單級齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)分析

蔣強(qiáng)

關(guān)鍵詞：機(jī)械振動;非線性動力學(xué);齒輪傳動系統(tǒng)

中圖分類號：TH132.413;O32 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

合肥工業(yè)大學(xué)盧劍偉[1]教授考慮了參數(shù)隨機(jī)激勵對齒輪系統(tǒng)動力學(xué)的影響，選擇用蒙特卡羅法對兩自由度齒輪傳動系統(tǒng)分析，得出了系統(tǒng)的動態(tài)特性隨參數(shù)隨機(jī)擾動的變化情況。胡鵬[2]等選擇直齒齒輪系統(tǒng)建立了純扭動力學(xué)模型，分別分析了嚙合剛度、轉(zhuǎn)速、動態(tài)傳遞誤差不同時(shí)模型動力學(xué)特性的變化趨勢。林騰蛟[3]與王三民[4]教授以綜合考慮剛度激勵、誤差激勵以及嚙合沖擊激勵的弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)為對象，通過分析得到了錐齒輪傳動系統(tǒng)內(nèi)部激勵的變化曲線。西北工業(yè)大學(xué)王三民[4]教授又考慮了齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度，通過分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)選取嚙合頻率作為分岔參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)通過倍周期分岔形成混沌;而選取支承剛度作為分岔參數(shù)時(shí)，齒輪系統(tǒng)通過擬周期分岔振動形成混沌振動。中南大學(xué)教授唐進(jìn)元[5-6]專門針對時(shí)變阻尼項(xiàng)和剛度項(xiàng)之間的耦合作用使周期解的平均值發(fā)生漂移這一現(xiàn)象提出了改進(jìn)方法—能量迭代法，并推導(dǎo)出了系統(tǒng)主振動的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程。本論述通過對三自由度單級直齒齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，建立了運(yùn)動微分方程組并進(jìn)行數(shù)值仿真，通過單級齒輪傳動系統(tǒng)隨著嚙合頻率變化的全局分岔圖、相圖和龐佳萊截面圖進(jìn)行研究。

其中D表示無量綱以后的間隙。

假設(shè)齒輪1、齒輪2的速度和位移以及相對扭轉(zhuǎn)位移和相對扭轉(zhuǎn)速度均為0，則頻率ω在區(qū)間[0.7，0.9]內(nèi)變化時(shí)齒輪2速度的分岔圖、相圖和龐佳萊截面圖分別如圖2和圖3所示。當(dāng)轉(zhuǎn)矩波動頻率ω<0.7105時(shí)，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動，此狀態(tài)下系統(tǒng)的相圖和龐佳萊截面圖如圖3（a）所示;隨著轉(zhuǎn)矩波動頻率ω 的增大，當(dāng)ω=0.7105時(shí)，齒輪系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)突變?yōu)楦胖芷谶\(yùn)動，系統(tǒng)的相圖變?yōu)闊o數(shù)個(gè)封閉的曲線環(huán)，龐佳萊截面圖由一個(gè)穩(wěn)定的不動點(diǎn)突變?yōu)橐粋€(gè)極限環(huán);隨著頻率的繼續(xù)增大，極限環(huán)發(fā)生了環(huán)面倍化，轉(zhuǎn)矩波動頻率繼續(xù)增大到ω=0.7178時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)再一次發(fā)生突變，極限環(huán)破裂，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)也突變?yōu)榱嘶煦邕\(yùn)動;此時(shí)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動一直持續(xù)到ω=0.7381，在ω=0.7381這一點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)又突變?yōu)橹芷谶\(yùn)動，此時(shí)周期運(yùn)動的相圖和龐佳萊截面圖如圖3（c）所示;周期運(yùn)動所持續(xù)的頻率范圍并不大，當(dāng)頻率繼續(xù)增大到ω=0.7395時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)又一次突變?yōu)榛煦邕\(yùn)動;當(dāng)頻率繼續(xù)增大到ω=0.7587時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)由原來的混動運(yùn)動經(jīng)逆Hopf分岔突變?yōu)橹芷谶\(yùn)動，在圖3中給出了周期6運(yùn)動的相圖和龐佳萊截面圖如圖3（d）所示。

緊接著又給出了系統(tǒng)隨支撐剛度和嚙合阻尼的全局分岔圖，如圖4和圖5所示;通過對比圖4各圖可以知道：當(dāng)其它參數(shù)在給定值下保持不變時(shí)，隨著主動軸支撐剛度k和從動軸支撐剛度k的同時(shí)增大，系統(tǒng)混沌運(yùn)動的區(qū)域在逐漸減小。即隨著嚙合阻尼的逐漸增大，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)變得愈加穩(wěn)定，因此為了保證系統(tǒng)可以穩(wěn)定的運(yùn)動，支撐剛度應(yīng)該取較大的值。通過對比圖5各圖可以知道：當(dāng)其它參數(shù)在給定值下保持不變時(shí)，隨著嚙合阻尼ξ的增大，系統(tǒng)剛開始周期運(yùn)動的曲線和結(jié)束時(shí)的周期曲線均在逐漸變長，系統(tǒng)混沌運(yùn)動的區(qū)域在逐漸減小。即隨著嚙合阻尼的逐漸增大，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)變得愈加穩(wěn)定，因此為了保證系統(tǒng)可以穩(wěn)定的運(yùn)動，嚙合阻尼應(yīng)該取較大值。

3 總結(jié)

（1）本論述采用了集中參數(shù)法來建立三自由度單級直齒齒輪傳動系統(tǒng)的模型，對單級齒輪嚙合系統(tǒng)進(jìn)行了受力分析，并進(jìn)行無量綱化處理，利用龍格庫塔法進(jìn)行數(shù)值求解，得到齒輪系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)矩波動頻率、支撐剛度下系統(tǒng)的分岔圖、相圖以及poincaré映射圖。

（2）隨著頻率的增大，從動輪的運(yùn)動狀態(tài)中包含了周期運(yùn)動、概周期運(yùn)動、混沌運(yùn)動等;通向混沌的道路有周期倍化、Hopf分岔、橢圓面破裂等。

（3）最后分析了嚙合阻尼和支撐剛度對齒輪系統(tǒng)運(yùn)動的影響，通過對比得到為了系統(tǒng)可以穩(wěn)定的運(yùn)行，嚙合阻尼和支撐剛度均應(yīng)該選取比較大的值。