噪聲對相干衍射成像重構物體圖像的影響

馬子琦，劉 凱，潘子萌，廖 青

光學信息與模式識別湖北省重點實驗室（武漢工程大學），湖北 武漢 430205

隨著納米技術的發(fā)展，人們對高分辨率成像有了迫切的需求。傳統(tǒng)光學成像的分辨率受到透鏡衍射極限的限制，為了突破透鏡的衍射極限，相干衍射成像作為一種無透鏡高分辨率成像方式應勢而生。相干衍射成像（coherentdiffractiveimaging，CDI）是一種通過物體的遠場衍射數(shù)據(jù)獲得完整的光波場信息的無透鏡成像方式，由于沒有用到透鏡，因此成像分辨率不受光學像差的限制，可以突破透鏡的衍射極限［1-2］。自1999年華人學者Jianwei Miao首次通過實驗驗證了相干衍射成像以來［3-4］，超短光源和各種迭代算法的發(fā)展推動了相干衍射成像的快速發(fā)展和應用。相干衍射成像的核心問題是相位恢復問題，目前已經(jīng)據(jù)此發(fā)展出多種相關的相位恢復算法，2004年Rodenburg等首次提出了疊層掃描相干衍射成像算法（ptychographic interactive engine，PIE），疊層掃描意指采用交疊式掃描，相鄰的光斑掃描區(qū)域有大部分重疊，信息高度冗余，該算法極大的提高了數(shù)據(jù)的收斂速度［5］。2009年，Maiden和Rodenburg又拓展了PIE算法，使之可以在光探針信息未知的情況下恢復出目標函數(shù)的相位，該算法被稱作擴展疊層迭代引擎（extended ptychographic iterative engine，ePIE）算法［6-8］。理想情況下相干衍射成像僅受到光源波長的限制，但在實際中，實驗室可獲得的數(shù)值孔徑會受到噪聲的限制，從而限制了可獲得的分辨率［9-11］。

本文考慮用ePIE算法在MATLAB上重構物體圖像，設置不同透射率的圖像，在衍射過程中分別加入泊松噪聲和高斯噪聲來模擬實驗，探究不同種類噪聲對相干衍射成像重構不同透射率物體圖像的影響。

1 疊層掃描相干衍射成像迭代算法重構物體圖像

1.1 疊層掃描相干衍射成像迭代算法基本原理

疊層掃描相干衍射成像顧名思義就是在光探針掃描樣本的過程中，光探針在物體上逐次移動，每次掃描到的區(qū)域與相鄰掃描區(qū)域有大部分重疊。探測器依次記錄每次掃描后的遠場夫瑯和費衍射圖樣，直到光探針遍歷整個物體，然后通過迭代算法求出這些相互約束的衍射圖樣的共解，由于每次掃描的區(qū)域有大部分重疊，因此信息冗余度高，收斂速度快，可以快速得到所有掃描層的共解，重建出物體圖像［12-13］。

圖1中光源發(fā)出的相干光穿過小孔，提升相干性，隨后移動光探針照射物體的不同位置，遠場CCD相機記錄一系列重疊的探針位置上的衍射圖樣，并通過疊層掃描迭代算法重構物體圖像。

圖1 疊層掃描相干衍射成像原理Fig.1 Principle of ptychography

在疊層掃描ePIE中，首先光探針函數(shù)用P（r）表示，物體函數(shù)用O（r）表示，光探針照射物體后的出射波函數(shù)用ψ表示：

j表示當前掃描位置，RS(j)表示該掃描處光探針與物體的相對位置矢量，根據(jù)標量衍射理論，出射波與到達探測器上的波函數(shù)是一個傅里葉變換的關系，因此對出射波函數(shù)進行一個快速傅里葉變換，就可以得到遠場出射波函數(shù)的振幅和相位分布，將振幅替換成實驗所測到的強度，保持相位不變，可以得到：

這樣對頻譜完成了一次修正，之后對Ψj(u)做逆傅里葉變換，得到更新后的出射波函數(shù)：

再利用更新后的出射波函數(shù)更新樣本函數(shù)：

探針的更新方式與樣本函數(shù)的更新類似：

這里更新后的樣本函數(shù)作為下一次迭代時該位置的樣本猜測函數(shù)，是光探針函數(shù)的共軛，α,β為調(diào)節(jié)因子，當光探針照射的所有位置都完成一次更新后，即完成了一次完整的迭代，重復迭代多次直到數(shù)據(jù)收斂至想要的結(jié)果，可以完成物體圖像的重建［14］。

1.2 在MATLAB上用疊層成像恢復物體圖像的結(jié)果

使用MATLAB編寫生成衍射圖像和ePIE算法，設定隨機的高斯光作為光探針［15］，生成的高斯光場分布如圖2（a）所示。光探針像素大小為64*64，移動步長為8，掃描區(qū)域像素大小為256*256，物體圖像像素大小為128*128。每次迭代生成50張衍射圖樣作為ePIE算法的輸入。

