中學(xué)數(shù)學(xué)推理思維的逆向性的研討與運(yùn)用

劉紅

推理思維具有逆向性，探討推理思維的逆向性在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率具有很大的幫助。筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

一、推理思維及其過(guò)程的逆向性

推理分為歸納推理和演繹推理。

歸納推理是從特殊事例到一般原理的思維過(guò)程。如，由兩手掌摩擦生熱、兩塊鐵摩擦生熱、兩塊石頭摩擦生熱等事例，可以得出“摩擦生熱”的規(guī)律性的結(jié)論。這就是歸納推理。

演繹推理是歸納推理的逆向思維，即從一般到特殊的思維過(guò)程。如，凡是漢字都能通過(guò)電腦輸入，“鼎”是漢字，所以，“鼎”能通過(guò)電腦輸入。這就是演繹推理。

歸納和演繹是相反相成的思維過(guò)程，是互為逆向的思維過(guò)程。在客觀世界上，特殊性中有普遍性，普遍性中又有特殊性，二者互相結(jié)合，才能使人認(rèn)識(shí)事物間的復(fù)雜關(guān)系，不斷地?cái)U(kuò)大和加深知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的目的。而推理過(guò)程的逐浙壓縮和簡(jiǎn)化，將大大促進(jìn)和提高思維過(guò)程進(jìn)行的速度和效率，并是思維能力發(fā)展的標(biāo)志。

筆者這里所要探討的是推理思維的心理過(guò)程的逆向性，指的是學(xué)生思維方向的改變，即從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維。在本文中，筆者用這個(gè)概念把兩個(gè)不同的但又相互聯(lián)系的過(guò)程結(jié)合了在一起。也就是說(shuō)，把單向思維變?yōu)榱穗p向思維。如果用符號(hào)表示，即：把A→B變?yōu)榱薃←→B。需要注意的是，筆者這里所說(shuō)的心理過(guò)程的逆向性，是指在數(shù)學(xué)推理過(guò)程中由結(jié)果到原始材料的逆向思維，而非其他學(xué)科方面的逆向性，因?yàn)椴煌瑢W(xué)科的逆向性思維都具有不同的特質(zhì)。

為了讓學(xué)生容易理解，這里沒(méi)有把正向思維過(guò)程和反向思維過(guò)程嚴(yán)格地區(qū)別開(kāi)來(lái)。如果要嚴(yán)格地區(qū)分開(kāi)來(lái)，對(duì)于初中學(xué)生尤其是數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，還是有一定難度的。為了讓學(xué)生容易理解，我們可以認(rèn)為從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維是思維靈活性的一種表現(xiàn)。從以上談到的可以清楚地看出，本文中沒(méi)有像皮亞杰那樣賦予逆向性概念那么重要的地位，也沒(méi)有嚴(yán)格地給逆向性下定義。事實(shí)上，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，也沒(méi)有必要這樣去做，學(xué)生只要能夠理解A←→B的基本含義就行了。

二、推理思維的正向和逆向聯(lián)結(jié)

筆者要探討一下關(guān)于正向和逆向聯(lián)結(jié)的問(wèn)題。如果A→B的連續(xù)思維是正向聯(lián)結(jié)，那么B→A就是逆向聯(lián)結(jié)。在我國(guó)和其他國(guó)家的許多心理學(xué)研究中都提出，在建立正向聯(lián)結(jié)的同時(shí)就能形成逆向聯(lián)結(jié)。

我們提示推理思維的逆向性和聯(lián)結(jié)，目的是揭示在數(shù)學(xué)上能力強(qiáng)的、平常的和能力差的學(xué)生中，在其突然地改變心理過(guò)程的方向，從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維以及形成逆向（雙向）的聯(lián)結(jié)和聯(lián)結(jié)系統(tǒng)方面能力水平上的差異。

