改進(jìn)混沌方程及壓縮感知理論圖像加密算法

杜鑫昌，高瑜翔，曹遠(yuǎn)杰，張 皓，劉海波

(成都信息工程大學(xué)通信工程學(xué)院(微電子學(xué)院)，四川 成都 610225)

0 引 言

隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及與發(fā)展，圖像作為重要的信息載體在人們的日常信息交流中扮演著重要的角色，在享受便利的同時，人們也面臨著一些非常嚴(yán)峻的問題，例如如何保證圖像信息傳遞的安全性。另外由于圖像占據(jù)的存儲空間越來越大，尤其是一些高清圖像的傳遞，在傳遞過程中需要考慮在帶寬、存儲空間一定的情況下，如何對信息進(jìn)行加密和壓縮，而傳統(tǒng)的加密算法無法在實(shí)現(xiàn)加密的同時實(shí)現(xiàn)壓縮操作[1-2]。因此針對圖像的加密壓縮方案的設(shè)計就變得十分重要。

壓縮感知[3]打破了傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理的束縛。采用壓縮感知技術(shù)處理信號可減少數(shù)據(jù)傳輸量、節(jié)約存儲空間和減少帶寬的占用率，這極大地降低了信號采樣、計算和儲存所需要的成本。壓縮感知可同時完成數(shù)據(jù)的采樣與壓縮，如果在壓縮感知過程中與加密算法相結(jié)合，就可以在數(shù)據(jù)的采樣、壓縮過程中對數(shù)據(jù)進(jìn)行加密[4-6]?；煦缡莿恿W(xué)系統(tǒng)中對初始值敏感而表現(xiàn)出不可預(yù)測的、類似隨機(jī)性的運(yùn)動，因其良好的特性例如周期性、初值敏感性和遍歷性被廣泛地應(yīng)用在加密算法的設(shè)計中[7]。利用混沌的隨機(jī)性來構(gòu)建壓縮感知的測量矩陣，可減少密鑰的傳輸量[8-10]。所以基于壓縮感知與混沌的圖像加密技術(shù)具有很好的應(yīng)用前景。

1 改進(jìn)的Logistic混沌方程

Logistic方程又叫做蟲口模型，是一種簡單而又具有重要意義的一維非線性方程：

xk+1=axk(1-xk)

(1)

其中，xk∈(0,1);k=0,1,…,n;a∈(0,4],a為分支參數(shù)。當(dāng)3.5699456…

圖1 傳統(tǒng)Logistic混沌方程映射圖和Lyapunov指數(shù)圖

由圖1可看出,傳統(tǒng)Logistic混沌方程的李雅普諾夫指數(shù)值在區(qū)間(3.56，4]內(nèi)多個區(qū)間小于0或接近于0，混沌性能較差，且生成的混沌序列在區(qū)間內(nèi)的分布不均勻。

本文提出改進(jìn)Logistic混沌方程如下：

(2)

其中，a=4時，b∈(2.3,3],xk∈(0,1);k=0,1,…,n。選取a=4,b=3,c=3，其混沌圖以及李雅普諾夫指數(shù)值如圖2所示。

圖2 改進(jìn)Logistic混沌方程映射圖和Lyapunov指數(shù)圖

由圖2可看出,改進(jìn)后的Logistic混沌方程其混沌性能優(yōu)于傳統(tǒng)Logistic混沌方程，且改進(jìn)后的混沌方程的李雅普諾夫指數(shù)值更大，因而動力學(xué)行為更復(fù)雜[11]。由分岔數(shù)與李雅普諾夫指數(shù)關(guān)系可知，李雅普諾夫指數(shù)越大，混沌方程生成序列的混沌程度越高[12]。

與其他改進(jìn)Logistic混沌方程性能對比：

1)對比改進(jìn)方程1：

(3)

式中，xk∈(-1.2,1.2)，當(dāng)分支參數(shù)a∈(2.35,3]時，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)。

x0=0.1,a=3時，其混沌圖以及李雅普諾夫指數(shù)值如圖3所示。

圖3 對比改進(jìn)方程1混沌方程映射圖和Lyapunov指數(shù)圖

2)對比改進(jìn)方程2：

(4)

式中，參數(shù)b>0,b∈R，分支參數(shù)a∈(0,2/b)。

b=0.5時，其混沌圖以及李雅普諾夫指數(shù)值如圖4所示。

圖4 對比改進(jìn)方程2混沌方程映射圖和Lyapunov指數(shù)圖

對比以上2個改進(jìn)Logistic混沌方程，本文提出的改進(jìn)Logistic混沌方程Lyapunov指數(shù)更大，動力學(xué)性能更好，生成的偽隨機(jī)序列的隨機(jī)性能更好。

