讓“抽象”真實(shí)發(fā)生：數(shù)學(xué)抽象思想教學(xué)策略舉隅

[摘? ?要]為說明抽象思想在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中具體的思維活動(dòng)以及現(xiàn)實(shí)表現(xiàn)，明確學(xué)生怎樣才算是經(jīng)歷了抽象的過程，以及數(shù)學(xué)教師應(yīng)如何加以引導(dǎo)，可以“沏茶問題”舉隅。在教學(xué)時(shí)應(yīng)將教學(xué)目標(biāo)定位于“數(shù)學(xué)抽象思想的教與學(xué)”的層面，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想素養(yǎng)為教學(xué)核心任務(wù)開展課堂教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷“簡化與命名、一一對(duì)應(yīng)、比較與分類、次序化和序列化、數(shù)量刻畫”等具體的抽象思維活動(dòng)，通過對(duì)比、質(zhì)疑、優(yōu)化等探究活動(dòng)，體驗(yàn)解決問題策略多樣性，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);抽象;有序思考;學(xué)科核心素養(yǎng)

“抽象”一詞不僅經(jīng)常會(huì)被數(shù)學(xué)研究者、教育者所使用，還經(jīng)常出現(xiàn)在中小學(xué)教學(xué)研討或教師教學(xué)設(shè)計(jì)中。但是“抽象”到底有哪些具體的思維活動(dòng)以及現(xiàn)實(shí)表現(xiàn)，學(xué)生怎樣的思維活動(dòng)或探究行為才算是經(jīng)歷了抽象，教師又該如何引導(dǎo)并培育學(xué)生的抽象能力與素養(yǎng)呢？在此，筆者將結(jié)合“沏茶問題”的教學(xué)實(shí)踐談幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)。

“沏茶問題”是人教版義務(wù)教育教科書小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”單元的教學(xué)內(nèi)容。教材呈現(xiàn)了沏茶的生活情境，具體工序及用時(shí)可概括為“燒水8分鐘，洗水壺1分鐘，洗茶杯2分鐘，接水1分鐘，找茶葉1分鐘，沏茶1分鐘”，所要解決的問題是“怎樣盡快喝上茶”。教師引導(dǎo)學(xué)生確定沏茶工序、分析流程，繼而交流和探討怎樣安排才能節(jié)省時(shí)間，從而體驗(yàn)解決問題策略的多樣性和優(yōu)化思想。但如果教師對(duì)這一內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值追求止步于此，則對(duì)作為數(shù)學(xué)思想專題教學(xué)的“數(shù)學(xué)廣角”課程的定位缺乏充分的認(rèn)識(shí)，對(duì)教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的挖掘也不夠深入，而且也必然會(huì)因此而忽視了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育。筆者認(rèn)為，“沏茶問題”中蘊(yùn)含的最重要的數(shù)學(xué)思想應(yīng)該是“抽象”。

一、“沏茶問題”中抽象思想的層次定位

抽象性是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征之一?！皵?shù)學(xué)的威力就在于它的抽象性;越撇開內(nèi)容，就越有廣泛應(yīng)用的可能。[1]”克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)從其抽象過程的特征來看，可以分為五種形式，包括理想化抽象、等置抽象、弱抽象、強(qiáng)抽象、無限抽象[2]。筆者認(rèn)為，在中小學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，需要指向?qū)W生抽象思想形成的層次與類別的劃分，要更為簡明且利于引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由表及里地理解認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象思想。

1.數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的類別

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象從本質(zhì)上來說都是經(jīng)過抽象的東西。如果從抽象的“前后對(duì)象”的區(qū)別來看，筆者認(rèn)為“抽象”活動(dòng)可分為三類，即從物到數(shù)的抽象、從物到形的抽象、數(shù)與形的抽象。從物到數(shù)的抽象，其根本性在于，數(shù)是對(duì)物體數(shù)量這一本質(zhì)的抽象，沒有這一類的抽象，數(shù)學(xué)也就無從談起了。在小學(xué)階段，能夠體現(xiàn)出“物—數(shù)”抽象并能轉(zhuǎn)化為學(xué)生核心素養(yǎng)的有“數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)”等基礎(chǔ)能力;能夠體現(xiàn)“物—形”抽象的能力素養(yǎng)包括“直觀洞察、幾何直觀、空間意識(shí)”等;能夠體現(xiàn)“數(shù)—形”抽象的能力素養(yǎng)包括“數(shù)據(jù)意識(shí)、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型與應(yīng)用”等?！皵?shù)—形”抽象包括“從數(shù)到形”，也包括數(shù)與數(shù)的自系統(tǒng)，形與形的自系統(tǒng)。

