基于目標(biāo)規(guī)劃的企業(yè)產(chǎn)銷算法模型研究及其應(yīng)用

黃如兵，田 凱

(1.安徽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230011；2. 長鑫存儲技術(shù)有限公司，安徽 合肥 230009 )

0 引言

在市場競爭激烈，市場需求關(guān)系變化急劇的情況下[1]，掌握科學(xué)的經(jīng)營決策方法，將有效規(guī)避經(jīng)營風(fēng)險，為企業(yè)帶來最大的經(jīng)濟利益，對企業(yè)的生存和發(fā)展具有十分重要的意義[2].制造型企業(yè)的業(yè)務(wù)主要有：研發(fā)設(shè)計、采購原材料、生產(chǎn)加工、倉儲物流及產(chǎn)品銷售[3].基于目標(biāo)規(guī)劃的模型已廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域，常采用網(wǎng)絡(luò)流算法、列生成算法、遺傳算法及鄰域搜索等算法求解規(guī)劃模型[4]，這些算法都是指數(shù)級的，且主要通過建立單目標(biāo)規(guī)劃模型求解[5-6]，在多目標(biāo)場景中使用效果不好.本文結(jié)合生產(chǎn)實際中的約束條件，采用了非線性單一目標(biāo)規(guī)劃，建立了公司利潤最大算法模型，通過引入公司利潤和營銷部利潤權(quán)重系數(shù)，運用非線性多目標(biāo)規(guī)劃的方法，建立了公司與營銷部利益均衡化算法模型，綜合考慮公司利潤與營銷部利潤均衡化關(guān)系，構(gòu)建應(yīng)用模型，便于企業(yè)做出最有益于企業(yè)生產(chǎn)與銷售決策.

某企業(yè)下設(shè)營銷部，企業(yè)產(chǎn)品通過公司的營銷部對外銷售.在企業(yè)生產(chǎn)能力的限制和制約下，企業(yè)需要綜合考慮公司利潤與生產(chǎn)能力，制定生產(chǎn)與銷售決策，公司生產(chǎn)首先要對已簽定合同的訂單安排生產(chǎn)，同時要兼顧意向簽約訂單進行有計劃的安排生產(chǎn).一方面，企業(yè)生產(chǎn)要供應(yīng)已簽約的銷售訂單合同；另一方面，企業(yè)要激勵營銷部門與意向簽約客戶達成合作，簽訂正式訂單合同.對于已簽約銷售合同和意向簽約量，企業(yè)根據(jù)銷售量向營銷部發(fā)放經(jīng)費(包括工資以及宣傳費用等).此外，企業(yè)還希望銷售部門努力再多銷售一些計劃外產(chǎn)品.對于計劃外銷售的產(chǎn)品，實行承包制，營銷部向企業(yè)繳納利潤.產(chǎn)品的生產(chǎn)費用由企業(yè)承擔(dān)，與銷售有關(guān)的費用(如產(chǎn)品的宣傳費用等)由營銷部承擔(dān).本文研究在該模式下企業(yè)的產(chǎn)品生產(chǎn)、銷售模型.

1 公司利潤最大化模型

分析公司利潤組成可知，其分為兩部分[7]：計劃內(nèi)產(chǎn)品所獲得利潤和營銷部向公司上交的計劃外產(chǎn)品利潤.其中，計劃內(nèi)的已簽約產(chǎn)品是公司必須安排生產(chǎn)的部分，意向簽約產(chǎn)品和計劃外簽約產(chǎn)品是公司根據(jù)需要選擇生產(chǎn)的部分.公司的利潤可以表述為

公司利潤=銷售額-成本-銷售產(chǎn)品的經(jīng)費+營銷部上繳的利潤.

1.1 模型假設(shè)

(1)銷售部作為公司一個下屬機構(gòu)的同時，又是一個獨立的利益團體；

(2)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本中，包括原材料、輔助材料、制造費用和公司人員工資等費用；

(3)各意向客戶簽訂合同是獨立事件；

(4)已簽約合同必須履行；

(5)產(chǎn)銷平衡，無庫存.