2 基于壓縮感知與混沌理論的圖像加密方法

2.1 總體方案設(shè)計

加密方案如圖5所示。首先將原始圖像通過稀疏基稀疏采樣生成稀疏信號，然后對稀疏信號進(jìn)行置亂與加權(quán)操作,并與改進(jìn)混沌方程構(gòu)造受控的測量矩陣，通過線性投影完成圖像的壓縮加密，緊接著對密文圖像進(jìn)行像素間的無重復(fù)置亂操作、基于加取模運(yùn)算的前后擴(kuò)散操作，獲得最終的壓縮密文圖像。

圖5 加密總體方案

方案中采用改進(jìn)Logistic混沌方程產(chǎn)生偽隨機(jī)序列從而構(gòu)建一個受控的測量矩陣，然后對稀疏基處理后的稀疏信號做線性降維投影。為了克服低維混沌系統(tǒng)的密鑰空間太小以及線性測量的局限性，故與超混沌Lorenz混沌系統(tǒng)相結(jié)合，通過超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列對對密文圖像作置亂-擴(kuò)散操作，獲得最終的密文圖像，從而達(dá)到壓縮加密的目的。

2.2 受控的測量矩陣構(gòu)造方法

測量矩陣的設(shè)計是壓縮感知理論的核心內(nèi)容，測量矩陣性能的優(yōu)劣影響到信號重建的效果。測量矩陣的構(gòu)建需要滿足約束等距條件(RIP)。

RIP定義：定義測量矩陣A的RIP參數(shù)δk為滿足下式的最小值δk[3]。

(5)

其中x為K稀疏信號，若δk<1，則稱測量矩陣A滿足K階RIP[3]。Baraniuk等人證明了測量矩陣滿足K階RIP等價的條件是測量矩陣與稀疏矩陣不相關(guān)。傳統(tǒng)滿足條件的測量矩陣有高斯隨機(jī)矩陣、隨機(jī)伯努利矩陣等。由于隨機(jī)測量矩陣的不確定性可能會導(dǎo)致每次信號的重構(gòu)效果會出現(xiàn)偏差，所以構(gòu)造一個確定性的測量矩陣在滿足RIP條件的原則下可以保證信號重構(gòu)的效果。確定性測量矩陣可以很好地克服這些不足，因此很多研究者利用其他技術(shù)構(gòu)造受控的測量矩陣，如Dimakis等人[13]利用LDPC校驗(yàn)矩陣來構(gòu)建測量矩陣；劉鑫吉等人[14]采用陣列碼構(gòu)造測量矩陣；Yu等人[15]采用混沌序列構(gòu)造測量矩陣。測量矩陣作為一個降維矩陣，通過控制測量矩陣的列數(shù)可以控制信號壓縮的比例。其構(gòu)造的具體步驟如下:

1)利用改進(jìn)的Logistic混沌映射產(chǎn)生偽隨機(jī)序列：設(shè)置初始值x0和參數(shù)值a、b、c，對混沌映射連續(xù)迭代M·N+t次，t為過渡帶長度，通過設(shè)置t的長度消除暫態(tài)效應(yīng)使生成的偽隨機(jī)序列獲得更好的隨機(jī)性。初始值x0設(shè)置為0.1，參數(shù)值a=4,b=3,c=3。迭代長度M設(shè)置為190，N設(shè)置為256。過渡態(tài)長度t設(shè)置為800。

2)設(shè)置壓縮率為CR，將偽隨機(jī)序列截取M·CR長度大小，通過重組變換構(gòu)造出測量矩陣。壓縮率CR=0.75。

測量矩陣性能分析：

在相同條件下比較標(biāo)準(zhǔn)測試圖片“Lena”與“Camera”分別在3種測量矩陣下信號重建的效果。3種測量矩陣為高斯隨機(jī)矩陣、傳統(tǒng)Logistic混沌映射構(gòu)造的測量矩陣與改進(jìn)混沌方程后構(gòu)造的測量矩陣。采用PSNR、MSE以及NMSE的數(shù)值作為圖像質(zhì)量的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

(6)

(7)

(8)

PSNR(峰值信噪比)值越大表明圖像的質(zhì)量越好。

MSE(均方誤差)是判斷圖像質(zhì)量最常用的算法之一。MSE的值越小表示圖像的質(zhì)量越好。

NMSE(歸一化均方誤差)是一種基于能量歸一化的測量方法，它相對均方誤差是將分母的大小變成了原始圖像的各個像素的平方和，同樣是值越小表示圖像的質(zhì)量越好。