數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生去解所提出的逆向問(wèn)題，沒(méi)有特別的困難，也不需要特別的指導(dǎo)和訓(xùn)練，他們能迅速地辨認(rèn)出逆向問(wèn)題。如果先給他們一道正向就能解答的題目，等他們解答完后，再給他們一道同剛才那道題完全相反即需要逆向解答的題目，他們能夠迅速地看出來(lái)，然后用逆向思維把它解答出來(lái)。通過(guò)他們的解答過(guò)程，看不出第一道題對(duì)他們解答第二道題的技能產(chǎn)生干擾，也看不出第一道題對(duì)第二道題的解答有什么抑制作用。在將近一半的例子是在正向問(wèn)題之后緊接著給出一個(gè)逆向問(wèn)題，比單獨(dú)給出一個(gè)與原來(lái)正向問(wèn)題無(wú)關(guān)的逆向問(wèn)題更容易解答。也就是說(shuō)，學(xué)生能夠沿著第一道題的相反方向去解答第二道題，比單獨(dú)解答第二道還要快，還要順利。對(duì)于這些學(xué)生來(lái)說(shuō)，推理思維的雙向聯(lián)結(jié)給學(xué)生解答數(shù)學(xué)題目提供了積極的輔助作用。

絕大多數(shù)平常的學(xué)生不用進(jìn)行特別的指導(dǎo)和訓(xùn)練就能夠解答逆向的問(wèn)題。他們中的多數(shù)（大約60%）確實(shí)能辨認(rèn)出對(duì)他們提出的逆向問(wèn)題，但是他們?cè)谶@樣做的時(shí)候表現(xiàn)出信心不足。他們?cè)诮獯鸬诙李}目時(shí)，第一道題會(huì)給他們帶來(lái)干擾和抑制作用。另一方面，對(duì)一個(gè)不與正向問(wèn)題相繼出現(xiàn)的逆向問(wèn)題解答起來(lái)則更有信心。由此可以看出，他們還不能充分地利用推理思維的逆向性給他們解答數(shù)學(xué)題所帶來(lái)的便利。但這些數(shù)學(xué)能力平常的學(xué)生，經(jīng)過(guò)教師指導(dǎo)和自己訓(xùn)練后，也能較快地掌握解答這種逆向題的本質(zhì)。

對(duì)于數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，情況就完全不同了。他們解答第一道題還比較順利，但解答第二道題就明顯感覺(jué)吃力了。也就是說(shuō)，第一道題的解答思路對(duì)解答第二道題產(chǎn)生了干擾和抑制作用。如果只讓他們解答第二道題，同他們解答第一道題一樣，思路還比較清晰，速度也比較快。由此可見(jiàn)，他們完全不能利用第一道題的逆向條件來(lái)解答第二道題，也就是說(shuō)，逆向聯(lián)結(jié)對(duì)他們不僅沒(méi)有起到正作用，相反起了負(fù)作用。在正定理和逆定理的證明中，就能夠非常清楚地看出這一點(diǎn)?？偟膩?lái)說(shuō)，讓數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生建立正向聯(lián)結(jié)的逆向聯(lián)結(jié)比較困難。比如，把前提和結(jié)論簡(jiǎn)單地交換一下位置（如“所有的直角都是相等的”——“所有相等的角都是直角”），對(duì)于數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，甚至不懷疑也不去考慮在有些情況下逆定理和逆向推理過(guò)程是否正確的問(wèn)題。

一個(gè)能力強(qiáng)的學(xué)生按照公式立刻就掌握了一類(lèi)問(wèn)題的解法：“兩個(gè)數(shù)之和乘以兩個(gè)數(shù)之差就等于這兩個(gè)數(shù)的平方差?！?/p>

教師：對(duì)代數(shù)式（x-y）2-25y8作因式分解。

學(xué)生：這個(gè)問(wèn)題是反方向的;這是兩個(gè)平方數(shù)之差。這已經(jīng)解了。

教師：這個(gè)代數(shù)式等于什么？

學(xué)生：（x-y+5y4）（x-y-5y4）。我們必須考慮這兩個(gè)平方是怎樣來(lái)的。只要取這兩個(gè)數(shù)的和，再乘以這兩個(gè)數(shù)的差就行了，這是很清楚的。

有的數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生，雖然經(jīng)過(guò)教師大量的輔導(dǎo)，自己也做了大量的題目，但是還是不能熟練地運(yùn)用思維的逆向性，有的學(xué)生甚至不想運(yùn)用這種方法解答題目。

教師：解題：5×5=？（學(xué)生得出一個(gè)正確的答案）。現(xiàn)在解這個(gè)題：我們必須用什么數(shù)相乘才能得到25？（學(xué)生得出一個(gè)正確的回答）。現(xiàn)在注意：5×5=25，并且25=5×5。第二個(gè)問(wèn)題是第一個(gè)問(wèn)題的逆命題。解題：（2x+y）（2x-y）=？（學(xué)生得出一個(gè)正確的回答）。對(duì)，但是如果（2x+y）（2x-y）=4x2-y2，那么我們能說(shuō)4x2-y2=（2x+y）（2x-y）嗎？（學(xué)生給了一個(gè)肯定的回答）。好，（9x）2-（4y）2等于什么？