1.2 符號說明

Mj：第j類產(chǎn)品的年實際生產(chǎn)量，單位：萬個；

Hi：第i種產(chǎn)品的年實際生產(chǎn)量，單位：萬個；

Qa(i)：第i種產(chǎn)品的已簽約量，單位：萬個；

qa(i,l)：第l個已簽約客戶，對第i種產(chǎn)品的簽約量，單位：萬個；

Qb(i)：第i種產(chǎn)品的意向簽約量，單位：萬個；

qb(i,m)：第m個意向簽約客戶，對第i種產(chǎn)品的簽約量，單位：萬個；

Qc(i)：第i種產(chǎn)品的計劃外簽約量，單位：萬個；

xi：第i種產(chǎn)品，計劃內(nèi)的產(chǎn)量，單位：萬個；

yi：第i種產(chǎn)品，計劃外的產(chǎn)量，單位：萬個；

α(Hi)：第i種產(chǎn)品，生產(chǎn)量為Hi時的成本，單位：萬元；

β(xi)：第i種產(chǎn)品，計劃內(nèi)銷售量為xi時的銷售經(jīng)費，單位：萬元；

γ(qa(i,l))：第i種產(chǎn)品，銷售量為qa(i,l)時的銷售額，單位：萬元；

g(yi)：第i種產(chǎn)品，計劃外銷售量為yi時營銷部向公司繳納的利潤，單位：萬元；

E(Qa(i),Qb(i))：第i種產(chǎn)品，已簽約量為Qa(i)、意向簽約量為Qb(i)時的銷售額，單位：萬元；

D(xi,yi)：第i種產(chǎn)品，計劃內(nèi)生產(chǎn)量xi、計劃外生產(chǎn)量為yi時的成本，單位：萬元.

1.3 公司利潤最大化模型構(gòu)建

計劃內(nèi)產(chǎn)品銷售額由已簽約產(chǎn)品和意向簽約產(chǎn)品兩部分銷售額組成，其數(shù)學(xué)表達式如下：

(1)

產(chǎn)品的總生產(chǎn)成本由計劃內(nèi)和計劃外兩部分產(chǎn)品的成本組成，其數(shù)學(xué)表達式如下：

D(xi,yi)=α(xi+yi).

(2)

公司的利潤表達式為

(3)

將(1)、(2)代入(3)得公司利潤最大化模型：

(4)

公式(4)中各函數(shù)的表達式如下：

α(xi+yi)=
Aα(i)(xi+yi)3+Bα(i)(xi+yi)2+
Cα(i)(xi+yi)+Dα(i)，

(5)

(6)

γ(qa(i,l))=
Aγ(i)qa(i,l)3+Bγ(i)qa(i,l)2+
Cγ(i)qa(i,l)+Dγ(i)，

(7)

(8)

公式(5)(6)(7)和(8)中，變量Aα(i)、Aβ(i)、Aγ(i)、Ag(i)分別表示成本函數(shù)、銷售產(chǎn)品經(jīng)費函數(shù)、銷售額函數(shù)和上繳給公司利潤函數(shù)的各項系數(shù).

模型中各函數(shù)變量關(guān)系約束如下：

(9)

2 公司與營銷部利潤均衡化模型

產(chǎn)品銷售所獲得的總利潤等于公司利潤與銷售部利潤之和.公司利潤最大化與營銷部利潤最大化是彼此對立的.對于兩者利益的兼顧問題，可以通過設(shè)定其獲得利潤占總利潤的比例來解決.根據(jù)公司利潤的關(guān)系式，營銷部的利潤可由營銷部的收入減去其支出得到.營銷部利潤可以表述為

營銷部利潤=營銷部收入-計劃內(nèi)銷售費用-計劃外上繳利潤-計劃外宣傳費用.

2.1 模型假設(shè)

(1)計劃外銷售的產(chǎn)品也需要宣傳費用，且由宣傳部承擔(dān)；

(2)銷售部利潤不超過總利潤40%.

2.2 符號說明

η(xi)：第i種產(chǎn)品，銷售量xi為時的宣傳費用，單位：萬元；

Rg：公司利潤；

Ry：營銷部利潤；

σg：公司利潤占產(chǎn)品銷售總利潤的比例；

σg：營銷部利潤占產(chǎn)品銷售總利潤的比例.

2.3 公司與營銷部利潤均衡化模型建立

由公司利潤最大化模型可知，公司利潤表達式為

(10)

結(jié)合問題2，得到營銷部利潤表達式：

(11)

建立公司、營銷部利益均衡化模型：

(12)

(13)

模型參數(shù)約束如下：

(14)

3 算例分析

某電器公司2021年計劃生產(chǎn)3類10種產(chǎn)品，其中包括：熱水壺(1.5升，1.8升，2升)、豆?jié){機(0.9升，1.1升，1.3升)、電飯煲(2升，2.5升，3升，3.5升).

3類產(chǎn)品的年最大生產(chǎn)能力分別為：

熱水壺：5萬個；豆?jié){機：6.5萬個；電飯煲6.2萬個.

請分別按照以使公司的利潤達到最大和兼顧公司和營銷部二者的利益分別為該電器公司制定相應(yīng)的生產(chǎn)、銷售計劃.