2.數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的層次

史寧中教授指出，抽象可分為“簡約階段、符號(hào)階段、普適階段”三個(gè)層次。簡約階段是指，把握事物的本質(zhì)，把復(fù)雜問題簡單化、條理化，進(jìn)行清晰簡明的表達(dá);符號(hào)化階段是指，去掉具體內(nèi)容，用概念、圖形、符號(hào)關(guān)系表述簡約的一類事物;普適階段是指，通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物[3]。受這種層次劃分的啟發(fā)，筆者認(rèn)為，如果從“抽象”發(fā)生的復(fù)雜性和深刻性的角度分析，或可以包含五個(gè)層次：一是由客觀現(xiàn)實(shí)世界到基本理性認(rèn)識(shí)的抽象;二是由基本理性認(rèn)識(shí)到一般數(shù)學(xué)理性認(rèn)識(shí)的抽象;三是由一般數(shù)學(xué)理性認(rèn)識(shí)到嚴(yán)密邏輯推理的抽象;四是由嚴(yán)密邏輯推理到模型化應(yīng)用的抽象;五是由模型化應(yīng)用到創(chuàng)新領(lǐng)域生成發(fā)展的抽象。

二、“沏茶問題”中抽象思想的具體體現(xiàn)

“沏茶問題”中的抽象思想關(guān)涉“物—數(shù)、數(shù)—形”抽象，主要是從物到數(shù)的抽象，而教師恰恰容易忽視這一抽象，僅僅對(duì)解決問題中的事物給予關(guān)注，缺少了從事物到數(shù)的進(jìn)一步抽象刻畫。從層次性來看，“沏茶問題”主要集中在第一、二層次的抽象，這也符合學(xué)生的相應(yīng)認(rèn)知能力。抽象體現(xiàn)在以下幾個(gè)具體的階梯式發(fā)展的抽象活動(dòng)中，各環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣。

1.簡化與命名

抽象經(jīng)驗(yàn)不是憑空產(chǎn)生的，它必然建立在對(duì)客觀事物的觀察并產(chǎn)生直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，只不過在由直觀表象轉(zhuǎn)向抽象的準(zhǔn)備階段，還需要進(jìn)行“抽絲剝繭”，這一過程就是“簡化與命名”。“簡化”是對(duì)紛繁復(fù)雜的信息進(jìn)行分離和精簡，摒棄那些與問題解決無關(guān)的或非主要關(guān)聯(lián)的信息，保留關(guān)鍵信息。然后要對(duì)這些信息進(jìn)行概括性的命名，以便以語言為載體進(jìn)行思維，這是“抽象”運(yùn)轉(zhuǎn)起來的前提，也是抽象的具體表現(xiàn)之一，是抽象發(fā)生的較早期的行為。在“沏茶問題”中，要把“沏茶”這一具體的工作簡化為六個(gè)工序，每個(gè)工序都給予簡單的命名，就是在進(jìn)行抽象的“準(zhǔn)備”工作。鑒于此教學(xué)內(nèi)容并不需要太多時(shí)間進(jìn)行講解，有些教師還會(huì)覺得內(nèi)容“少了”，因此筆者建議不妨引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“命名”進(jìn)行符號(hào)化，比如“燒水——SS，洗水壺——XH，洗茶杯——XB，接水——JS，找茶葉——ZC，沏茶——QC”，在分析或設(shè)計(jì)流程時(shí)，以符號(hào)化的“命名”表達(dá)，既可以簡化流程設(shè)計(jì)，亦可潛移默化地培養(yǎng)“符號(hào)化”的抽象意識(shí)。

2.一一對(duì)應(yīng)

不同于集合運(yùn)算中的“一一映射”，小學(xué)生應(yīng)建立的“一一對(duì)應(yīng)”意識(shí)是指能將觀察到的客觀事物與其抽象后的形式對(duì)應(yīng)起來，從而開啟初步的數(shù)學(xué)化思考。雖然這種思考顯然不是高度綜合的或系統(tǒng)化的，但卻是開啟理性認(rèn)識(shí)大門的關(guān)鍵一環(huán)。皮亞杰就曾指出：“最基本的心理學(xué)觀察揭示，一一對(duì)應(yīng)是一種最原始的運(yùn)算。[4]”在“沏茶問題”中，“一一對(duì)應(yīng)”的發(fā)生多由學(xué)生思維意識(shí)的高度自動(dòng)化完成，以致于常常被教師忽略。這里的“一一對(duì)應(yīng)”表現(xiàn)在把沏茶的過程“分割”為一道道工序并與簡化命名對(duì)應(yīng)，并把每一道工序與其所用時(shí)間對(duì)應(yīng)。有了一一對(duì)應(yīng)，就構(gòu)成了“數(shù)守恒”的前提，由此就可以做到無論各工序的順序怎樣變，工序的個(gè)數(shù)都不變。而且無論怎樣調(diào)整順序，只要是“一件接著一件的做”，那么所用的總時(shí)間就是相等的?！耙灰粚?duì)應(yīng)”對(duì)于學(xué)生思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成具有重要的、長遠(yuǎn)的作用，在教學(xué)中不能忽視。