圖2 （a）高斯光場分布；（b）圖像Lena；（c）光探針疊層掃描交疊位置示意圖Fig.2（a）Gaussian optical field distribution；（b）Image Lena；（c）Schematic diagram of overlapping positions of optical probe stack scanning

圖3（a-f）中分別是迭代5次，10次，15次，20次，30次，50次的圖像重建效果，可以看出迭代5次僅可得到圖像的部分模糊信息；迭代10次可以重建圖像的部分輪廓；迭代20次時圖像輪廓明顯，但圖像細節(jié)不足；迭代30次時圖像清晰，但強度不足；迭代50次已經(jīng)達到十分清晰的效果，可以認為已正確重建該圖像。整個迭代過程50次，在計算機上2 min即可完成。

圖3 不同迭代次數(shù)下圖像Lena恢復效果：（a）5次，（b）10次，（c）15次，（d）20次，（e）30次，（f）50次Fig.3 Recovery effect of image Lena under different iterative times：（a）5 times，（b）10 times，（c）15 times，（d）20 times，（e）30 times，（f）50 times

物體的透射率表示了物體結(jié)構的透光性，透射率的大小會影響光透過樣品后的遠場衍射波。為了探究噪聲對透射率不同的物體圖像重構的影響，模擬中設置了像素大小為256*256的透射率不同的物體圖像（見圖4），該圖像從左到右條紋透射率依次是100%，80%，50%，10%。圖5表示不加噪聲的情況下用ePIE算法對透射率物體圖像進行重構的過程，隨著迭代次數(shù)增加，重建圖像逐漸清晰，其中5（d）是迭代50次之后重構出的圖4中透射率物體圖像的結(jié)果。

圖4 透射率物體圖像Fig.4 Transmissivities of object image

圖5 透射率物體圖像在不同迭代次數(shù)下的恢復效果：（a）5次，（b）10次，（c）30次，（d）50次Fig.5 Recovery effect of transmissivities of object image under different iterativetimes：（a）5 times，（b）10 times，（c）30 times，（d）50 times

2 噪聲對恢復物體圖像的影響

2.1 泊松噪聲對物體圖像恢復的影響

由于在相干衍射實驗的過程中光子不是以均勻的方式到達探測器，而是以隨機的方式到達，到達探測器表面的光子數(shù)目存在一定的波動，進而導致了圖像的測量具有顆粒性，這個過程符合泊松分布，因此這種由測量的不確定性引起的噪聲也稱為泊松噪聲［16-17］。

為了探究實驗中泊松噪聲對物體圖像重建可能帶來的影響，在圖4中透射率物體圖像的衍射圖中加入泊松噪聲，泊松噪聲的大小與信號有關，且分布均值與方差相同，所以總光子數(shù)越多，均值越高，方差越大，在圖像中定義信噪比（signal noise ratio，SNR）時將方差的平方根，即標準差定義為噪聲，則當信號增加N倍時，標準差增加倍，噪聲也增加倍，同時SNR增加倍。

以圖6中（a）為例，加入依賴于初始信號的泊松噪聲，其余條件與不加噪聲的重構條件保持一致，計算出泊松噪聲SNR為3.661。接下來信號每次擴大10倍，即SNR每次增加3.162倍，觀察在疊層掃描相干衍射成像算法下迭代50次的重構過程：

圖6（a-h）中分別表示SNR為3.661，6.823，9.985，13.147，16.309，19.741，22.633，25.795時的重建結(jié)果，圖6（a）中可以看出SNR為3.661時噪聲對不同透射率的圖像重建影響均較大，無法重建物體圖像，接下來每張圖代表SNR增大 10倍的重建結(jié)果，圖6（b）中SNR為6.823，透射率100%，80%，50%的物體圖像恢復模糊，透射率10%的物體圖像無法重建，圖6（c）中SNR為9.985，透射率100%，80%，50%的物體圖像輪廓已經(jīng)逐漸清晰，但在這個SNR下透射率10%的物體圖像仍然完全無法恢復；圖6（d）中SNR為13.147，透射率100%，80%，50%的物體圖像重建完成度增加，透射率10%的物體圖像開始模糊地顯現(xiàn)，但是無法明確分辨；圖6（e）中SNR為16.309，除了透射率100%，80%，50%的物體圖像更加清晰以外，強度也逐漸均勻，透射率10%的物體圖像已經(jīng)可以正確重建出來；圖6（f-h）中，不同透射率的物體圖像重建結(jié)果越來越清晰，邊緣也越來越清晰，圖像邊緣線條與背景對比度明顯，強度均勻。

2.2 高斯噪聲對物體圖像恢復的影響

在實驗中，如果光探針的亮度不夠均勻，或者探測器長時間工作后溫度上升，就會產(chǎn)生高斯噪聲，高斯噪聲的概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布，對物體圖像模擬中的衍射圖像加入不同SNR的高斯噪聲，迭代50次的重構結(jié)果如圖6所示。

圖6 泊松噪聲對物體圖像重建的影響Fig.6 Influence of Poisson noise on reconstruction of object image

