COVID-19 空氣傳播的動力學研究

歐忠文,劉俊兵，王月明

(山西大學 物理電子工程學院，山西 太原 030006)

自 2019 年底以來，COVID-19 病毒已經(jīng)對全球人民的生命健康造成了巨大的災難和威脅，截至2021年8月3日全球被感染人數(shù)達 198 778 175 人，死亡 4 235 559 人[1].各國人民和政府采取各種措施從不同層面共同抵抗COVID-19 病毒的傳播[2-4].我們知道，通常由于咳嗽、打噴嚏、說話或者呼吸所釋放出的液滴會包含大量致病的微生物，比如細菌、病毒、真菌等.攜帶病原體的液滴能通過呼吸系統(tǒng)以氣溶膠的形式或者以握手等直接接觸的方式從一個被感染者轉(zhuǎn)移到一個健康者身上.建立數(shù)學和物理模型來解釋和預估 COVID-19 病毒的空間和時間傳播屬性也是一個研究熱點[5-7].在本文的研究中,我們針對不同大小的液滴采用不同的物理模型，分別用牛頓運動方程和擴散方程來描述液滴的運動，計算液滴在正常呼吸、咳嗽或打噴嚏時的水平漂移距離、擴散距離以及在空氣中的滯留時間，特別在液滴半徑非常小的時候我們對空氣黏度進行了修正.

1 模型說明

2 豎直方向上的動力學方程

首先考慮在豎直方向上在重力和黏滯力作用下的動力學方程，其中液滴半徑為r(0.05～100 μm)，液滴的質(zhì)量為m，液滴的密度ρs=103kg/m3，空氣密度為ρg=1.29 kg/m3，當液滴半徑非常小的時候，其量級接近空氣分子的平均自由程，故要考慮空氣黏度的修正η′=η/(1+b/pr).而當液滴的半徑較大時有η′=η，故我們直接用η′替代η，從而使得黏度的形式不發(fā)生變化，其中空氣的黏度η=1.82×10-5Pa·s，修正系數(shù)b=6.17×10-5m·mmHg，大氣壓強p=760 mmHg，此時空氣對于球形液滴的黏滯力可以寫為f=6πη′rv，當然雷諾數(shù)要滿足Re=ρgvr/η′<1[11]，在后面我們會證明空氣黏滯力的形式在大范圍內(nèi)是準確的.從而我們可以寫出牛頓動力學方程:

(1)

考慮到人體通過正常呼吸或是咳嗽、打噴嚏排出的液滴在豎直方向上沒有初速度，即方程的初始條件為v(0)=0 m/s，這樣我們便可以得到豎直方向速度的含時解為

(2)

圖1 收尾速度以及達到收尾速度時的雷諾數(shù)

從上面的圖1中可以看出液滴的半徑r<50 μm時，在此范圍內(nèi)滿足雷諾數(shù)Re<1，即在此范圍內(nèi)黏滯力的形式是準確的.而當50

根據(jù)上面的結果,可以假設一個勻速運動時間t.從人口腔排出液滴的一般高度為h=1.7 m，我們暫時忽略液滴在空氣中的向下加速過程，下面我們會證明這個假設是合理的，此時我們假設全程以收尾速度運動，其運動的時間t=h/vs，同時根據(jù)上面的計算結果知道弛豫時間τ，即到達(1-1/e)vs所需時間.圖 2給出了不同半徑下t和τ的變化趨勢圖.

圖2 不同半徑液滴的勻速運動時間和弛豫時間

從圖 2 中可以看到弛豫時間和勻速運動時間不在同一個量級，可以看出勻速運動時間t>>τ，即可以忽略弛豫時間或者說是加速到收尾速度這一段時間，此時在豎直方向上液滴的運動可以近似為一段以收尾速度做勻速運動的過程[10].同時根據(jù)下面的表格(T是考慮到加速過程的運動時間),可以看出當液滴半徑很小的時候，有T=t，而在液滴半徑接近100 μm時，有T≈t.也可以看出下落時間隨液滴半徑逐漸增大而減小，且當液滴半徑在病毒尺寸時，可以在空氣中停留長達25 天，當然前提是病毒在空氣中的壽命可以達到這個時間.當半徑r=1 μm時，液滴在空氣停留的時間為3.7 h，而當半徑到了100 μm時停留時間只有1.5 s，此時液滴會在短時間內(nèi)下落到地面.

