高中數(shù)學解題后反思的對話教學

摘?要：?導數(shù)是高三數(shù)學的重點知識，涉及的內容較多.其中導數(shù)和函數(shù)單調性關系密切，是高考的熱點教學中，為深化學生理解，使其能夠掌握不同題型解題思路，應圍繞具體習題，巧妙的設計反思問題，與學生在課堂上積極對話互動，在學生頭腦中留下深刻印象，在解題中能夠做到舉一?反三.

關鍵詞：?高中數(shù)學;解題;反思;對話教學

中圖分類號：?G?632?文獻標識碼：?A?文章編號：?1008-0333（2022）12-0011-03

收稿日期：?2022-01-25

作者簡介：?姚友升（1973.6-），男，福建省閩清人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

高中數(shù)學導數(shù)部分教學中應注重課堂的合理安排，尤其在解題教學中應注重給學生預留一定的反思時間，并圍繞問題和學生積極互動，營造活躍數(shù)學課堂的同時，使學生的反思更加有深度，給其以后的解題帶來更好指引，給學生的學科素養(yǎng)發(fā)展帶來更好引領.

例1?已知函數(shù)f（x）=x?ln?x（x>0），求函數(shù)?f（x）?的單調區(qū)間和極值.

解析?因為f（x）=x?ln?x（x>0），所以

f ′（x）=1+?ln?x.令f ′（x）>0，解得x>?1?e?.令f ′（x）<0，解得0

因此，其在x=?1?e?取得極小值，且f（?1?e?）=-?1?e?，無極大值.

1 對話引領反思，提高教學實效

數(shù)學習題教學不能盲目追求講授試題的數(shù)量，而是追求學生四基四能的多點提升.教師應該圍繞已解決試題設計有效的對話引領，觸發(fā)新的生長點，把對話導向與學生的原認知進行對接，促進學生對思維活動過程進行沉淀與反思，使學生的學科素養(yǎng)奠定發(fā)展的基礎，使教學建立在豐富多彩、高效的基礎上.

反思問題一：函數(shù)f（x）表達式中帶有字母該怎么處理？

師：上述題目中沒有字母，直接求導后，通過判斷f ′（x）和0的大小找到其單調區(qū)間不難判斷出其極值.若題目中帶有字母該如何判斷其單調性呢？

生：求導后看字母是否影響導數(shù)值的正負的判定，若影響結論判定則需要進行分類討論.

展示如下習題，

例2?已知函數(shù)f（x）=ax-?1?x?-（a+1）?ln?x，a∈?R?，求函數(shù)的單調區(qū)間.

解析?由f（x）=ax-?1?x?-（a+1）?ln?x，a∈?R?，可知x>0，

f ′（x）=?ax?2-（a+1）x+1?x?2?=?（ax-1）（x-1）?x?2

師：導數(shù)值的正負與a有何聯(lián)系？該如何繼續(xù).

生1：考慮a的正負情況.

生2：還要考慮?1?a?與1的大小情況.

師：邊界值a=0與a=1該如何處理？

教師通過對話與學生進行思維交流，引領反思深化數(shù)學本質，學生結合對話進行整合，不難得到分a≤0，01四種情況解答;

①當a≤0時，x∈（0，1），f ′（x）>0，f（x）單調遞增;x∈（1，+∞）時，f ′（x）<0，f（x）單調遞減;

②當01，當x∈（0，1）和x∈（?1?a?，+∞）時，f ′（x）>0，f（x）單調遞增;當x∈（1，?1?a?），f ′（x）<0，f（x）單調遞減;

③當a=1時，f ′（x）=?（x-1）??2?x?2?>0，即，在（0，+∞）上f（x）單調遞增.

④當a>1時，0<?1?a?<1，當x∈（0，?1?a?）和x∈（1，+∞）時，f ′（x）>0，f（x）單調遞增;當x∈（?1?a?，1），f ′（x）<0，f（x）單調遞減.

這就使學生對知識的掌握更加深入，學科素養(yǎng)發(fā)展更加深化，解題教學活動的收獲更具實效性.

2 對話引領反思，促進思維發(fā)散

數(shù)學思維能力的培養(yǎng)是一個動態(tài)的建構過程，動態(tài)的思維建構離不開師生的思維交流，思維的互動通常是將對數(shù)學的理解以對話活動的形式進行.因此，新課標非常重視學生的活動參與體驗，在數(shù)學教學中不僅要注重學生的思維過程，而且要注意學生思維的個體差異，培養(yǎng)其從不同角度看問題的能力.因此，教師引領學生對問題進行反思時應該關注思維之間內在聯(lián)系，促進學生思維的發(fā)散以及遷移.

反思問題二：求導后無法求出f ′（x）=0時x的值怎么判斷函數(shù)單調區(qū)間？

教師：通過上述習題的解答，我們知道當函數(shù)?f（x）?帶有參數(shù)，需要根據(jù)實際情況進行討論.上述習題能夠求出當f ′（x）=0時x的值，也就容易判斷其在區(qū)間上的單調性.但如果求導后無法直接求出?f ′（x）?=0時x的值，該怎么辦？

生：繼續(xù)探討導函數(shù)的單調性.

