利用拉格朗日量求解黑洞背景下自由光子的運(yùn)動

魏少文，付春娥

(1.蘭州大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院力學(xué)基礎(chǔ)教研室，甘肅 蘭州 730000; 2.西安交通大學(xué) 物理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710049)

我們假設(shè)光子在一球?qū)ΨQ史瓦西黑洞背景下自由運(yùn)動，那么這一光子有可能逃離黑洞，也有可能被黑洞吸收.在彎曲時空中，光子具體的運(yùn)動是由測地線方程來決定的，因此可以通過求解測地線方程來獲得光子的運(yùn)動及其軌跡.然而基于時空的對稱性，我們也可以借助于自由光子的拉格朗日量來求解光子的運(yùn)動.這一方法比直接求解測地線方程更簡潔，同時也可以作為理論力學(xué)教學(xué)中的一個典型習(xí)題.本文將要討論的是，如何利用拉格朗日量求解黑洞背景下光子的運(yùn)動，進(jìn)一步結(jié)合有效勢能的概念，確定光子可能的運(yùn)動范圍，最終根據(jù)力學(xué)中運(yùn)動學(xué)反問題得到光子的運(yùn)動軌跡.

1 黑洞背景下光子的拉格朗日量及其運(yùn)動

史瓦西黑洞由下述時空線元描述：

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選取4個坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，在此彎曲的黑洞背景下自由光子的拉格朗日量可以表述為[1]

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由于該時空的對稱性，我們知道光子的能量E和角動量l守恒，即有p1=-E和p4=l.對具體的分量有

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由于光子在赤道面上運(yùn)動，因此p3=0.另外由于光子的靜止質(zhì)量為零，因此其拉格朗日量L=0.結(jié)合拉格朗日量式(3)，我們?nèi)菀椎玫阶杂晒庾釉诤诙幢尘跋碌?速度為

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(11)

此即自由光子在球?qū)ΨQ史瓦西黑洞背景下的坐標(biāo)4速度，進(jìn)一步對此做積分就可以得到光子的運(yùn)動情況.“±”表示光子沿著徑向向外或向內(nèi)運(yùn)動.

2 徑向運(yùn)動和有效勢

這里我們只關(guān)心光子沿徑向的運(yùn)動.式(9)可改寫為

(12)

由于經(jīng)典力學(xué)中動能正比于速度的平方，所以第1項可以看成是動能項，第2項為有效勢能項，即

(13)

因此式(12)完全類似于機(jī)械能守恒[3].那么可以通過對有效勢的分析得到光子在徑向上運(yùn)動的范圍及相應(yīng)的性質(zhì).由式(13)，我們可知在黑洞視界面處和徑向無窮遠(yuǎn)處，有效勢具有如下行為

Veff|r=2M=0

(14)

Veff|r→∞=0

(15)

因此有效勢具有一個單峰結(jié)構(gòu)，且位于r=3M.我們在圖1中畫出了有效勢隨徑向r的行為變化.根據(jù)力學(xué)中關(guān)于機(jī)械能守恒的章節(jié)內(nèi)容，我們知道，由于動能非負(fù)，所以允許光子運(yùn)動的區(qū)域滿足

圖1 光子在黑洞背景下的有效勢

E2≥Veff

(16)

根據(jù)這一要求，我們分3種典型情況討論光子可能的運(yùn)動區(qū)域：

3 運(yùn)動學(xué)反問題和運(yùn)動軌跡

接下來我們將利用光子的4速度計算光子在赤道面內(nèi)的運(yùn)動軌跡.這一問題剛好是力學(xué)中的運(yùn)動學(xué)反問題，即指已知速度或加速度求物體位矢的問題.

根據(jù)運(yùn)動學(xué)反問題知識，如已知物體的速度v，求解其位矢r需要對其速度進(jìn)行一次積分，即

(17)

這一不定積分的計算會出現(xiàn)一個積分常量(常矢量)，它代表物體最初的初位矢.

因此，要從4速度得到光子的運(yùn)動軌跡，必須先給定光子的初位置.據(jù)此，我們假設(shè)光子初始時位于(r,φ)=(10M,0)并射向黑洞.那么對式(9)和式(11)進(jìn)行積分，我們就可以得到光子運(yùn)動軌跡.

取光子的能量分別等于E1、E2和E3時，我們通過數(shù)值計算獲得了光子在赤道面上的運(yùn)動軌跡，如圖2所示.

圖2 不同能量的光子在黑洞背景下的運(yùn)動軌跡(黑色區(qū)域代表黑洞)

當(dāng)光子能量為E1時，可以看到光子從初位置入射后逃離黑洞.當(dāng)能量為E2時，光子從初位置入射后，抵達(dá)圓形軌道，并在此軌道上繞黑洞做圓周運(yùn)動.當(dāng)光子能量為E3時，光子從初位置出發(fā)后，很快被黑洞吸收.這完全符合由有效勢分析的結(jié)果.

4 總結(jié)與討論

本文利用拉格朗日量成功求解了黑洞背景下自由光子的運(yùn)動這一問題.在具體的求解過程中，有機(jī)地結(jié)合了力學(xué)和理論力學(xué)中的拉格朗日量、機(jī)械能守恒、有效勢和運(yùn)動學(xué)反問題等多個知識點(diǎn).通過此問題的求解，可以幫助我們靈活運(yùn)用知識，將力學(xué)和理論力學(xué)中的知識應(yīng)用到前沿的課題研究中.有質(zhì)量粒子的軌道分類看參考文獻(xiàn)[5].