表1 不同半徑液滴各種時間的比較

3 水平方向上的動力學方程

接下來我們繼續(xù)考慮液滴在水平方向上的動力學方程，可以知道水平方向只受到黏滯力作用，且通過人體正常呼吸排出液滴的速度一般為v1=1 m/s，通過咳嗽或者打噴嚏排出的液滴速度一般大小為v2=5 m/s[10]，即可以得到水平方向的初始條件為vy(0)=v2，同時根據(jù)初始速度v2=5 m/s和液滴半徑r=100 μm，可以計算得到最大的雷諾數(shù)Re=36.當1

(3)

(4)

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根據(jù)水平速度的表達式，可以看出水平方向的速度呈指數(shù)衰減，當t=τ時，vy=vy(0)/e ,根據(jù)前面計算可知，τ遠小于運動時間T，所以我們可以將水平運動最遠距離寫為ymax=vy(0)τ，圖 3 給出了不同速度和半徑的液滴在水平方向上運動的最大距離.

圖3 不同半徑液滴的水平運動最大距離

3.1 擴散方程

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(7)

(8)

圖4中的結果是在經(jīng)過沉降時間T后得到的溶度分布，其中相對溶度是指相對y=0處的溶度，可以看到對于一定半徑的液滴，其擴散溶度會迅速減少，而隨半徑的增大，能夠擴散到的范圍也會逐漸減少，當r>1 μm時，可以擴散的范圍y<2 mm，也就是說r>1 μm時擴散效應可以忽略，關于這一點前面已經(jīng)說明.當r=0.1 μm時，擴散范圍也可以達到6 cm，而當半徑r=0.05 μm，即達到病毒線度時，水平方向上的擴散范圍最大可達到17 cm，此時擴散效應已經(jīng)相當明顯 , 當然此時我們并沒有考慮到豎直方向擴散效應對液滴沉降時間的影響,通過后面的數(shù)值計算我們將說明這是合理的.

圖4 經(jīng)過沉降時間T水平方向液滴的擴散分布

3.2 數(shù)值計算

從上面可以看出當r<1 μm時，擴散效應已經(jīng)不能忽略，此時必須考慮在豎直方向上擴散效應對沉降時間的影響，而沉降時間又會影響水平擴散分布.根據(jù)前面分析可知此區(qū)間的液滴在豎直方向會迅速達到收尾速度，即此時在豎直方向上∑Fi-γvs=0，其中Fi為外力，γ=6πη′v，而在水平方向上速度也會迅速減為零，這都是上面已有的分析結果.考慮到布朗運動，此時我們利用朗之萬方程[15,16]:

(9)

(10)

其中初始條件為xi(0)=0和yi(0)=0，考慮到粒子運動時間過長以及步長對BD方法模擬無影響[18,19]，故我們選擇的步長Δt=1 000 s，當有一個微粒在豎直方向運動的距離x=h=1.7 m時，我們便停止計算，經(jīng)過數(shù)值計算[17,18]，得到下列結果(見圖5，圖6).

圖5 經(jīng)過沉降時間T后半徑r=0.1 μm 液滴的模擬結果

圖6 經(jīng)過沉降時間T后半徑r=0.05 μm液滴的模擬結果

從圖中我們可以得r=0.1 μm時，液滴在空氣中的擴散時間在7.7×105s左右，水平方向上有少數(shù)液滴可以擴散到5 cm處，大部分擴散范圍在3 cm；對于r=0.05 μm的液滴，液滴在空氣中的擴散時間在2.0×106s左右，在水平方向上有少數(shù)液滴可以擴散到15 cm，大部分擴散范圍在10 cm以內(nèi).我們可以看到理論計算與數(shù)值計算的結果幾乎是一致的，同時也可以得到這樣的結果，即擴散效應對沉降時間并無多大影響.

從圖中我們可以得r=0.1 μm時，液滴在空氣中的擴散時間在8×105s左右，水平方向上有少數(shù)液滴可以擴散到5 cm處，大部分擴散范圍在3 cm；對于r=0.05 μm的液滴，液滴在空氣中的擴散時間在2.2×106s左右，在水平方向上有少數(shù)液滴可以擴散到15 cm，大部分擴散范圍在10 cm以內(nèi).我們可以看到理論計算與數(shù)值計算的結果幾乎是一致的，同時也可以得到這樣的結果，即擴散效應對沉降時間并無多大影響.

4 總結

通過上面的理論計算和數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)，我們關注的半徑r范圍是0.05～100 μm，當r>10 μm時，通過正常呼吸或者咳嗽排出的攜帶病毒液滴在空氣中停留的時間為1.5～140 s, 但是通過咳嗽和打噴嚏可以將病毒運送到0.61 m處，而通過正常呼吸，病毒在水平方向的運動距離為0.12 m.而對于半徑在1 μm