學(xué)生：我不知道，這個(gè)問(wèn)題很奇怪，我們沒(méi)有做過(guò)這種問(wèn)題。

教師：對(duì)，你沒(méi)有做過(guò)這種問(wèn)題，但我們來(lái)學(xué)習(xí)做這種問(wèn)題：兩數(shù)之和乘兩數(shù)之差等于什么？

學(xué)生：等于第一個(gè)數(shù)的平方減去第二個(gè)數(shù)的平方。

教師：對(duì)。你能說(shuō)出這個(gè)問(wèn)題的逆命題嗎？平方差等于什么？a2-b2等于什么？

學(xué)生：a2-b2=（a+b）（a-b）。

教師：（9x）2-（4y）2=？

學(xué)生：（9x+4y）（9x-4y）……

上面省略了一些環(huán)節(jié)，尤其是同數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生討論的環(huán)節(jié)。用這個(gè)例子只是為了說(shuō)明，為了讓數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生正確掌握思維的正向聯(lián)結(jié)和逆向聯(lián)結(jié)，需要經(jīng)過(guò)教師的細(xì)心指導(dǎo)和學(xué)生自己一定的訓(xùn)練，否則，他們很難掌握逆向聯(lián)結(jié)，哪怕只是一些最簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

三、推理思維及其過(guò)程的逆向性在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

我們探討推理思維及其過(guò)程的逆向性，目的是在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用。如果只是為了研究而研究，那就失去了它的實(shí)際意義。筆者從前人研究中引用幾個(gè)典型例子來(lái)探討推理思維及其過(guò)程的逆向性在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用。這項(xiàng)研究是在我們教研組教師共同參與下進(jìn)行的。

七年級(jí)學(xué)生剛從小學(xué)升入中學(xué)，心智尚未成熟，不太適宜在七年級(jí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。但在八、九年級(jí)都可以進(jìn)行相關(guān)的推理思維的逆向性實(shí)驗(yàn)。

八年級(jí)的學(xué)生按著正向順序（從左到右）學(xué)習(xí)了這個(gè)公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。教師讓他們計(jì)算cos30°·sin15°+cosl5°·sin30°=？他們中還沒(méi)有一個(gè)人做過(guò)這種題目。為解答這個(gè)問(wèn)題，關(guān)鍵在于“由右向左”運(yùn)用這個(gè)熟悉的公式。對(duì)此，學(xué)生中表現(xiàn)出了明顯的差異。所有能力強(qiáng)的學(xué)生在幾秒鐘內(nèi)就用公式解答了題目（sin45°=/2）;一半以上平常的學(xué)生不能解答這個(gè)題目，他們徒勞無(wú)功地企圖用煩瑣的變換找出150角的正弦值和余弦值（他們知道300的三角函數(shù)值），大約只有3個(gè)平常的學(xué)生找到了正確的解法，他們使用了顯然不實(shí)用的方法經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的反復(fù)嘗試才得到這一個(gè)解答。所以，對(duì)于數(shù)學(xué)能力普通的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們運(yùn)用思維的逆向性來(lái)解答數(shù)學(xué)題目，還是有一定難度的。但經(jīng)過(guò)教師指導(dǎo)和自己訓(xùn)練，他們也能夠運(yùn)用推理思維的逆向性來(lái)解答數(shù)學(xué)題目。

當(dāng)在九年級(jí)引進(jìn)一個(gè)復(fù)數(shù)概念的時(shí)候，要求學(xué)生把（a+b2）和（a-b2）相乘。能力強(qiáng)的學(xué)生得出了a2+b2這個(gè)答案后，馬上就注意到了（一個(gè)逆向聯(lián)想“開(kāi)始活動(dòng)”），現(xiàn)在，變成了要分解兩個(gè)數(shù)的平方和，以前是不可能的，而現(xiàn)在是可能的了，因?yàn)槲覀円呀?jīng)學(xué)過(guò)了虛數(shù)。當(dāng)時(shí)學(xué)生就提出來(lái)任何偶次冪之和的因式分解問(wèn)題，如：a4+b4=（a2+b2）（a2-b2）。一個(gè)數(shù)學(xué)能力普通的學(xué)生正確地做了乘法運(yùn)算，但是除此而外沒(méi)有看出什么問(wèn)題。9分鐘之后，要求他作a2+b2的因式分解，他表示非常驚奇，并且回答說(shuō)：這個(gè)題無(wú)解。