圖7（a-f）中表示SNR為1，3，5，8，10，12，14，16，18，20，22，24時的重建結(jié)果，從圖7（a）中可以看出，SNR為1時，可以看出噪聲很明顯，幾乎無法分辨樣本，圖7（b）中SNR為3，透射率為10%的物體圖像完全不顯示，透射率為100%，80%，50%的物體圖像模糊無法分辨，圖7（c-e）中SNR為5，8，10時仍然是無法看到透射率10%的物體圖像，但是透射率100%，80%，50%的物體圖像輪廓漸漸清晰，但并不能完全重建出物體圖像，圖7（f）中SNR為12，物體圖像條紋邊緣有明顯噪聲，透射率100%，80%，50%的物體圖像基本可以重建出來，10%的物體圖像不是很容易分辨；圖7（g-i）中SNR為14，16，18，雖然物體圖像的條紋邊緣仍有噪聲，但透射率為100%，80%，50%，10%的物體圖像都可以重建出來，只是透射率10%的物體圖像比較暗；圖7（j）中，SNR提高到20時，不同透射率的物體圖像皆清晰可見，但條紋邊緣會有偽影；圖7（kl）中SNR為22和24，不同透射率的物體圖像均重建良好，且邊緣十分清晰，噪聲已經(jīng)基本對重建沒有影響。

圖7 高斯噪聲對物體圖像重建的影響Fig.7 Influence of Gaussian noise on reconstruction of object image

3 結(jié)果與分析

在疊層掃描相干衍射成像的基礎上，編寫程序生成物體圖像的衍射圖，并利用ePIE算法模擬驗證了物體圖像的重建情況，之后在不同透射率的物體圖像衍射圖中分別加入了泊松噪聲和高斯噪聲進行重構。

具體重構結(jié)果表明低SNR的泊松噪聲對透射率不同的物體圖像重構影響均很大，對透射率低的物體圖像的影響比對透射率高的物體圖像影響要大，當SNR較低時，透射率10%的物體圖像不能重構。SNR為3.661時，添加了泊松噪聲的初始信號無法重構圖像；信號強度增加103倍時，即SNR為13.147時，透射率100%，80%的物體圖像輪廓可以重建出來，透射率50%的物體圖像重構不完整，透射率10%的物體圖像無法重構，信號強度增加104倍時，SNR為16.309時，泊松噪聲對透射率100%，80%，50%的物體圖像影響已經(jīng)不大，所以如果物體圖像整體透射率大于50%，在這個SNR的情況下已經(jīng)可以恢復良好，若圖像透射率較低，則在實驗中需要再增加信號強度。

在衍射圖中加入高斯噪聲時，SNR低于8時對透射率50%和10%的物體圖像影響較大，SNR為8到10時，對透射率為100%，80%，50%的物體圖像有較大影響，但是影響效果差異不大，對透射率10%的物體圖像影響最大，無法重構透射率10%的物體圖像，SNR達到12時，盡管圖像周圍仍有噪聲造成的偽影，但已經(jīng)可以完全區(qū)分出不同透射率的物體圖像，隨著SNR增加到24，重建的圖像噪聲減小，邊緣清晰，強度均勻，當SNR達到22和24時，圖像重構效果非常好，噪聲對物體圖像的重構幾乎已經(jīng)沒有影響。

圖8為根據(jù)2.1節(jié)和2.2節(jié)的研究內(nèi)容繪制的透射率的最低恢復程度和SNR之間的關系，黑色實線表示泊松噪聲SNR為6.823時，僅能恢復透射率100%的物體圖像，SNR為9.985時，可以恢復透射率80%的物體圖像，SNR為16.309時?？梢曰謴屯干渎实陀?0%的物體圖像。SNR為22.663時，可以恢復透射率低至10%的物體圖像；紅色實線表示高斯噪聲SNR為12時，僅可恢復透射率100%的物體圖像，SNR為16時，可以恢復透射率80%的物體圖像，SNR為18時?？梢曰謴屯干渎实陀?0%的物體圖像。SNR為22時，可以恢復透射率低至10%的物體圖像。

圖8 物體圖像重構效果與其透射率和SNR的關系Fig.8 Relation between reconstruction effect of object image and its transmissivities and signal-to-noise ratio

在實驗測量中，物體的密度結(jié)構通常不是均勻的，因此不同密度的細節(jié)對光的透射率也不同。對物體進行重構時，物體透射率低的部分更容易受到噪聲影響。研究噪聲對不同透射率物體圖像的重構影響，就可以重構物體結(jié)構。

4 結(jié) 論

本文在衍射成像模擬中選取了測量中會遇到的兩種典型的噪聲：泊松噪聲和高斯噪聲，根據(jù)噪聲與噪聲影響的定量關系探究了兩種噪聲對相干衍射成像中重構透射率物體圖像的影響，探究結(jié)果表明噪聲對透射率低的物體圖像影響更大，SNR低于6時無法重構物體圖像，SNR大于22時噪聲對不同透射率物體圖像的重構均不再有影響。為相干衍射成像的實際應用提供了理論指導。