3.1 公司利潤最大化產(chǎn)銷方案

已簽約產(chǎn)品的簽約量約束

(15)

意向簽約產(chǎn)品的簽約量約束

(16)

計劃外簽約產(chǎn)品的簽約量約束

(17)

3類產(chǎn)品年生產(chǎn)能力約束

(18)

使用Matlab軟件對生產(chǎn)成本與生產(chǎn)量關(guān)系數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合，其各項系數(shù)計算結(jié)果見表1所列.

表1 成本函數(shù)系數(shù)表

對銷售額與銷售量關(guān)系數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合，所得各項系數(shù)計算結(jié)果見表2所列.

表2 銷售額函數(shù)系數(shù)表

對銷售經(jīng)費與銷售量數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合，β(xi)各項系數(shù)計算結(jié)果見表3所列.

表3 銷售產(chǎn)品的經(jīng)費函數(shù)系數(shù)表

對營銷部繳納的利潤與銷售量數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合，g(yi)各項系數(shù)計算結(jié)果見表4所列.

根據(jù)已經(jīng)建立的公司利潤最大化模型，及有關(guān)擬合函數(shù)，運用Lingo軟件對模型進行求解[8]，得到公司利潤最大時的產(chǎn)銷方案，詳見表5.

方案結(jié)果分析：

(1)公司利潤最大時，計劃外的簽約量為零，這說明計劃外銷售的產(chǎn)品并不能增加公司的利潤(但并不是說銷售的產(chǎn)品不能產(chǎn)生利潤)，其銷售所得的利潤流向了營銷部；進一步分析可以看出，隨著生產(chǎn)、銷售規(guī)模的擴大，公司會逐漸從計劃外銷售的產(chǎn)品中獲得利潤.這些規(guī)律在題目的表2、表4和表5中，也可得具體的體現(xiàn).

表4 營銷部繳納的利潤與銷售量函數(shù)系數(shù)表

表5 公司利潤最大時的產(chǎn)銷方案 單位：萬件

(2)計劃內(nèi)部分，公司并不是對所有種類產(chǎn)品都按最大生產(chǎn)能力進行生產(chǎn)，這說明部分產(chǎn)品在一定的生產(chǎn)規(guī)模內(nèi)，公司存在“虧本”的可能.

3.2 公司與營銷部利益均衡化產(chǎn)銷方案

使用Matlab軟件對宣傳費用與銷售量關(guān)系數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合，各項系數(shù)計算結(jié)果見表6所列.

表6 宣傳費用函數(shù)系數(shù)表

運用Lingo軟件對模型進行求解，得到營銷部利潤占產(chǎn)品利潤15%的產(chǎn)銷方案，詳見表7所列.

表7 銷售部利潤占產(chǎn)品總利潤15%時的產(chǎn)銷方案 單位：萬件

運用Lingo軟件對模型進行求解，得到營銷部利潤占產(chǎn)品利潤25%的產(chǎn)銷方案，詳見表8所列.

表8 銷售部利潤占產(chǎn)品總利潤25%時的產(chǎn)銷方案 單位：萬件

方案結(jié)果分析：

(1)隨著模型中設(shè)置的營銷部利潤比例從10%上升到25%，產(chǎn)品的總利潤在不斷增加.

(2)在不設(shè)置營銷部利潤占產(chǎn)品總利潤，且只追求產(chǎn)品銷售利潤最大時，可以得到總利潤約為1790.18萬元，此時營銷部和公司的利潤比例大約在3:7.

4 總結(jié)與改進

本文通過研究HY電器公司2021年相關(guān)數(shù)據(jù)，利用非線性規(guī)劃中的單一目標(biāo)規(guī)劃方案與多目標(biāo)規(guī)劃方案分別制定了滿足不同要求下的生產(chǎn)、銷售方案，不僅實現(xiàn)了公司利潤最大化以及營銷部總收入極大化，同時兼顧了客戶利益，達到了均衡銷售.

采用運籌學(xué)中的非線性目標(biāo)規(guī)劃方法，克服了線性規(guī)劃方法目標(biāo)函數(shù)單一、約束條件苛刻、無法解決矛盾條件下的規(guī)劃問題等缺點.在多目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)中，使用目標(biāo)優(yōu)先級系數(shù)，恰好解決了公司、銷售部和客戶利益均衡的問題.文章基于目標(biāo)規(guī)劃構(gòu)建的算法模型，通過實際算例分析驗證，求得模型最優(yōu)方案，有益于企業(yè)的生產(chǎn)與銷售決策.