對(duì)于數(shù)學(xué)能力普通的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們運(yùn)用思維的逆向性來(lái)解答題目就有一定的困難了;那么，對(duì)于數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們運(yùn)用推理思維的逆向性來(lái)解答題目就更困難了。但只要我們教師多加強(qiáng)指導(dǎo)和自己多加強(qiáng)訓(xùn)練，也是能夠運(yùn)用推理思維的逆向性來(lái)解答數(shù)學(xué)題目的。

四、推理思維及其過(guò)程的逆向性應(yīng)該注意的問(wèn)題

在運(yùn)用推理思維及其過(guò)程的逆向性時(shí)，如果得出了不同的結(jié)果，這種遷移運(yùn)用的效果就是負(fù)向的，即產(chǎn)生了負(fù)遷移，例如漢語(yǔ)拼音字母與英語(yǔ)字母在書(shū)寫(xiě)方面相同或相似，但讀音不同，遷移就起了作用。

在運(yùn)用推理思維及其過(guò)程的逆向性時(shí)，定勢(shì)思維影響最大。如學(xué)習(xí)時(shí)慣用某一種方式，久而久之，形成一種習(xí)慣，即通常說(shuō)的“思路”。這種定勢(shì)，對(duì)學(xué)習(xí)新知識(shí)、解決新問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生直接影響。一般而言，這種思維定勢(shì)在相同或相似的情境中，能迅速找到解決問(wèn)題的途徑和方法，容易產(chǎn)生正遷移，有利于問(wèn)題的解決;相反，就會(huì)影響問(wèn)題的迅速解決，產(chǎn)生負(fù)遷移。

此外，對(duì)所學(xué)知識(shí)技能的理解與熟練程度，學(xué)生的心理狀態(tài)，如有無(wú)自信心、是否緊張、注意力是否集中、教材結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)以及對(duì)學(xué)習(xí)情境的熟悉性等，都是影響推理思維的逆向性遷移的因素。就知識(shí)和技能的理解與熟練程度來(lái)說(shuō)，知識(shí)與技能的遷移，必須以理解與熟練為中介，學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)理解不深，技能掌握不熟練、不牢固，運(yùn)用知識(shí)技能解決問(wèn)題就困難。再如，學(xué)生對(duì)運(yùn)用知識(shí)技能解決問(wèn)題缺乏信心，對(duì)新情境不熟悉或由于過(guò)度緊張引起注意力渙散，運(yùn)用推理思維的逆向性遷移也會(huì)發(fā)生困難。

這里需要強(qiáng)調(diào)的是，推理思維撇開(kāi)事物的運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展，是在相對(duì)靜止的條件下來(lái)考察對(duì)象的。因而它沒(méi)有能力掌握事物的運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展，沒(méi)有能力通觀全局。要全面認(rèn)識(shí)對(duì)象，特別是人從事物內(nèi)部的矛盾運(yùn)動(dòng)去認(rèn)識(shí)對(duì)象，就必須運(yùn)用辯證法。應(yīng)該說(shuō)，在事物內(nèi)部的矛盾性上，推理思維是不起作用的。因此，如果把推理思維的作用絕對(duì)化，企圖以它來(lái)認(rèn)識(shí)事物的矛盾運(yùn)動(dòng)，那么，不僅無(wú)法認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)，而且會(huì)導(dǎo)致否認(rèn)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在矛盾運(yùn)動(dòng)，否認(rèn)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)性，會(huì)跌入唯心主義的泥坑。

綜上所述，我們可以得出這樣的結(jié)論：數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生能夠較快地從正向推理思維轉(zhuǎn)向逆向推理思維，他們所形成的聯(lián)結(jié)可以立即變成逆向的。但是，對(duì)于數(shù)學(xué)能力普通的學(xué)生來(lái)說(shuō)，就有了一定的難度，但還是能夠解答的;但對(duì)于數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生，難度就大了，需要經(jīng)過(guò)教師耐心地指導(dǎo)和學(xué)生自己反復(fù)地訓(xùn)練，才能夠正確地掌握和運(yùn)用。