基于高中生對三角函數(shù)概念的理解

孫美玲

三角函數(shù)相關知識是高中數(shù)學中非常重要的概念，是數(shù)學知識體系當中非常重要的基礎。高中生對于函數(shù)這類抽象知識的學習總會有各種各樣的困難，為了可以更好地理解三角函數(shù)相關知識，需要從基礎概念上著手，提高自身對三角函數(shù)各個基礎特性的理解。本文主要分析從高中生角度怎樣去理解三角函數(shù)的概念。

三角函數(shù)是高中數(shù)學知識體系中最重要的基礎知識之一。通過學習三角函數(shù)相關知識，我們可以更好地理解三角函數(shù)的本質和解題思路，有效地聯(lián)系其他知識點，在高中數(shù)學學習中發(fā)揮著非常重要的作用，需要對平面直角坐標系進行大量應用，以解決函數(shù)圖像和相關知識點的理解問題，這是數(shù)形結合思想的有效體現(xiàn)。通過運用坐標系和數(shù)形結合的思想，可以有效地解決問題的思維，使相關知識更靈活地用于有效的數(shù)學學習，為其他數(shù)學知識點的研究打下良好的基礎。

一、目前我國高中數(shù)學教學工作的現(xiàn)狀

根據(jù)對我國高中數(shù)學教學現(xiàn)狀的分析，雖然隨著新課程標準的提出和實施，總體上取得了非常顯著的成績，但從細節(jié)上可以看出，仍然存在許多問題和不足，這嚴重阻礙了我國數(shù)學教育的發(fā)展。首先，許多高中教師仍然深受傳統(tǒng)教學理念和模式的影響，教學方法和內容仍然相對落后和僵化，導致課堂教學的效率和質量普遍低下。具體表現(xiàn)為：部分高中數(shù)學教師在開展日常的教學工作時，往往以考試大綱和課本教材為主，重點講解考試需求的相關知識內容。且在開展教學工作的過程中，忽視或輕視培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力，嚴重地影響著學生學習數(shù)學的熱情與興趣，學生的綜合應用能力也得不到鍛煉與提升。其次，許多教師的教學手段依舊比較落后。從諸多高中數(shù)學教師的教學現(xiàn)狀中可以看出，部分教師依舊采用課上單一講解、課后反復練習的教學方式。實踐證明，這樣傳統(tǒng)且死板的教學手段所取得的教學效果并不理想。最后，評價的方式具有較強的片面性。對于大多數(shù)的高中數(shù)學教師來說，尤其是一些教齡較長的教師，其在評價學生時仍舊堅持傳統(tǒng)的教學方式，以考試成績的高低作為評價學生的主要方式。顯而易見的是，這樣的評價方式難以滿足新時期教育事業(yè)以及學生發(fā)展的實際需求，更會影響到高中數(shù)學課堂教學工作的效率與質量。

二、高中三角函數(shù)教學的常見問題

1. 學生對教材概念不甚了解

在高中學習三角函數(shù)的過程中，學生需要有較強的推理能力。然而，相當一部分學生仍然缺乏基本概念，這使得他們的推理能力相對較差。另外，由于對三角函數(shù)的幾何意義和方程缺乏透徹的理解，對正弦和遞推曲線的繪制方法缺乏掌握，部分學生觀察能力較弱，對代數(shù)和數(shù)學之間的關系缺乏理解和掌握導致了對三角函數(shù)的膚淺研究。

2. 學生對三角函數(shù)變形公式欠缺理解

在高中數(shù)學三角函數(shù)學習中，公式間聯(lián)系較為密切，變形較為復雜。故學生須將三角函數(shù)基本公式、一般性規(guī)律及變性技巧予以掌握，并不斷加強記憶與掌握力度方可更好地學習三角函數(shù)。然而，很多學生對這方面掌握力度較為欠缺，數(shù)形結合尚不能合理運用，這也是當前學生學習三角函數(shù)、老師教授三角函數(shù)的一大重難點。