師：該怎么探討呢？

生：對求導后的結果繼續(xù)求導，通過對比二次求導后的結果和0的關系進行判斷.

師：很好，請看下題：

例3?已知函數(shù)f（x）=a?x?+x?2?-x?ln?a（a>0，a≠1），求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間.

解析?由f（x）=a?x?+x?2?-x?ln?a（a>0，a≠1），知函數(shù)定義域為R，

則f ′（x）=a?x??ln?a+2x-?ln?a=2x+（a?x?-1）?ln?a

生：此時無法判斷f ′（x）和0的關系.看似無法繼續(xù)作答，此時可換個思路，問題也就迎刃而解.

令g（x）=f ′（x）=2x+（a?x?-1）?ln?a，

∵a>0，a≠1，∴g′（x）=2+a?x??ln??2?a>0，

表明?f ′（x）?是R上的增函數(shù).又∵f ′（0）=0，因此，可知當x∈（-∞，0）時，

f ′（0）<0，當x∈（0，+∞）時，?f ′（0）?>0，

因此，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增.

可見抓住思維角度的內在聯(lián)系設計對話反思，引領學生遷移思維方向，使問題的解決變得簡單自然，整個過程不僅解決了一道題、一類題，也有效發(fā)展了學生的數(shù)學思維.

3 對話引領反思，深化數(shù)學體驗

要提高反思的實效性，構建充滿生命活力的數(shù)學課堂，應讓學生們在師生對話的驅動下，不自覺的強化課堂反思，從中獲得完善的數(shù)學體驗，獲得牢固清晰的數(shù)學知識與數(shù)學情感.因此，我們不妨挖掘解題活動中的數(shù)學內涵，以對話的方式進行課堂反思，讓學生在活動中深化自身的學習體驗，有效的發(fā)展數(shù)學能力.

反思問題三：若函數(shù)在某區(qū)間是單調的，該如何求解參數(shù)取值范圍？

師：我們學習了怎樣運用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間.如果知道函數(shù)在某區(qū)間上是單調的，我們該怎樣求解參數(shù)的取值范圍呢？

例4?函數(shù)f（x）=?x?ln?x?-ax，若函數(shù)在（1，+∞）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

生：該習題和上述習題相比設問剛好相反，可根據(jù)條件中的單調區(qū)間，確定導函數(shù)在區(qū)間上的正負，通過等價轉化進行作答.

師：很好.接下來，請同學們思考一下該如何解答如下題目：

生：因f（x）=?x?ln?x?-ax在（1，+∞）上為減函數(shù)，即函數(shù)的導數(shù)在該區(qū)間恒小于0，此時問題就轉化為恒成立問題.

師：g（x）=- x?3?在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，其導數(shù)在該區(qū)間恒小于0嗎？

生：導數(shù)在該區(qū)間恒小于或等于0.

生：即，f ′（x）=?ln?x-1?（?ln?x）??2?-a≤0，在區(qū)間（1，?+∞）?上恒成立，即a≥?ln?x-1?（?ln?x）??2?，令t=?ln?x>0，即?h（t）?=?t-1?t?2?=-（?1?t?）?2?+?1?t?=-（?1?t?-?1?2?）?2?+?1?4?，顯然當t=2時，h（t）取得最大值，h（t）?max?=h（2）=?1?4?，因此，a的取值范圍為?[?1?4?，+∞）.

教師在對話中引導學生進行反思，在引導思維的同時也讓學生有愉悅的情感體驗.心理學認為人們的創(chuàng)造性和情感有密切關系，且情感具有強化、維持的作用.良好的情感體驗對其思維能力的激發(fā)和培養(yǎng)有密切的關系，這讓學生有十足的勁頭，效率也會大大提高，甚至能發(fā)揮出不可取代的作用.這樣的反思引領既能暴露思維誤區(qū)獲得知識情感體驗，又能鍛煉學生的逆行思維.

學生受到認知能力的限制，沒有解題后反思的習慣也不明了反思的方向，平時也就做做錯題訂正，熱衷于做大量題，這樣無法扭轉錯誤的思維定勢，也無法掌握系統(tǒng)的數(shù)學思維，就無法發(fā)揮習題應有的功能.通過對話引領反思，學生在對自身學習經(jīng)驗的充分反思中深化對知識的理解，體驗了發(fā)現(xiàn)的快樂，并在充分參與有效探索過程中建構知識，強化知識的多維聯(lián)系.

導數(shù)教學中以簡單的例題切入，并圍繞例題設計反思問題，在課堂上與學生積極開展對話活動，既激活了數(shù)學課堂，又驅使學生不斷的進行深入的思考，使學生對導數(shù)的作用有個更為全面、深入的認識與理解.同時，與學生對話后緊跟典型習題，要求學生思考作答，使得學生掌握不同題型的解題思路，能很好的促進學生解題能力的進一步提升，達成學科核心素養(yǎng)多向多樣提升.

參考文獻：

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[3?] 吳秋華.高中數(shù)學解題過程中培養(yǎng)學生的反思能力探究?[J?].求學，2020（28）：43-44.

[責任編輯：李?璟]