由表1可得通過比較3種不同的測量矩陣下的信號重構(gòu)質(zhì)量的性能指標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的Logistic混沌序列構(gòu)造的受控測量矩陣既達(dá)到了隨機(jī)高斯矩陣的重建信號的性能，又克服了隨機(jī)測量矩陣具有的不確定性而導(dǎo)致每次信號的重構(gòu)效果出現(xiàn)偏差、在傳輸過程中占據(jù)較大的帶寬以及在硬件中不易實(shí)現(xiàn)的缺點(diǎn)。

表1 不同測量矩陣重構(gòu)圖像質(zhì)量分析

所以本文提出的改進(jìn)Logistic混沌方程所生成的偽隨機(jī)序列混沌性能更好，所構(gòu)建的受控測量矩陣與稀疏矩陣的不相關(guān)性大，對于壓縮感知信號重建的質(zhì)量較高、較穩(wěn)定以及在傳輸過程中具有節(jié)省帶寬以及容易在硬件中實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。

2.3 加密與解密

2.3.1 加密過程

1)將大小為M·M的圖像在某一稀疏基下進(jìn)行稀疏處理獲得同等大小的稀疏信號。

2)對稀疏信號進(jìn)行置亂處理，以增加稀疏信號的列稀疏性，使得稀疏信號非0值的分布更加均勻。

3)對稀疏信號進(jìn)行加權(quán)處理，通過提高稀疏信號系數(shù)的差異性，來提高信號的重構(gòu)性能。

4)利用改進(jìn)的Logistic混沌映射產(chǎn)生偽隨機(jī)序列，構(gòu)造M·CR大小的受控測量矩陣。

5)測量矩陣對稀疏信號進(jìn)行線性運(yùn)算，獲得M·CR大小的觀測矩陣。

6)利用超混沌Lorenz混沌序列產(chǎn)生2個長度為M·CR大小的一維混沌偽隨機(jī)序列，用于之后置亂、擴(kuò)散操作。

7)對M·CR密文圖像進(jìn)行量化操作使測量矩陣的元素值的大小在[0,255]區(qū)間。

8)將量化后的密文圖像轉(zhuǎn)換為一維向量后進(jìn)行無重復(fù)置亂，獲得處理后的密文圖像H1。

9)對密文圖像H1進(jìn)行基于加取模運(yùn)算的前后擴(kuò)散算法獲得最終的密文圖像H2。

2.3.2 解密過程

解密步驟是加密步驟的逆操作。

1)進(jìn)行擴(kuò)散、置亂、量化操作的逆過程，獲得明文圖像K1。

2)通過重構(gòu)算法和明文圖像K1進(jìn)行信號的重構(gòu)，獲得明文圖像K2。

3)對明文圖像K2進(jìn)行小波逆變換、反加權(quán)以及反置亂操作，獲得復(fù)原圖像K3。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 壓縮性能分析

選取3幅256×256大小的標(biāo)準(zhǔn)測試灰度圖像Lena、Camera以及Couple作為實(shí)驗(yàn)圖片，在壓縮率設(shè)為0.5的情況下通過比較PSNR值來衡量重構(gòu)圖像的質(zhì)量。加密解密流程如上所述。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)圖像

由圖6可得在壓縮率為0.5的情況下重構(gòu)的圖像在視覺上與原圖像很難區(qū)分，表明本文提出的算法具有較好的壓縮重構(gòu)性能。

與其他方案的壓縮性能對比結(jié)果見表2。

表2 不同壓縮加密方案的重構(gòu)性能對比

由表2可以看出，在相同的稀疏基、重構(gòu)算法的條件下，本文方案在重構(gòu)圖像的質(zhì)量上較其他算法提高了2～5 dB。因此該方案具有較好的壓縮重構(gòu)性能。

3.2 密鑰安全空間

本文方案的密鑰參數(shù)集為{a,b,c,a1,b1,c1, r,a2,b2,c2,r1}，如果每個參數(shù)的初值和長度取1014位小數(shù)，那么本文方案的密鑰空間則為10154。圖像加密算法的密鑰空間大于2100就能抵御蠻力攻擊[18-19]，所以本文方案的密鑰空間足夠抵御蠻力攻擊。

3.3 直方圖分析

直方圖反映了圖像中每一個像素灰度值的統(tǒng)計特性。明文圖像的像素灰度值的直方圖具有明顯的統(tǒng)計特性，為避免針對于統(tǒng)計特性的統(tǒng)計分析攻擊，加密圖像的像素分布的直方圖需要是均勻的。如圖7所示，直方圖的橫軸表示圖像的像素值，縱軸表示像素值的分布情況。由此可看出，密文圖像的直方圖較為均勻，從密文中很難提取明文的像素統(tǒng)計特征，因此可以抵御統(tǒng)計攻擊。