三、函數(shù)思想

三角函數(shù)的定位已經(jīng)產(chǎn)生較大的變化，三角函數(shù)作為能反映邊角關系的固定比值，一直以來都是用來研究邊角關系的重要工具。以前，我們對三角函數(shù)的認知偏于靜態(tài)，但是隨著課程的改革與發(fā)展，產(chǎn)生了較大的變化，三角函數(shù)的內容在函數(shù)中已經(jīng)成為研究的主線，并將“三角函數(shù)”看成是重要的初等函數(shù)，作為周期現(xiàn)象模型研究的重點，也成為高中數(shù)學課程研究的主要內容。

四、抓住三角函數(shù)線本質屬性，有技巧地層層引導

1. 引入單位圓，構建三角函數(shù)線的舞臺

對教師而言，由比值yr到y(tǒng)，xr到x，再到正弦線、余弦線的兩步跨越，看似簡單，學生卻比較難以理解，在此處盡可能清晰地再現(xiàn)知識的建構過程，使學生明確原則，把握概念的形成。從數(shù)學思想層面上可以突出三角函數(shù)“簡約”為“一個變量”的思想方法，進而順利實現(xiàn)用“三角函數(shù)線”這一直觀的圖形工具來“統(tǒng)一”表達三角函數(shù)這一主線。在教學過程中反復強調“最簡化”“統(tǒng)一”的要求，而這樣的理念或思想，不僅能體現(xiàn)本節(jié)數(shù)學方法的特點，同時也在數(shù)學教學的過程中占據(jù)重要的地位，具有普適性。

2. 由正弦線與余弦線引導向正切線

學生容易理解和掌握正弦線與余弦線，因為他們有直觀的感覺，但很難理解和掌握切線。突破這一難點的關鍵是幫助學生充分理解“有向線段的數(shù)量”及相關概念。那么在講一些諸如“有向線段”“有向線段的數(shù)量”等等比較數(shù)學化、很難表述的概念時，可以將學生的注意力主要集中到關注“圖形”，自然而然地突出了探究與確定“正、余弦函數(shù)線”的形成過程與基本方法，弗賴登塔爾指出，學生不是被動地接受知識，而是再創(chuàng)造，在這個階段，如果可以給學生提供更為開闊的空間，那么到研究“正切函數(shù)線”時，學生就可以自覺或不自覺地用探究“正、余弦函數(shù)線”的方法解決新的問題。

五、對三角函數(shù)概念的理解

1. 由動到靜

三角函數(shù)的概念教學中，通常使用“由動到靜”的教學過程。首先，在現(xiàn)有的坐標系中，以單位圓為依托，描述在角變化的過程中，如何利用坐標的思想，給定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義，突出“動”，突出函數(shù)的內容，并在此基礎上使用比值的方式對三角函數(shù)的定義進行簡要了解。

2. 利用畫圖實現(xiàn)理解記憶

三角函數(shù)相關知識點當中所包含的公式非常多，概念也相對來說非常的抽象，在學習過程中需要對公式進行總結，提高簡化公式的能力，可以更加簡單地記憶，并做到靈活運用。利用平面直角坐標系，找出各個函數(shù)變量之間的關系，對各個象限的數(shù)值關系進行更好地理解。

直角坐標系的函數(shù)規(guī)律進行展示的第一載體，是三角函數(shù)與函數(shù)圖像相互聯(lián)系的有效載體。一方面，在坐標系當中，利用單位圓，一個角x的終邊與單位圓相交，其交點的橫坐標為cosx，縱坐標為sinx，橫坐標與縱坐標之間的比值為正切函數(shù)。這些量隨著角度的變化而不斷變化。這樣，我們可以對三角函數(shù)有更深入的理解，了解函數(shù)關系在動態(tài)量變中的變化規(guī)律。在坐標系中應用單位圓可以有效地表示三角函數(shù)的性質。例如，三角函數(shù)的定義范圍、周期性等。另一方面，借助坐標思想，我們可以通過函數(shù)圖像的相關知識點更好地研究函數(shù)圖像，更好地理解三角函數(shù)的相關性質。因此，運用坐標思想解決問題是數(shù)形結合的直接體現(xiàn)。