3.比較與分類

“比較”是抽象過程中必不可少的一環(huán)，通過比較才能找出異同，才能認(rèn)識(shí)共性，才有抽取共同性質(zhì)后發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)特征，抽象也就因此而有了意義。在比較之后進(jìn)行的區(qū)分其實(shí)就是“分類”。有學(xué)者認(rèn)為“邏輯分組和分類是數(shù)學(xué)的核心組成部分”。分類也是集合思維的基礎(chǔ)，集合又是最基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之一。皮亞杰則認(rèn)為“分類既為邏輯概念也為數(shù)學(xué)概念的發(fā)展提供了基礎(chǔ)”[5]?！捌悴鑶栴}”中的各道工序大致可分為三類：一是關(guān)乎“水”，二是關(guān)乎“茶葉”，三是關(guān)乎“茶具”。對(duì)于學(xué)生來講，看似簡單的分類，其中已經(jīng)包含了抽象與推理。皮亞杰指出：一個(gè)類不能由知覺構(gòu)造而只能由邏輯構(gòu)造，因?yàn)楸仨氁砸幌盗谐橄蠛透爬榍疤?，類的意義才從哲學(xué)抽象和概括中得出[6]。在此內(nèi)容的教學(xué)中，“分類”的意義還在于對(duì)后續(xù)分析的鋪墊，也就是說只有在分類的基礎(chǔ)上才可討論“沏茶問題”中的“同時(shí)做”這一“包含”范疇的思考。“沏茶問題”解決策略的關(guān)鍵就在于不同類的事物具有同時(shí)進(jìn)行的可能，由此才有了做同樣多的工序，總用時(shí)卻減少了，從而實(shí)現(xiàn)了節(jié)省時(shí)間的要求。但與“對(duì)應(yīng)”一樣，教師很容易忽視“比較與分類”的教與學(xué)。事實(shí)上，很多兒童之所以對(duì)數(shù)學(xué)難以“有感覺”，甚至經(jīng)常深陷困境，大部分是緣于他們頭腦中始終無法清晰地進(jìn)行分類，難以發(fā)現(xiàn)事物之間的共性與區(qū)別。因此，作為抽象的重要環(huán)節(jié)，教師還是應(yīng)該適時(shí)提醒學(xué)生有意識(shí)地進(jìn)行“比較與分類”的數(shù)學(xué)化思考，從而強(qiáng)化抽象的意識(shí)與能力，畢竟數(shù)學(xué)思想的培育才是數(shù)學(xué)教育的使命所在。

4.次序化和序列化

次序化和序列化思維，或稱之為“有序思考”，是優(yōu)秀思維品質(zhì)必不可少的要素。抽象思維之所以能充分體現(xiàn)出全面性、嚴(yán)謹(jǐn)性，與序列化的處理信息以及有序思考的思維習(xí)慣密切相關(guān)。皮亞杰認(rèn)為：“在兒童思維中有一種非常原始的關(guān)于次序的結(jié)構(gòu)——序列化結(jié)構(gòu)，它象分類結(jié)構(gòu)一樣原始。[7]”“沏茶問題”中一個(gè)重要的教學(xué)活動(dòng)就是要幫助學(xué)生厘清各種工序的“先后順序”，認(rèn)識(shí)到哪些次序不變，哪些次序可以變換，如“洗水壺——接水——燒水”的先后順序就不能變，而在燒水時(shí)可同時(shí)進(jìn)行的“找茶葉與洗茶具”就可以變換順序。教師切莫因?yàn)檫@里的“次序化與序列化”比較容易理解就一帶而過，恰好相反，這正是強(qiáng)化學(xué)生有序思考的好機(jī)會(huì)。