(a) 明文圖像直方圖

3.4 相關(guān)性分析

在一幅一般圖像中，每個像素點(diǎn)都與其相鄰像素點(diǎn)之間呈現(xiàn)出很高的相關(guān)性。一個理想的圖像加密系統(tǒng)加密后的圖像的相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性越趨近于0說明性能越好，因此采用相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)作為評價一個圖像加密系統(tǒng)的優(yōu)劣的重要指標(biāo)[20-21]。

相關(guān)性的計算表達(dá)式如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

從水平、垂直、對角方向進(jìn)行相關(guān)性分析，結(jié)果如表3所示。

表3 相關(guān)性分析

由表3中數(shù)據(jù)可以看出，2幅圖像通過壓縮加密算法處理之后，像素間的相關(guān)性顯著下降，密文圖像各個方向的相關(guān)性接近于0，因此可以抵抗基于相關(guān)性的統(tǒng)計攻擊。圖像加密效果較好。

3.5 信息熵分析

信息熵反映了圖像信息的不確定性，值越大說明信息的不可預(yù)測性越好。就256級灰度圖像而言，信息熵理論最大值為8[22-23]，由此分別對3幅測試圖片加密前后的信息熵進(jìn)行計算，具體結(jié)果見表4。

表4 信息熵分析

信息熵的計算公式如下：

(13)

式中，p(i)表示圖像中灰度值為i的值出現(xiàn)的概率。

由表4可知，原圖像的信息熵值均要小于加密圖像的信息熵值，加密后的圖像信息熵值都接近于理論最大值8，由此可見本文加密算法對圖像處理的有效性。

3.6 敏感性分析

像素變化率(NPCR)指2幅圖像中不同的像素點(diǎn)的個數(shù)占全部像素點(diǎn)的比例[24-25]。像素的統(tǒng)一變化強(qiáng)度(UACI)指計算全部相應(yīng)位置的像素點(diǎn)的差值與最大差值的比值的平均值[24-25]。如果2幅圖像的所有相應(yīng)位置的像素值的值均不相同，則NPCR為100%。2幅隨機(jī)圖像的UACI理論期望值約為33.4635%。

計算公式如下：

(14)

(15)

(16)

式中M和N分別代表圖像像素的行數(shù)和列數(shù)，M1(i,j)和M2(i,j)分別代表改變原始圖像位置的像素點(diǎn)前后通過加密算法得到的密文圖像。

由表5可知，本文方法在NPCR與UACI上表現(xiàn)較好，接近于理論值，對比文獻(xiàn)[16]的壓縮加密算法，本文方法的NPCR提升了約0.55個百分點(diǎn)，可有效抵抗差分攻擊。

表5 敏感性分析

3.7 魯棒性分析

為了定量分析本文加密算法在不同噪聲環(huán)境及強(qiáng)度下的抗干擾能力，對Lena圖像處理后的密文圖像添加3種不同類型的噪聲，包括椒鹽噪聲(Salt & Pepper Noise, SPN)、高斯噪聲(Gaussian Noise, GN)以及斑點(diǎn)噪聲(Speckle Noise, SN)[26-27]。由表6可知，通過仿真在不同噪聲環(huán)境、強(qiáng)度下的PSNR值，本文算法可以較好地抵御噪聲攻擊，復(fù)原的圖像可以較為清楚地看清圖片信息。

表6 不同噪聲環(huán)境下的PSNR值

4 結(jié)束語

本文通過提出一種新的改進(jìn)Logistic混沌方程來構(gòu)造受控測量矩陣，改進(jìn)后的混沌方程擁有更好的混沌性能，從而提高了加密系統(tǒng)的安全性和信號重構(gòu)質(zhì)量的穩(wěn)定性，通過將壓縮感知理論與傳統(tǒng)加密算法相結(jié)合使得加密系統(tǒng)擁有較好的壓縮性能與安全性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的加密方案有較好的抗統(tǒng)計性攻擊、抗差分性攻擊和抗噪聲能力。

由于本文在壓縮感知框架內(nèi)引入了對稀疏信號的系數(shù)加權(quán)，在提高信號重構(gòu)質(zhì)量的同時也影響了噪聲情況下信號的重構(gòu)質(zhì)量。另外在壓縮感知理論中不同的稀疏基、測量矩陣和重構(gòu)算法都會對重構(gòu)信號的質(zhì)量造成影響。因此下一步將對這些方面進(jìn)行優(yōu)化，提高重構(gòu)信號的質(zhì)量。