3. 內容復雜掌握公式

三角函數(shù)的內容非常復雜，學生在學習的初期會感到很難。雖然教師在教學過程中可以反復分析三角函數(shù)的內涵，解釋常用的公式，并在指導書中總結相關公式的使用，但學生在學習時仍然感到茫然。

為了可以更加清晰地認知三角函數(shù)，先要對其概念有理解，最好回歸到象限中去理解。其實四個小的象限，充斥著無限的奧妙。兩角終邊相同的情況主要是指兩個角存在一定的關系，在整數(shù)值取值的過程中，兩個角有相同性，所以可以使用一個角代表，取值也是相同的。四個象限的變化情況，可以用口訣的方式進行記憶，即“奇變偶不變，符號看象限”。由此可見，三角函數(shù)的象限十分重要，在學習的時候需要重點關注，在理解概念的過程中能結合象限進行觀察。

三角函數(shù)十分復雜和抽象，也是高中數(shù)學的重要內容，為能取得較好的數(shù)學成績，可以在學習初期讓學生掌握三角函數(shù)。

六、加強學生對三角函數(shù)的實際應用

三角函數(shù)教學在高中數(shù)學學習中起著非常重要的作用，通過課堂提問，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力，使學生將三角函數(shù)相關知識應用到實際生活中，使學生在解決三角函數(shù)問題時聯(lián)系理論知識，注意知識之間的關系。三角函數(shù)的學習強調提高學生的實用性，要求學生靈活運用函數(shù)公式解決生活中遇到的問題，使學生從已建立的問題情境出發(fā)，通過運用數(shù)學思想和知識探索，使高中生的理論知識和知識體系更加完善。例如：在學習正弦與余弦定理的時候，教師要引導學生了解三角函數(shù)的定義，讓學生正確區(qū)分三角函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)之間的區(qū)別，在課堂講解的時候，教師可以借用多媒體技術演示三角函數(shù)的構成以及規(guī)律變化和運動的軌跡。在課堂上提出問題，讓學生探究點在圓周上運動的軌跡進行探究三角函數(shù)的運動變化，讓學生正確認識到三角函數(shù)與圓周運動之間的關系，讓學生在圓周運動的問題情境下加深對三角函數(shù)知識的印象。

七、鼓勵學生參加競賽，提高數(shù)學應用能力

近年來，高中數(shù)學競賽日益增多。越來越多的學生愿意鞏固他們的數(shù)學基礎，提高他們的實際應用能力，激活他們的數(shù)學思維。高中數(shù)學競賽不同于平時的考試。它不僅是學生能力的提高，也是對學生學習的肯定。由于數(shù)學競賽的主要參與者是學生，特別是高中生，其目的是挖掘和培養(yǎng)更多的綜合性數(shù)學人才;促進課外活動;提高學生對數(shù)學的興趣;推進中學數(shù)學教學改革;為國際數(shù)學奧林匹克做準備。因此，競賽命題往往突破教材的局限性，教師應在實踐教學中盡量開闊視野，最大限度地利用新穎的問題類型，幫助學生提高抽象思維、想象思維和分析邏輯思維。鼓勵學生以積極的精神、樂觀的態(tài)度、大膽的態(tài)度積極參加數(shù)學競賽，提高數(shù)學綜合應用能力。

總之，在高中數(shù)學中，三角函數(shù)不僅是教師教學的重點，也是學生學習的難點。由于三角函數(shù)在實際教學中存在一些問題，直接影響到高中數(shù)學的教學質量和教學水平。因此，高中數(shù)學教師必須充分重視三角函數(shù)的教學，積極培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和解決問題的能力，增強學生的抽象思維能力，從而不斷加強學生對三角函數(shù)知識的理解和掌握，有效提高學生三角函數(shù)知識的應用水平，進一步提高高中數(shù)學教學質量，推動新課程標準的改革進程。