5.數(shù)量刻畫

人的理性認(rèn)識(shí)的“大廈”是以抽象能力作為基石的，而數(shù)學(xué)抽象的建立又是抽象能力形成的主要標(biāo)志。有數(shù)學(xué)家指出，數(shù)學(xué)說到底就是抽象的學(xué)問。數(shù)學(xué)抽象思想最為鮮明的特征就是對(duì)客觀事物或直觀表象進(jìn)行“數(shù)量刻畫”。將具體的事物用相應(yīng)的“數(shù)據(jù)”或“數(shù)量”進(jìn)行抽象的表達(dá)，繼而進(jìn)行符號(hào)化、形式化的分析，以便更進(jìn)一步地進(jìn)行邏輯推理。在“沏茶問題”中，教師通常都能夠關(guān)注到“有序思考”，并繼而以流程圖（簡單的數(shù)學(xué)問題解決模型）的形式反映問題解決的策略，但是所采用的“刻畫”方式多以“文字結(jié)合箭頭”為主，缺少了最能反映抽象力量的“數(shù)量刻畫”。此時(shí)，教師若采用“數(shù)線”的方式，將沏茶的各項(xiàng)工序及流程刻畫出來，則能盡顯數(shù)學(xué)刻畫的簡潔明了。如，以1個(gè)單位的線段代表1分鐘，八個(gè)單位自然就代表8分鐘，線段的前后順序也就是工序的先后順序，線段上下擺放可表示包含關(guān)系，即代表可以同時(shí)做的兩類事物（見圖1）。

“數(shù)線”這一名稱引自柯普蘭在《兒童怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)——皮亞杰研究的教育意義》一書中的的表述，他指出：“數(shù)線是個(gè)有用的發(fā)明，它能幫助所有兒童把算數(shù)的概念具體化。”“數(shù)線”不僅能夠直接反映出完成各工序的時(shí)間，而且能直接表達(dá)出總用時(shí)，把不同的完成工作的方法以相應(yīng)的“數(shù)線”表示出來，更易于對(duì)比。特別是在解決“不完全包含”的幾類事物時(shí)進(jìn)行“數(shù)線”刻畫，其直觀優(yōu)勢(shì)更為明顯。這種“數(shù)線”刻畫突顯了數(shù)學(xué)問題解決形式的嚴(yán)謹(jǐn)與簡約，充滿抽象的味道，學(xué)生也會(huì)受到較強(qiáng)的思維觸動(dòng)，從而對(duì)抽象過程的認(rèn)識(shí)更深入，抽象素養(yǎng)也會(huì)得到較好的培育。

三、“沏茶問題”教學(xué)目標(biāo)的建議

基于上面的分析，筆者建議教師在教學(xué)“沏茶問題”時(shí)應(yīng)將教學(xué)目標(biāo)定位于“數(shù)學(xué)抽象思想的教與學(xué)”層面，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想為核心任務(wù)開展課堂教學(xué)。在教學(xué)中，通過解決“沏茶問題”這一簡單生活事例，使學(xué)生經(jīng)歷“簡化與命名、一一對(duì)應(yīng)、比較與分類、次序化和序列化、數(shù)量刻畫”等具體的抽象思維活動(dòng)過程，并通過對(duì)比、質(zhì)疑、優(yōu)化等探究活動(dòng)，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)“抽象”的學(xué)科核心素養(yǎng)，感悟“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。

胡塞爾說：“世界本身必須是理性的世界，這種理性是在數(shù)學(xué)的自然中所獲得的新的意義的理性。[8]”胡塞爾所說的“理性”即為科學(xué)理性精神，科學(xué)理性精神在數(shù)學(xué)中的顯著特點(diǎn)就在于以數(shù)學(xué)化的思維認(rèn)識(shí)世界，而數(shù)學(xué)化思維的核心就是“抽象”。數(shù)學(xué)教師無疑要擔(dān)起培養(yǎng)學(xué)生抽象能力與素養(yǎng)的任務(wù)，通過教學(xué)促使學(xué)生內(nèi)化抽象思想，樹立理性精神?？傊?，在數(shù)學(xué)的教與學(xué)的完整歷程中，對(duì)師生都不可或缺的就是——讓“抽象”真實(shí)發(fā)生。

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鄭義富，廣東省中山市西區(qū)中心小學(xué)校長、西區(qū)中心小學(xué)集團(tuán)校長，正高級(jí)教師;廣東省特級(jí)教師，廣東省名校長工作室主持人，兼任中山市人民政府責(zé)任督學(xué)，華南師范大學(xué)碩士研究生導(dǎo)師。主持國家、省、市級(jí)課題并取得科研成果十余項(xiàng)，在國家級(jí)刊物發(fā)表論文30余篇，著有《解放心靈的課堂》《為人格盛開》等著作。

作者簡介：鄭義富，廣東省中山市西區(qū)中心小學(xué)校長、特級(jí)教師，華南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院博士研究生，E-mail：1598138422@qq.com（廣東廣州，510631 ）