)，可以將周期激勵(lì)看做慢變參數(shù)，原來的非自治系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為廣義自治系統(tǒng)。首先給出了單個(gè)激勵(lì)典型參數(shù)下的復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)及其機(jī)理。然后研究了2個(gè)激勵(lì)頻率之間存在整數(shù)倍的滯后翻轉(zhuǎn)型復(fù)合式delayed subHopf/fold-cycle簇發(fā)。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取較大值時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為可以表現(xiàn)為n取較小值時(shí)動(dòng)力學(xué)行為的耦合。